Что можно сказать о длинных равных отрезков

Что можно сказать о длинах равных отрезков?

В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением высот зданий, сооружений, а также с измерением расстояний, которые мы прошли или проехали. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок также называют масштабным отрезком.

Давайте определим длину некоторого отрезка АВ, приняв за единицу измерения сантиметр (рисунок 1). Видим, что в данном отрезке АВ сантиметр укладывается ровно четыре раза, а это означает, что его длина равна четыре сантиметра. Обычно говорят кратко: «Отрезок А В равен четыре сантиметра». А записывают так: АВ = 4 см.

Рисунок 1.

Но может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке.

Возьмём отрезок CD (рисунок 2). Сантиметр укладывается в отрезок пять раз, но при этом получается остаток. В таком случае единицу измерения необходимо разделить на равные части, обычно делят на десять равных частей, и определить, сколько таких частей укладывается в остатке. В нашем случае в остатке шесть раз укладывается десятая часть отрезка, поэтому длина отрезка CD равна пять целых шесть десятых сантиметра. Отметим, что одну десятую часть сантиметра называют миллиметром (мм).

Рисунок 2.

Однако может возникнуть ситуация, когда и миллиметр не будет укладываться в остатке целое число раз, и получится новый остаток. Тогда и миллиметр можно разделить на 10 частей и продолжить процесс измерения.

Единицей измерения отрезка может быть не только сантиметр, но и другой отрезок.

Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.

Исходя из проделанного выше, можно сказать, что это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.

Возьмём два равных отрезка АВ и СD (рисунок 3). Единицы измерения в этих отрезках укладываются одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины.

Рисунок 3.

Если же мы возьмём два неравных отрезка KL и MN (рисунок 4), то увидим, что в меньшем отрезке MN единица измерения укладывается меньшее число раз, чем в отрезке KL, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

Рисунок 4.

Теперь рассмотрим отрезок АВ (рисунок 5). Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Измерим эти отрезки. Видим, что отрезок АС равен четыре сантиметра, отрезок СВ равен три целых пять десятых сантиметра и отрезок АВ равен семь целых пять десятых сантиметра. Получили:

Таким образом, сформулируем следующее.

Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Рисунок 5.

Следует сказать, что если длина некоторого отрезка АВ в k раз больше отрезка CD, то записывают это следующим образом: АВ=kCD.

Отметим также, что длина отрезка называется расстоянием между концами этого отрезка.

Поговорим о единицах измерения. Для измерения отрезков и нахождения расстояний используются различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков является метр — отрезок, который приблизительно равен земного меридиана. Эталон метра хранится в Международном бюро мер и весов во Франции.

В одном метре сто сантиметров (1 м =100 см), а один сантиметр содержит десять миллиметров (1 см = 10 мм).

При измерении небольших расстояний, например, расстояния между точками на листе бумаги или нахождении длины карандаша за единицу измерения принимают сантиметр или миллиметр. Высоту дерева можно измерить в метрах. А вот расстояние, которое мы пройдём на лыжах, можно измерить в километрах.

Можно также использовать и такие единицы измерения, как дециметр (1 дм = 10 см), морская миля, равная одной целой восьмистам пятидесяти двум тысячным километра (1 миля = 1,852 км). А вот для измерения очень больших расстояний в астрономии используется такая единица измерения, как световой год (это путь, который проходит свет в течение одного года).

Для измерения расстояний могут использоваться различные инструменты. Например, в техническом черчении используется масштабная миллиметровая линейка. Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой. А вот для измерения диаметра трубки можно воспользоваться штангенциркулем.

Источник

Отрезок

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.

Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок AB или BA.

Длина отрезка

Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:

Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:

длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Чаще всего используются единичные отрезки равные 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м или 1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:

Свойства длин отрезков:

Равные отрезки

Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.

Пример. Возьмём два отрезка CD и LM:

Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка C была над точкой L, то станет видно, что точка D располагается над точкой М:

Значит длины отрезков равны, следовательно CD = LM.

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.

Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.

Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.

При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.

Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например C, в одну сторону два отрезка CA и CB и точка A окажется между точками C и B, то отрезок CA меньше отрезка CB (или CB больше отрезка CA):

Если точка B окажется между точками C и A, то отрезок CA больше отрезка CB (или CB меньше отрезка CA):

CA > CB или CB Пример. Сравнить длину отрезков AB и AC.

Так как отрезок AB имеет большую длину, чем отрезок AC, то

Так как отрезки AB и AC имеют одинаковую длину, то

Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.

