Что называется матрицей какие виды матриц вы знаете
Матрицы. Виды матриц
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.
Матрица порядка m × n записывается в форме:
или 
(i=1,2. m; j=1,2. n).
Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.
Матрица строка
Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:
Матрица столбец
Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например
Нулевая матрица
Квадратная матрица
Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:
Главная диагональ матрицы
Побочная диагональ матрицы
Диагональная матрица
Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:
Единичная матрица
След матрицы
Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:
Верхняя треугольная матрица
Нижняя треугольная матрица
Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i T ).
Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).
Ядро или нуль пространство матрицы
Противоположная матрица
Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.
Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица
Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:
В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.
Пример кососимметрической матрицы:
Разность матриц
Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством
Для обозначения разности двух матриц используется запись:
Степень матрицы
Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:
где E-единичная матрица.
Из сочетательного свойства умножения следует:
где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.
Симметричная (Симметрическая) матрица
Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.
Для симметричных матриц имеет место равенство:
Что называется матрицей какие виды матриц вы знаете
Матрицей 
размерности m×n называется таблица чисел aij, содержащая m строк и n столбцов. Числа aij называются элементами этой матрицы, где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Матрица, содержащая m строк и n столбцов, имеет вид:
Виды матриц:
1) при m=n – квадратная, в данном случае n называют порядком матрицы;
2) квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю – диагональная;
3) диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице – единичная и обозначается E;
4) при n≠m – прямоугольная;
5) при m=1 – матрица-строка (вектор-строка);
6) при n=1 – матрица-столбец (вектор-столбец);
7) при всех aij =0 – нулевая матрица.
Заметим, что основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Определитель, соответствующий матрице n-го по-порядка, также имеет n-ый порядок.
Дадим ряд необходимых определений.
Определителем матрицы 2-го порядка называется число
Минором Мij элемента aij матрицы n-го порядка А называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.
1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.
2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак.
3. Определитель, имеющий две пропорциональные (равные) строки (столбца), равен нулю.
4. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.
5. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
6. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой его строки (столбца), предварительно умноженные на любое число.
7. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.
Поясним данное свойство на примере определителя 3-го порядка. В данном случае свойство 7 означает, что
Свойство 7 представляет собой теорему о разложении определителя, сформулированную Лапласом.
8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю.
Последнее свойство часто называют псевдоразложением определителя.
Виды матриц
Виды матриц не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Диагональные матрицы
Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.
Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.
Треугольные матрицы
Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.
Ступенчатая матрица
Ступенчатой называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:
Другое определение ступенчатой матрицы.
$$A=\left(\begin
Другое определение ступенчатой матрицы.
Примеры ступенчатых матриц:
Примеры матриц, которые не являются ступенчатыми:
Решение. Проверяем выполнение условий из определения:
Лекция №5 Понятие матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами
Определение Матрицей – называется таблица чисел содержащая определенное количество строк и столбцов
Пример 1 
i = 2 j = 3
Обозначение: А=
1. Если число строк не равно числу столбцов 
, то матрица называется прямоугольной:
Пример 2 
2. Если число строк равно числу столбцов 
, то матрица называется квадратной:
Пример 3 
Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. В примере n = 2
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:
Диагональ, содержащая элементы a11, a22 ……., ann, называется главной, а диагональ, содержащая элементы а12, а2n-1, …….an1 – вспомогательная.
Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называется диагональной:
Пример 4 
n = 3
3. Если у диагональной матрицы элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:
Пример 6 
n = 3
4. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается буквой О
Пример 7 
5. Треугольной матрицей n-ого порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:
Пример 8 
n = 3
Действия над матрицами:
Суммой матрицы А и В называется такая матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Пример 9 
Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые число строк и столбцов.
Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен kaij
Пример10 
Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.
Произведение матриц. Что бы умножить матрицу на матрицу, необходимо выбрать первую строку первой матрицы и умножить на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы, результат сложить. Этот результат расположить в результатирующей матрице в 1-ой строке и 10ом столбце. Аналогично выполняем действия со всеми остальными элементами: 1-ую строку на второй столбец, на 3-ий и т.д., затем со следующими строками.
Пример 11 
Умножение матрицы А на матрицу В возможно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строе второй матрицы.
— произведение существует;
— произведение не существует
Примеры 12 
последнюю строчку во II матрицы умножать не с чем, т.е. произведение не существует
Транспонирование матрицы называется операция замены элементов строки на элементы столбца:
Пример13 
Возведением в степень называется последовательное перемножение матрицы саму на себя:
Пример 14 
Возводить в степень можно только квадратные матрицы.
1. Переместительный закон относительно сложения
А+В = В+А – выполняется
Пример 15 
2. Распределительный закон
— выполняется:
Пример 
3. Переместительный закон относительно умножения
— не выполняется
Пример 17 
произведение не существует
Пример 18 
Виды матриц и для чего они нужны простыми словами
Обновлено: 12 Августа 2021
При решении алгебраических или дифференциальных уравнений студенты сталкиваются с понятием матрицы. Этот термин используется в программировании, электронике, фотоискусстве, но основная область применения — математика. Рассмотрим, что это такое, как применяется и какие операции позволяет осуществить.
Что такое матрицы в математике
Матрица в математике — это абстрактный объект, имеющий вид таблицы чисел или других математических величин. Чаще таблица прямоугольная, но встречаются и другие виды (квадратные, треугольные).
