Что называется n мерным вектором
n-мерные векторы, операции над ними.
Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел 
называется n-мерным вектором.
Числа называются координатами вектора.
Векторы обозначаются строчными латинскими буквами, например, a, b, c и т.п., координаты вектора указываются в скобках.
Вектор 
, все координаты которого равны нулю, называют нулевым вектором.
Вектор 
называется противоположным вектору 
.
Суммой двух векторов и 
называется вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат, то есть, 
.
Следует отметить, что складывать можно только векторы количество координат которых совпадает. Операция сложения для векторов, имеющих различное число координат, не определена.
Для любых векторов 
и произвольных действительных или комплексных чисел 
справедливо:
Эти свойства справедливы в силу свойств операций сложения и умножения действительных или комплексных чисел.
Перечисленные свойства операций позволяют выполнять преобразования в выражениях содержащих векторы по тем же принципам, что и в числовых выражениях.
Рассмотрим несколько примеров.
Суммой двух векторов является вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат:
Осталось выполнить сложение:
Даны векторы 
. Найдите вектор 
.
Сначала упростим выражение, используя свойства операций над векторами:
Теперь найдем координаты полученного вектора:
Даны векторы 
. Найдите координаты вектора 
, выполнив необходимые операции.
Даны векторы 
. Выполните указанные действия 
.
Вектор 
имеет четыре координаты, а вектор 
— три, поэтому мы не можем их сложить и, следовательно, не можем выполнить действия над векторами .
Мы не можем выполнить указанные действия с заданными векторами.
Линейное пространство, элементами которого являются векторы, называется векторным или арифметическим.
Операции над n-мерными векторами: сложение, умножение, свойства
n -вектор – упорядоченный набор n действительных чисел.
a i – координаты n-вектора, обозначаемые латинскими буквами и записываемые в скобках.
Противоположные векторы – векторы с координатами, равными по модулю, но противоположными по знаку. Например,
Сложение n-векторов
Операции сложения подлежат векторы одинаковой размерности.
Умножение n-вектора на число
Результатом умножения заданного вектора на действительное или комплексное число будет вектор, каждая из координат которого определяется умножением исходной координаты на заданное число.
Результатом произведения будет:
Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами
Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами полностью сопоставимы с аналогичными операциями над векторами-геометрическими объектами. По сути координаты двухмерных и трехмерных векторов являются координатами вектора на плоскости или в пространстве в прямоугольной системе координат.
Свойства операций над n-мерными векторами
Рассмотри некоторые примеры по теме.
Необходимо найти сумму и разность векторов.
Решение
Заданные вектора имеют одинаковую размерность, следовательно, операция сложения выполнима. Для этого найдем сумму координат векторов:
Выполним умножение вектора на число:
И совершим действие сложения:
Ответ:
Решение
Упростим выражение, опираясь на свойства операций над векторами:
Определим координаты полученного вектора:
Ответ:
Необходимо определить координаты вектора: c + d + 2 e
Решение
Выполним операцию умножения вектора е на число 2, а затем найдем сумму:
Решение
Исходные векторы имеют разную размерность ( а и f ), поэтому выполнить необходимые операции не представляется возможным.
Ответ: невозможно выполнить указанные действия с заданными векторами.
N-мерные векторы
Множество чисел пронумерованное с помощью натуральных числе и расставленных в порядке возрастания их номеров называется числовой последовательностью.
Общая характеристика вектора
N-мерным вектором называется последовательность чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.
Вектор записывается в виде строки или столбца:
Условие равенства векторов
Два вектора и равны между собой, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие координаты равны т.е.:
Пример: векторы и — равны, потому что
Коллинеарные (параллельные) векторы
Векторы и называются коллинеарными (параллельными), если A=λ*B, ai=λ*bi, i=1,2. n.
λ — некоторое число:
Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число λ, при этом все его координаты умножаются на это число:
λA=(λ*a1, λ*a2. λ*an)
Пример: A=(1,2,3); λ=2; A*λ=(1*2,2*2,3*2)=(2,4,6)
Два вектора одинаковой размерности можно сложить, при этом их соответствующие координаты складываются:
Пример:
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и называется величина, вычисляемая по формуле:
Пример:
Модуль (длина) вектора
Если модуль вектора равен 1 то он называется единичным и обозначается через
Пример:
|a|=√(a12+a22+a32)
Угол между векторами
Условие перпендикулярности:A*B=0 или a1*b1+a2*b2+. +anbn
Мини-заключение:
Понятие об n-мерном векторе. Векторное пространство.
Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом: 
В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно, 
Транспонирование. если 
, то 
. Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде 
4.Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали: 
Определителем третьего порядка называется следующее выражение: 
Правило треугольников: 
Пример: А= 
det A= 5×1×(-3)+(-2)×(-4)×6+3×0×1- 6×1×1-3×(-2)×(-3)-0×(-4)×5=-15+48-6-18=9
Определитель квадратной матрицы n-ного порядка равен алгебраической сумме парных произведений элементов i-той строки матрицы А на их алгебраические дополнения или j-го столбца на их алгебраические дополнения.