Источник

Школе NET

Register

Do you already have an account? Login

Login

Don’t you have an account yet? Register

Newsletter

Submit to our newsletter to receive exclusive stories delivered to you inbox!

Мари Умняшка

Что можно сказать о длинах равных отрезков?

Лучший ответ:

Суррикат Мими

В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением высот зданий, сооружений, а также с измерением расстояний, которые мы прошли или проехали. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок также называют масштабным отрезком.

Давайте определим длину некоторого отрезка АВ, приняв за единицу измерения сантиметр (рисунок 1). Видим, что в данном отрезке АВ сантиметр укладывается ровно четыре раза, а это означает, что его длина равна четыре сантиметра. Обычно говорят кратко: «Отрезок А В равен четыре сантиметра». А записывают так: АВ = 4 см.

Но может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке.

Возьмём отрезок CD (рисунок 2). Сантиметр укладывается в отрезок пять раз, но при этом получается остаток. В таком случае единицу измерения необходимо разделить на равные части, обычно делят на десять равных частей, и определить, сколько таких частей укладывается в остатке. В нашем случае в остатке шесть раз укладывается десятая часть отрезка, поэтому длина отрезка CD равна пять целых шесть десятых сантиметра. Отметим, что одну десятую часть сантиметра называют миллиметром (мм).

Однако может возникнуть ситуация, когда и миллиметр не будет укладываться в остатке целое число раз, и получится новый остаток. Тогда и миллиметр можно разделить на 10 частей и продолжить процесс измерения.

Единицей измерения отрезка может быть не только сантиметр, но и другой отрезок.

Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.

Исходя из проделанного выше, можно сказать, что это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.

Возьмём два равных отрезка АВ и СD (рисунок 3). Единицы измерения в этих отрезках укладываются одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины.

Если же мы возьмём два неравных отрезка KL и MN (рисунок 4), то увидим, что в меньшем отрезке MN единица измерения укладывается меньшее число раз, чем в отрезке KL, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

Теперь рассмотрим отрезок АВ (рисунок 5). Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Измерим эти отрезки. Видим, что отрезок АС равен четыре сантиметра, отрезок СВ равен три целых пять десятых сантиметра и отрезок АВ равен семь целых пять десятых сантиметра. Получили:

Таким образом, сформулируем следующее.

Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Следует сказать, что если длина некоторого отрезка АВ в k раз больше отрезка CD, то записывают это следующим образом: АВ=kCD.

Отметим также, что длина отрезка называется расстоянием между концами этого отрезка.

Поговорим о единицах измерения. Для измерения отрезков и нахождения расстояний используются различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков является метр — отрезок, который приблизительно равен земного меридиана. Эталон метра хранится в Международном бюро мер и весов во Франции.

В одном метре сто сантиметров (1 м =100 см), а один сантиметр содержит десять миллиметров (1 см = 10 мм).

При измерении небольших расстояний, например, расстояния между точками на листе бумаги или нахождении длины карандаша за единицу измерения принимают сантиметр или миллиметр. Высоту дерева можно измерить в метрах. А вот расстояние, которое мы пройдём на лыжах, можно измерить в километрах.

Можно также использовать и такие единицы измерения, как дециметр (1 дм = 10 см), морская миля, равная одной целой восьмистам пятидесяти двум тысячным километра (1 миля = 1,852 км). А вот для измерения очень больших расстояний в астрономии используется такая единица измерения, как световой год (это путь, который проходит свет в течение одного года).

Для измерения расстояний могут использоваться различные инструменты. Например, в техническом черчении используется масштабная миллиметровая линейка. Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой. А вот для измерения диаметра трубки можно воспользоваться штангенциркулем.

Источник

Сравнение отрезков. Действия над отрезками.

Равные и неравные отрезки

Пусть нам даны два отрезка АВ и СD (рис.). Наложим отрезок АВ на отрезок CD так, чтобы точка А совпала с точкой С, и отрезок АВ направим по отрезку CD. Если точка В совпадаете точкой D, то отрезки АВ и CD равны; АВ = CD.

Сравним два отрезка КО и ЕМ (рис.).

Наложим отрезок КО на отрезок ЕМ так, чтобы точки К и Е совпали. Отрезок КО направим по отрезку ЕМ. Если точка О окажется где-нибудь между точками Е и М, то говорят, что отрезок ЕМ больше отрезка КО; отрезок КО меньше отрезка ЕМ.

Записывается это тaк: ЕМ > КО, КО 1 /₅ часть отрезка МN.