Обычно матрица называется заглавной буквой латинского алфавита: матрица A, матрица B. В таблице есть строки (их количество называется m) и столбцы (их количество называется n). Количество строк и столбцов определяет размер матрицы и может называться порядком. Матрицы такого типа называются матрицами строения m×n, или размера m×n, или порядка m×n.
Элементы матрицы, т.е. числа или остальные величины, называются строчной буквой. Они имеют 2 нижних индекса, необходимых для определения их положения в матрице. Например, элемент a13 располагается на пересечении 2 строки и 3 столбца. Значения элемента а13 читаются по-отдельности, не как целое число: «а один-три».
Откуда они взялись и чем полезны
Первые упоминания матрицы появились в Древнем Китае. Это была квадратная таблица, получившая название магического или волшебного квадрата. Самым древним и известным считается квадрат 3×3, датируемый около 2200 г до н.э. Он был высечен на панцире черепахи. В Китае его называют квадрат Ло Шу, а в Западной Европе — «Печать Сатурна».
Таким же древним является квадрат, найденный в Кхаджурахо, столице средневекового государства Чандела (IX–XIII вв.) в Центральной Индии. Это первый из «дьявольских квадратов». Также он называется пандиагональным.
В древности матрицы были необходимы преимущественно для решения линейных уравнений. Когда матрицы появились в арабских странах, стали разрабатываться принципы работы с ними, в том числе, принцип сложения. В XVIII веке швейцарский математик, «отец линейной алгебры» Габриэль Крамер опубликовал правило Крамера. Это способ решения систем линейных уравнений с помощью матрицы.
Способ Крамера не подходит для решения тех систем линейных уравнений, в которых может быть бесконечное множество решений.
В следующем веке появляется метод немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Этот способ решения алгебраических уравнений не является открытием ученого. Впервые о методе Гаусса написали в китайском трактате «Математика в девяти книгах», а сам он только привел способ в удобную форму.
Для решения уравнений таким способом необходимо записать расширенную матрицу системы.
В отличие от метода Крамера, правило Гаусса можно использовать для решения любых систем линейных уравнений.
Детальная разработка теории матриц активно продолжилась с середины XIX века. Наиболее значимые ученые: Уильям Гамильтон, Артур Кэли, Карл Вейерштрасс, Мари Энмон Камиль Жордан, Фердинанд Георг Фробениус.
Сам термин «матрица» предложил английский математик Джеймс Сильвестр в 1850 г.
В наше время матрицы используются не только для записи и решения систем линейных уравнений. Списки, статистические данные, табеля с информацией — все это в какой-то степени матрица. Их применяют для упрощения подачи и работы с информацией в любой сфере. Например, таблица продаж, где указан год (первый столбец), вид продукции (первая строка), а остальные значения — количество проданных единиц.
Обозначения матриц
Помимо самого термина «матрицы», при их решении нужно знать и другие обозначения.
Элементы матрицы — любые математические объекты: числа, переменные, другие матрицы. Элемент обозначается как aab, где a — номер строки расположения элемента, b — номер столбца.
Главная диагональ матрицы — диагональ, пересекающая квадратную матрицу из верхнего левого угла в нижний правый угол (квадратные матрицы имеют одинаковое количество строк и столбцов). Прямоугольные матрицы также могут иметь диагонали: они пересекают элементы с одинаковыми индексами.
Побочная диагональ матрицы — диагональ, пересекающая верхний правый и нижний левый углы. Для прямоугольного вида матриц понятие «побочные диагонали» не используется.
Диагональные элементы — числа и другие математические величины матрицы, расположенные на главной диагонали.
Размер (порядок) матрицы — произведение количества строк на количество столбцов: m×n. Например, если матрица содержит 2 строки и 3 столбца, то ее обозначают матрицей 2×3.
След матрицы — сумма элементов матрицы, расположенных на главной диагонали. Обозначается как Sp (А) или Tr (A), где A — название матрицы.
Равные матрицы — матрицы, у которых соответствующие элементы равны.
Виды матриц, какие бывают
В математике существует несколько видов матриц в зависимости от их размера.
Также различают матрицы по значениям их элементов.
Треугольная матрица всегда квадратная: m=n.
Кососимметрическая матрица всегда квадратная.
Применение матриц в математико-экономическом моделировании
С древности и по настоящее время матрицы используются для решения и удобной записи системы линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. Но их также применяют в математико-экономическом моделировании для структурирования данных и комфортной работы с ними.
Наиболее популярной является матричная модель экономики «затраты–выпуск». Ее внедрил Василий Леонтьев — американский экономист. За развитие этого метода он получил нобелевскую премию: матричная модель упростила решение некоторых экономических проблем. В последствии Леонтьева стали называть «апостолом планирования».
Суть модели «затраты–выпуск» в том, что экономист разделил производственный сектор экономики на отрасли, число которых обозначается n. 1 отрасль — 1 вид продукции. Значит, n количество отраслей выпускает n количество продуктов. Это приводит к появлению межотраслевых связей: одна отрасль заимствует у другой продукт и использует в процессе производства своей продукции. Данная балансовая модель представлена в виде системы линейных уравнений, решаемых с помощью матрицы.
Какие операции можно производить с матрицами
С матрицами можно проводить несколько операций.
При умножении матрицы нельзя менять местами.
Примеры решения задач на матрицы
Пример решения задачи на умножение.
Найдем значение каждого элемента:
Пример решения задачи на умножение матрицы на число 5.
Учитесь работать с матрицами и продолжайте осваивать математику, а если задач накопилось слишком много и «горят» сроки, вам поможет сервис Феникс.Хелп. Обращайтесь!