Что называется координатами вектора на плоскости и в пространстве

10.04.202213.04.2022 admin 0 Comments

Определение вектора

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Длина вектора

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Углы между векторами

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

Источник

Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Координатные векторы

Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.

Разложение вектора

Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Равные и противоположные векторы

Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Источник

Что называется координатами вектора на плоскости и в пространстве

Сформулируем ряд базовых определений.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

то есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Обозначим углы между вектором и осями координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются для вектора направляющими, и для них выполняется соотношение: Верность данного равенства можно показать с помощью свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем пункте 4.

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).

1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то есть если

Геометрически два вектора складываются по двум правилам:

а) правило треугольника – результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого вектора; для суммы векторов – результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего;

б) правило параллелограмма (для двух векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах, приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой векторов.

Геометрически два вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

При λ>0 – вектор сонаправлен ; λ противоположно направлен ; | λ|> 1 – длина вектора увеличивается в λ раз; | λ| 1 – длина вектора уменьшается в λ раз.

4. Пусть в пространстве задана направленная прямая (ось l ), вектор задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l соответственно через A ’ и B ’.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций:

1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть ;

2.) проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой;

3) проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.

Сформулируем определения и теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над векторами.

5. Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть

Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения

Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

С помощью скалярного произведения векторов находят работу постоянной силы на прямолинейном участке пути.

Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение по теореме (2.3):

Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).

Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной тонны творога?

Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10, можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений которых необходимо найти. В MathCAD скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего оператора панели инструментов Matrix

Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты начала

Угол φ между и находим по формуле (2.29), то есть

– перпендикулярен векторам и ;

– векторы образуют правую тройку (рис. 2.15).

Примечание. Определитель (2.25) раскладывается по свойству 7 определителей

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат

Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны

Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю

Также с помощью векторного произведения можно определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.

— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O , A , B ;

Следовательно, момент силы относительно точки O представляет собой векторное произведение

Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по формуле (2.32).

Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения

Теорема 2.7. Если три вектора заданы своими координатами, то их смешанное произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из координат векторов- сомножителей соответственно, то есть

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

Решение. Найдем координаты векторов

По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на векторах равен (единиц объема)

Рассмотрим очень важный вопрос о разложении вектора по базису. Приведем следующие определения.

получим выражение вектора через остальные векторы

Линейно независимыми называют векторы, если равенство (2.37) выполняется только тогда, когда все

Базисом n – мерного пространства E_n называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства.

Произвольный вектор n – мерного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса таким образом:

Линейное пространство называется конечномерным и имеет размерность n , если в этом пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая, что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.

Источник

Векторы для чайников. Действия с векторами.
Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии. Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод, понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии, авторы – Л.С. Атанасян и Компания. Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20 (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2 томах. Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т. Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том. Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.

Из инструментальных средств предлагаю собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении. На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений, что позволит научиться решать задачи по геометрии. Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость, другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматриваться типовые задания.

Более того, по материалам сайта создана книга!

. да, это свершилось! – освойте азы теории и научитесь решать в кратчайшие сроки! Спасибо за поддержку проекта.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

. Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина нулевого вектора равна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной «школьный» вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё почти корректно – направленный отрезок можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора :

Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах или , то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора . Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

4) Векторы сонаправлены. Векторы и также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и :

Векторы и ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде:
, где – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .

! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ!

Начнем с первой буквы алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: и ;
2) сложение векторов по правилу треугольника: .

А теперь мысленно отложите вектор от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы , иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор сонаправлен с базисным вектором , вектор направлен противоположно по отношению к базисному вектору . У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:

А базисные векторы, к слову, так: (по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: , . Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: , . Проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

Или со знаком равенства:

Сами базисные векторы записываются так: и

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору . Действительно, и – это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:

Перед вами ортонормированный базис трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы данного базиса попарно ортогональны: и . Ось наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методички Графики и свойства функций.

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: . Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .

Базисные векторы записываются следующим образом:

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока.

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно было использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости (во избежание путаницы переобозначив, например, через ). Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы .

Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится ;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок – это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .

Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.

Даны точки и . Найти длину вектора .

Я взял те же точки, что и в Примере 3.

Решение: Сначала найдём вектор :

По формуле вычислим длину вектора:

Ответ:

Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3 знаков после запятой.

Выполним чертеж к задаче:

В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости, при этом его лучше переобозначить, например, через .

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка равна длине вектора . Так же очевидно, что длина вектора будет такой же. По итогу:

Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки и . Найти длину отрезка .

Вместо применения формулы , поступаем так:
1) Находим вектор .
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка равна длине вектора :

Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.

Вышесказанное справедливо и для пространственного случая

а) Даны точки и . Найти длину вектора .
б) Даны векторы , , и . Найти их длины.

Решения и ответы в конце урока.

Действия с векторами в координатах

В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости и . Для того, чтобы сложить векторы, нужно сложить их соответствующие координаты: . Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: . Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор и найдём сумму трёх векторов:

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор .

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор умножить на число , нужно каждую координату данного вектора умножить на число :
.

Для пространственного вектора правило такое же:

Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.

Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов , но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Даны векторы и . Найти и

Решение чисто аналитическое:

Ответ:

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе , то графическое решение задачи будет таким:

Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)

Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо):

Даны векторы и . Найти и

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

Ответ:

И в заключение занятный пример с векторами на плоскости:

Даны векторы . Найти и

Это задача для самостоятельного решения.

Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:

Это, так скажем, вектор-минимум студента =)

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Задание: ,