в) Чтобы разделить отрезок на равные части с помощью циркуля, поступают таким образом. Например, если нужно разделить отрезок на две равные части, то циркуль раздвигают на глаз так, чтобы раствор циркуля составлял примерно половину отрезка. Затем на данном отрезке от его конца последовательно один за другим откладывают этим раствором циркуля два отрезка. Если полученная сумма отрезков будет меньше данного отрезка, тo раствор циркуля увеличивают; если сумма окажется больше данного отрезка, то раствор циркуля уменьшают. Так, постепенно исправляя ошибку, можно отыскать довольно точнo половину отрезка (рис.).

Свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла

Пусть на стороне АВ угла АВN отложены равные отрезки ВМ = МК = КС (рис.) и через точки деления М, К и С проведены параллельные прямые, пересекающие сторону ВN того же угла.

На этой стороне образовались три отрезка: ВМ’, М’К’ и К’С’. Требуется доказать, что ВМ’ = М’К’ = К’С’.

Для доказательства через точки М’ и К’ проведём прямые, параллельные АВ. Мы получим треугольники ВММ’, М’ЕК’ и К’РС’. Сравним эти треугольники.

Сначала сравним треугольники МВМ’ и М’ЕК’. В этих треугольниках имеем:

∠1 = ∠2, как соответственные углы при параллельных ВА и М’Е и секущей ВN;

∠3 = ∠4, как острые углы 1 с соответственно параллельными сторонами (АВ || М’Е и ММ’ || КК’).

ВМ = МК по построению;

МК = М’Е, как противоположные стороны параллелограмма.

Углы 1-й и 4-й могут оказаться оба тупыми, но и в этом случае они останутся равными, а потому доказательство теоремы не изменится.

Следовательно, ВМ = М’Е. Таким образом, ΔВММ’ = ΔМ’ЕК’ (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Отсюда следует, что ВМ’ = М’К’.

Так же можно доказать, что ВМ’ = К’С’, т. е. ВМ’ = М’К’ = К’С’. При доказательстве теоремы мы откладывание отрезков начали от вершины угла, но теорема справедлива и для того случая, когда откладывание отрезков будет начато не от вершины угла, а от любой точки его стороны.

В этом случае вершину угла на чертеже можно не отмечать (рис.).

Теорема справедлива и для случая, когда прямые КО и МР параллельны.

Пропорциональные отрезки

Из арифметики известно, что равенство двух отношений называется пропорцией. Например: 16 /₄ = 20 /₅; 2 /₃ = 4 /₆ To же самое имеем и в геометрии: если даны две пары отрезков, отношения которых равны, то можно составить пропорцию.

отрезки а, b, c, d называются пропорциональными.

В пропорции можно поменять местами отношения; можно переставить крайние члены, средние члены; можно переставить те и другие одновременно.

Поскольку в пропорции a /_b = c /_d под буквами подразумевают числа, выражающие длины отрезков, то произведение крайних членов её равно произведению средних членов. Отсюда, зная три члена пропорции, можно найти неизвестный четвёртый её член. Так, в пропорции a /_x = c /_d x = a • d /_c

Отметим ещё некоторые свойства пропорций, которыми придётся в дальнейшем пользоваться при доказательстве некоторых теорем и при решении задач.

а) Если три члена одной пропорции соответственно равны трём членам другой пропорции, то равны и четвёртые члены этих пропорций.

Чтобы убедиться в этом, переставим средние члены в этой пропорции.

А это возможно лишь в том случае, когда числитель и знаменатель дроби равны, т. е.

В справедливости этого свойства предлагается вам убедиться самостоятельно. Для этого проведите рассуждение, аналогичное предыдущему.

Построение пропорциональных отрезков

Пусть две прямые ЕF и ОР пересечены тремя параллельными прямыми АВ, СD и МN (рис.).

Требуется доказать, что отрезки АС, СМ, ВD и DN, заключённые между параллельными секущими, пропорциональны, т. е.

Пусть длина отрезка АС равна р, а длина отрезка СМ равна q.

Например, р = 4 см. и q = 5 см.

Разделим АС и СМ на отрезки, равные 1 см, и из точек деления проведём прямые, параллельные прямым АВ, СD и МN, как это показано на рисунке.

Тогда на прямой ОР отложатся равные между собой отрезки, при этом на отрезке BD их будет 4, а на отрезке DN — 5.

Значит, отрезки АС, СМ, ВD и DN пропорциональны. Пропорциональны также и отрезки АС, АМ, ВD и ВN (налегающие друг на друга), т. е. AC /_AM = BD /_BN,

Теорема будет справедлива и при любых других целых значениях р и q.

