Что называется алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы
Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.
В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме «Матрицы. Виды матриц. Основные термины». Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.
Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
Например, рассмотрим такую матрицу:
Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:
Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.
Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.
Для примера рассмотрим такую матрицу:
Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.
Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.
Для примера обратимся к такой матрице:
Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:
Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.
Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Что называется алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы
.
Пример. 
.
Определение 3. Алгебраическим дополнением A ij к элементу a ij квадратной матрицы 
называется число A ij = 
.
Пример. Найдем алгебраическое дополнение к элементу a 33.
.
Теорема 1. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.
Теорема 2. Сумма попарных произведений элементов любой строки определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю.
Вычисление определителей порядка n >3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теоремы 1 и свойства 5 определителя.
по первому столбцу
Перед разложением определителя для удобства получают в одном из столбцов нули. Это сокращает объемы вычислений. Для этого используют пятое свойство определителя. Одну из строк умножают на некоторые числа и складывают с другими строками.
Что называется алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы
Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.
Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a14 есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a32 стоит в третьей строке и втором столбце.
Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.
Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.
Простейшие действия с матрицами
1. Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.
2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.
4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:
Свойства произведения матриц:
Определитель матрицы
Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:
Миноры и алгебраические дополнения
Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.
Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.
Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения
Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.
Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.
Обратная матрица
Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A –1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:
Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:
Как найти обратную матрицу?
Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.
Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число 
. Произведение данных чисел равно единице: 
. С матрицами всё похоже! Произведение матрицы 
на обратную ей матрицу 
равно 
– единичной матрице, которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.
Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.
Есть? Тогда поехали дальше. А хотя… ехать могут все, если что-то не знаете, я буду ставить нужную ссылку по ходу объяснений.
Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований.
Сегодня мы изучим первый, более простой способ.
Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:
, где 
– определитель матрицы 
, 
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы 
.
Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.
Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом 
Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.
Найти обратную матрицу для матрицы 
Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.
1) Сначала находим определитель матрицы.
Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?
Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
В рассматриваемом примере, как выяснилось, 
, а значит, всё в порядке.
2) Находим матрицу миноров 
.
Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.
Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица 
, то есть в данном случае 
.
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.
Возвращаемся к нашей матрице 
Сначала рассмотрим левый верхний элемент: 
Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: 
Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров: 
Рассматриваем следующий элемент матрицы 
: 
Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: 
То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу: 
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры: 
Готово.
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы 
.
3) Находим матрицу алгебраических дополнений 
.
Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел: 
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы 
.
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений 
.
Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы 
.
5) Ответ.
Вспоминаем нашу формулу 
Всё найдено!
Таким образом, обратная матрица: 
Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами.
Как проверить решение?
Необходимо выполнить матричное умножение 
либо 
Проверка: 
Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.
Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:
Найти обратную матрицу для матрицы 
Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».
Обратную матрицу найдем по формуле: 
, где 
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы 
.
1) Находим определитель матрицы.
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Также не забываем, что 
, а значит, всё нормально – обратная матрица существует.
2) Находим матрицу миноров 
.
Матрица миноров имеет размерность «три на три» 
, и нам нужно найти девять чисел.
Я подробно рассмотрю парочку миноров:
Рассмотрим следующий элемент матрицы: 
МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: 
Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два» 
Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить: 
Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров: 
Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.
Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках: 
Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.
Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы 
.
То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.
3) Находим матрицу алгебраических дополнений 
.
В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов: 
В данном случае:
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы 
.
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений 
.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы 
.
5) Ответ:
Проверка: 
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Как оформить решение на чистовик? Примерный образец чистового оформления задания можно найти на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы в параграфе, где идет речь о матричном методе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачи – и есть поиск обратной матрицы.
Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).
В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.
Иногда обратную матрицу требуется найти методом Гаусса-Жордана, но второй способ доступен для студентов с приличной техникой элементарных преобразований.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам