Что называется фазой гармонического колебания начальной фазой гармонического колебания

Фаза колебаний.

Фаза колебаний — это аргумент периодически изменяющейся функции, описывающей колебательный или волновой процесс. Для гармонических колебаний:

где φ = ωt + φ₀ — фаза колебания, А — амплитуда, ω — круговая частота, t — время, φ₀ — началь­ная (фиксированная) фаза колебания; в момент времени t = 0φ = φ₀. Фаза выражается в радианах.

Фаза гармонического колебания при постоянной амплитуде определяет не только координату колеблющегося тела в любой момент времени, но и скорость и ускорение, которые тоже изменяются по гармоническому закону (скорость и ускорение гармонических колебаний — это первая и вторая производные по времени функции (см. рис. ниже), которые, как известно, снова дают синус и косинус). Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние ко­лебательной системы в любой момент времени.

Два колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут отличаться друг от друга фазами. Так как ω = 2π/Т, то

Отношение t/T показывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому значению времени, выра­женному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженной в радианах.

Сплошная кривая на рисунке — это зависимость координаты от времени и одновременно от фа­зы колебаний (верхние и нижние значения на оси абсцисс соответственно) для точки, совершающей гармонические колебания по закону:

Здесь начальная фаза равна нулю φ₀ = 0. В начальный момент времени амплитуда максимальна. Это соответствует случаю колебаний тела, прикрепленного к пружине (или маятника), которое в начальный момент времени отвели от положения равновесия и отпустили. Описание колебаний, начинающихся из положения равновесия (например, при кратковременном толчке покоящегося шарика), удобнее вести с помощью функции синуса:

Как известно, cos φ = sin (φ + π/2), поэтому колебания, описываемые уравнениями x = x_m cos ω₀ t и x = x_m sin ω₀ t, отличаются друг от друга только фазами. Разность фаз, или сдвиг фаз, составляет π/2. Чтобы определить сдвиг фаз, нужно колеблющуюся величину выразить через одну и ту же три­гонометрическую функцию — косинус или синус. Пунктирная кривая на рисунке выше (это график уравнения x = x_m sin ω₀ t) сдвинута относительно сплошной на π/2.

Источник

Начальная фаза колебаний – точки, формулы, единица измерения в физике

Одной из характеристик колебательного процесса в физике является фаза. Особенно важным этот параметр становится, когда сравниваются два колебания одинаковой частоты. Начальная фаза колебаний характеризует начало отклонения, когда система выводится из равновесия.

Понятие фазы колебательного процесса

Любой колебательный процесс может быть представлен в виде бесконечной суммы простейших гармонических колебаний. Гармоническое колебание — это колебание, которое совершается по закону круговых функций (синуса или косинуса).

Рис. 1. График гармонической функции.

Формула гармонического колебания имеет следующий вид:

$$X = X_m sin(omega t+varphi)$$

Рис. 2. Фаза колебания.

Значение начальной фазы колебательного процесса

Точка начальной фазы колебаний характеризует значение параметра функции в нулевой момент времени. Учитывая, что для того, чтобы система начала колебаться, она должна быть выведена из положения равновесия, начальная фаза колебаний характеризует именно это начальное отклонение, которое хорошо видно на графике функции.

Для нитяного или пружинного маятника зачастую начальная фаза колебаний также характеризует точку максимального отклонения.

Но наибольшее значение начальная фаза колебаний принимает для случая, когда происходит два и более колебательных процесса одинаковой частоты. При одинаковой частоте разность фаз колебаний в этих процессах будет постоянна. Следовательно, именно от начальной фазы зависит взаимное значение колебаний.

Например, если в обоих колебательных процессах, происходящих с равной частотой, начальные фазы будут равны, то нулевые и амплитудные значения обоих процессов будут всегда достигаться одновременно. Говорят, что процессы происходят синфазно.

При других начальных фазах такие процессы будут меняться «с отставанием» или «с опережением», в зависимости от конкретных значений. И, поскольку их частота одинакова, то отставание или опережение будет постоянно. Нулевые и амплитудные значения никогда не будут достигнуты одновременно.

Рис. 3. Разность фаз колебаний.

Что мы узнали?

Фаза колебания — это аргумент гармонической функции в ее формуле. Фактически это конкретный момент колебания. Начальная фаза — это аргумент в нулевой момент времени. Наибольшее значение начальная фаза колебаний играет при сравнении различных колебаний с одинаковой частотой.