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения
1. Определитель не меняется при транспонировании. Это означает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. От перестановки двух строк определитель меняет свой знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки умножить на некое число, то сам определитель умножится на это число.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки или 2 пропорциональных столбца, равен нулю.
8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю..
9. Определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.
10. Определитель двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц.
11. Определитель верхней треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. A11 A22 Ann
Теорема о разложении определителя по строке позволяет свести вычисление определителя матрицы n×n к вычичлению n определителей матриц (n-1)×(n-1). Таким образом, вычисление определителей с порядком выше третьего сводится к разложению на сумму определителей третьего порядка.
6. Обратная матрица.
Считаем det=1/5. 
Любой минор, отличный от 0, порядок которого равен рангу, называется базисным.
В матрице А выделим k произвольных строк и k столбцов. Составим det. Полученныйdet k-го порядка назыв минором к-го порядка. Ранг А- наивысший порядок ее миноров, отличных от 0. Теорема: Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк. Привести матрицу к виду верхней треуг или трапециевидной. Ранг- число ненулевых строк.
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: 
Находим det
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов 
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём 
10. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
· перестановка строк или столбцов;
· умножение строки на число, отличное от нуля;
· прибавление к одной строке другие строки.
· Удаление нулевой строки
Любая СЛАУ может быть преобразована к виду системы, у которой расширенная матрица будет иметь ступенчатый вид.
Приведение системы к ступенчатому виду или расширенную матрицу к виду трапециевидной называется прямой ход Гаусса. Обратный ход – неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего неизвестного и кончая первым. Придавая неизвестным (называемым свободными) произвольные значения, получим треугольную систему из которой последовательно найдем все остальные неизвестные (называемые базисными).
Критерии совместимости СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
1.Если r(A/B)=r(A), СЛАУ совместна, в прот случае нет.
2. r(A/B)=r(A)=n, n- число неизвестных.
c) D 
Лин неоднор ДУ 2-го порядка с пост коэфф-ми.
которое имеет вид y=yO+yЧ, где
yO-общее решение уравнения y´´+py´+qy =0
Рассмотрим некоторые частные случаи:
В этом случае решение yЧ ищут из уравнения к²+pк+q=0 в виде:
Вид частного решения следущее:
• yЧ=А 
если «м» не явл корнем Ур-я к²+pк+q=0
• yЧ=Аx если «м» –простой корень ур-я к²+pк+q=0
•yЧ=Аx² если «м»-кратный корень Ур-я к²+pк+q=0
3) r(x)=acosmx+bsinmx где a,b,m=const
• yЧ= Acosmx+Bsinmx при условии что p²+(q-m²)≠0
• yЧ= x(Acosmx+Bsinmx) если p²+(q-m²)=0, p=0,q= m²
Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:
В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно, Транспонирование. если , то . Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде
4.Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали: Определителем третьего порядка называется следующее выражение: Правило треугольников:
Пример: А= det A= 5×1×(-3)+(-2)×(-4)×6+3×0×1- 6×1×1-3×(-2)×(-3)-0×(-4)×5=-15+48-6-18=9
Определитель квадратной матрицы n-ного порядка равен алгебраической сумме парных произведений элементов i-той строки матрицы А на их алгебраические дополнения или j-го столбца на их алгебраические дополнения.
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения
1. Определитель не меняется при транспонировании. Это означает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. От перестановки двух строк определитель меняет свой знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки умножить на некое число, то сам определитель умножится на это число.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки или 2 пропорциональных столбца, равен нулю.
8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю..
9. Определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.
10. Определитель двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц.
11. Определитель верхней треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. A11 A22 Ann
Теорема о разложении определителя по строке позволяет свести вычисление определителя матрицы n×n к вычичлению n определителей матриц (n-1)×(n-1). Таким образом, вычисление определителей с порядком выше третьего сводится к разложению на сумму определителей третьего порядка.
6. Обратная матрица.
Считаем det=1/5.
Любой минор, отличный от 0, порядок которого равен рангу, называется базисным.
В матрице А выделим k произвольных строк и k столбцов. Составим det. Полученныйdet k-го порядка назыв минором к-го порядка. Ранг А- наивысший порядок ее миноров, отличных от 0. Теорема: Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк. Привести матрицу к виду верхней треуг или трапециевидной. Ранг- число ненулевых строк.
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Находим det
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
10. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
· перестановка строк или столбцов;
· умножение строки на число, отличное от нуля;
· прибавление к одной строке другие строки.
· Удаление нулевой строки
Любая СЛАУ может быть преобразована к виду системы, у которой расширенная матрица будет иметь ступенчатый вид.
Приведение системы к ступенчатому виду или расширенную матрицу к виду трапециевидной называется прямой ход Гаусса. Обратный ход – неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего неизвестного и кончая первым. Придавая неизвестным (называемым свободными) произвольные значения, получим треугольную систему из которой последовательно найдем все остальные неизвестные (называемые базисными).
Критерии совместимости СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
1.Если r(A/B)=r(A), СЛАУ совместна, в прот случае нет.
2. r(A/B)=r(A)=n, n- число неизвестных.