Если длины отрезков АС и СМ не выразятся в целых числах при данной единице измерения (например, сантиметре), то надо взять такую более мелкую единицу (например, миллиметр или микрон), при которой длины отрезков АС и СМ практически выразятся в целых числах.

Доказанная теорема справедлива и в том случае, когда одна из параллельных секущих проходит через точку пересечения данных прямых. Она справедлива также и в том случае, когда отрезки откладываются не непосредственно один за другим, а через некоторый промежуток.

Источник

Математика. 5 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

— понятие длины отрезка;

— равные отрезки на чертежах;

— определение длины отрезков.

Длина отрезка – число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единичный отрезок.

Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята за единицу измерения.

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. –М.: Просвещение, 2009. – 142с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Каждому человеку неоднократно приходилось что-то измерять: свой рост, длину прыжка, высоту потолка и многое другое. Все эти действия означают вычисление величины какого-нибудь отрезка. Каким же образом можно измерить длину отрезка? На этот вопрос ответим в ходе урока.

За свою историю человечество придумало много разных единиц длины. Позже появились меры, заимствованные из природы:

— пядь – расстояние между растянутыми большим и указательным пальцами;

— вершок – длина основной фаланги указательного пальца;

— локоть – расстояние от локтевого сустава до конца вытянутого среднего пальца руки.

Некоторые названия сохранились до сих пор: ярд, фут, пядь, дюйм.

Ну, а герои одного известного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. В зависимости от того, в ком измеряли удава, он становился то длиннее, то короче.

Два слонёнка, пять мартышек или тридцать восемь попугаев.

«А в попугаях я гораздо длиннее!» – воскликнул удав.

На самом деле мы с вами понимаем, что его размеры не менялись. Тогда возникает вопрос: в чём измерять? Что брать за единицу длины? Слонёнка, попугая или мартышку.

Измерить длину какого-нибудь отрезка в заданных единицах измерения – значит найти число, показывающее, сколько единичных отрезков поместится в данном отрезке.

Длиной отрезка называют число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единица измерения.

Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называется единичным отрезком.

Чем же можно измерить длину отрезка?

Наиболее древними геометрическими инструментами являются линейка и циркуль, последний был изобретён в первом веке в Древней Греции.

Для более точных измерений используют миллиметровую линейку и штангенциркуль.

Далее построим отрезок ВК заданной длины –например, 8см. Для этого отметим точку В и приложим к ней линейку, совместив точку В с нулём. Затем отмеряем с помощью линейки 8 см, отмечаем точку К и соединяем обе точки линией.

Такой отрезок можно построить и с помощью циркуля. Для этого отметим точку В. Приложим к линейке циркуль, выставив его ножки на восемь сантиметров. Перенесём циркуль к точке В, поместив на неё одну ножку, а другой ножкой поставим точку К. Соединив обе точки линией, получим отрезок с длиной 8 см.

Отрезки можно сравнить с помощью измерителя –например, циркуля. Для этого попеременно подставляем ножки циркуля ко всем предложенным для сравнения отрезкам. При этом они должны быть выставлены по одному из отрезков. Если длины отрезков одинаковы, то отрезки считают равными и пишут CD = КМ.

Если один из отрезков является частью другого, следовательно, он короче. Например, ЕН короче EF, так как отрезок EH является частью EF.

Рассмотрим ещё одно свойство длин.

Если на отрезке АВ отметить точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ. Пишут: АВ = АС + СВ.

Наши органы чувств – это один из способов получения информации об окружающем нас мире, но информация полученная таким образом, бывает искажена.

Посмотрите на рисунки и ответьте на вопрос, равны ли отрезки?

На первый взгляд покажется, что правый отрезок больше, чем левый, но при сравнении с помощью линейки окажется, что отрезки равны.

Такая же ситуация, складывается и со следующей картинкой. Кажется, что нижний отрезок больше, чем верхний, но при наложении линейки окажется, что отрезки равны.

В другом же случае на тот же вопрос о равенстве отрезков ответ очевиден.

Таким образом, можно сделать вывод, что глазомерные оценки геометрических реальных величин неточны.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка.

Сравните длины горизонтального и вертикального отрезков?

Правильный ответ: при выполнении данного задания нужно использовать линейку, нужно измерить длину каждого отрезка и сравнить их. В результате измерений мы увидим, что отрезки равны.

№2. Тип задания: выделение цветом.

Точка К расположена на прямой между точками А и В. Длина отрезка АК = 8 см, длина отрезка КВ на 2 см больше длины отрезка АК. Какова длина отрезка АВ?

Выберите правильный ответ: 6 см; 10 см; 12 см; 18 см.

Решение: изобразим условие задачи на рисунке.

Источник