Источник

Начальная фаза колебаний

Определение фазы колебаний

Начальная фаза колебаний и способ возбуждения колебаний

Возведем в квадрат оба уравнения (2) и сложим их:

Из выражения (4) имеем:

Разделим уравнение (3) на (2), получим:

с начальными условиями:

\[x\left(0\right)=x_0;;\ \dot\left(0\right)=0\ \left(8\right).\]

При таком возбуждении колебания пружинного маятника можно описывать выражением:

Сложение колебаний и начальная фаза

Тело, совершающее колебания, способно принимать участие в нескольких колебательных процессах одновременно. В таком случае возникает необходимость выяснить, каким будет результирующее колебание.

Допустим, что два колебания с равными частотами происходят по одной прямой. Уравнением результирующих колебаний будет выражение:

тогда амплитуда суммарного колебания равна:

В случае равенства начальных фаз составляющих колебаний уравнение траектории имеет вид:

что говорит о движении точки по прямой линии.

что означает, траектория движения эллипс.

Примеры задач с решением

начальными условиями будут:

Решение. Запишем уравнение гармонических колебаний по оси X:

Преобразуем заданные в условии задачи уравнения к этому же виду:

Сравнивая уравнения (2.2) с (2.1) получим, что начальные фазы колебаний равны:

Изобразим на рис.1 векторную диаграмму колебаний.

Источник

Начальная фаза колебаний

Всего получено оценок: 250.

Всего получено оценок: 250.

Одной из характеристик колебательного процесса в физике является фаза. Особенно важным этот параметр становится, когда сравниваются два колебания одинаковой частоты. Начальная фаза колебаний характеризует начало отклонения, когда система выводится из равновесия.

Понятие фазы колебательного процесса

Любой колебательный процесс может быть представлен в виде бесконечной суммы простейших гармонических колебаний. Гармоническое колебание — это колебание, которое совершается по закону круговых функций (синуса или косинуса).

Рис. 1. График гармонической функции.

Формула гармонического колебания имеет следующий вид:

$$X = X_m sin(\omega t+\varphi)$$

Рис. 2. Фаза колебания.

Значение начальной фазы колебательного процесса

Точка начальной фазы колебаний характеризует значение параметра функции в нулевой момент времени. Учитывая, что для того, чтобы система начала колебаться, она должна быть выведена из положения равновесия, начальная фаза колебаний характеризует именно это начальное отклонение, которое хорошо видно на графике функции.

Для нитяного или пружинного маятника зачастую начальная фаза колебаний также характеризует точку максимального отклонения.

Но наибольшее значение начальная фаза колебаний принимает для случая, когда происходит два и более колебательных процесса одинаковой частоты. При одинаковой частоте разность фаз колебаний в этих процессах будет постоянна. Следовательно, именно от начальной фазы зависит взаимное значение колебаний.

Например, если в обоих колебательных процессах, происходящих с равной частотой, начальные фазы будут равны, то нулевые и амплитудные значения обоих процессов будут всегда достигаться одновременно. Говорят, что процессы происходят синфазно.

При других начальных фазах такие процессы будут меняться «с отставанием» или «с опережением», в зависимости от конкретных значений. И, поскольку их частота одинакова, то отставание или опережение будет постоянно. Нулевые и амплитудные значения никогда не будут достигнуты одновременно.

Что мы узнали?

Фаза колебания — это аргумент гармонической функции в ее формуле. Фактически это конкретный момент колебания. Начальная фаза — это аргумент в нулевой момент времени. Наибольшее значение начальная фаза колебаний играет при сравнении различных колебаний с одинаковой частотой.

Источник

Гармонические колебания

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Механические колебательные системы

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением

Здесь x – смещение тела от положения равновесия, x_m – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ₀ называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ₀, поэтому φ₀ называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ₀ = 0. Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T / 12

Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний x_m, либо период T (или частота f), либо начальная фаза φ₀.

Во всех трех случаях для синих кривых φ₀ = 0: а – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой (x’_m > x_m); b – красная кривая отличается от синей только значением периода (T’ = T / 2); с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением

В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t) по времени t и обозначается как или как x’(t) или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату:

Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωx_m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = ax тела при гармонических колебаниях:

следовательно, ускорение a равно производной функции υ (t) по времени t, или второй производной функции x (t). Вычисления дают:

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

На рис. 2.1.4 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Графики координаты x (t), скорости υ (t) и ускорения a (t) тела, совершающего гармонические колебания

Источник