Что можно сказать о боковых ребрах призмы они параллельны они пересекаются

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

Боковые грани – все грани, кроме оснований.

Боковые ребра – общие стороны боковых граней.

Основания призмы – равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях.

Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.

Правильная призма – прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех ее граней.

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.

Параллелепипед – призма, все грани которой – параллелограммы.

Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед в основании которого лежит прямоугольник.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа,

геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. Уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ФИПИ http://ege.fipi.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение призмы. Элементы призмы.

Рассмотрим два равных многоугольника А₁А₂. А_n и В₁В₂. В_n, расположенных в параллельных плоскостях α и β соответственно так, что отрезки А₁В₁, А₂В₂. А_nВ_n, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).

Дадим определение призмы. Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

При этом равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Общие стороны боковых граней будем называть боковыми ребрами призмы.

Отметим, что все боковые ребра призмы равны и параллельны (как противоположные стороны параллелограммов).

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Обратите внимание, что все высоты призмы равны между собой, так как основания расположены на параллельных плоскостях. Также высота призмы может лежать вне призмы (рис. 2).

Рисунок 2 – Наклонная призма

Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то призма называется прямой. В противном случае, призма называется наклонной.

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

На рисунке 3 приведены примеры прямых призм

Рисунок 3 – Виды призм.

Прямая призма называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники.

Иногда четырехугольную призму, грани которой параллелограммы называют параллелепипедом. Известный вам правильный параллелепипед – это куб.

Площадь полной поверхности призмы. Площадь боковой поверхности призмы.

Площадью полной поверхности призмы (S_полн) называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности (S_бок) призмы – сумма площадей ее боковых граней.

Таким образом, верно следующее равенство: S_полн= S_бок+2S_осн, то есть площадь полной поверхности есть сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высоты равны высоте призмы – h. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней, то есть прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника есть произведение высоты h и стороны основания. Просуммируем эти площади и вынесем множитель h за скобки. В скобках получим сумму всех сторон основания, то есть периметр основания P. Таким образом S_бок=P_оснh.

Пространственная теорема Пифагора

Прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник называется прямоугольным.

Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины.

Рисунок 4 – Прямоугольный параллелепипед

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и найдем квадрат длины его диагонали А₁С.

Для этого рассмотрим треугольник А₁АС:

Ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания (ABC) (т.к. параллелепипед прямой), значит АА₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе АС. Таким образом, ΔА₁АС – прямоугольный.

По теореме Пифагора получаем: А₁С 2 =АА₁ 2 +АС 2 (1).

Так как в основании прямоугольник, то ВС=АD.

Что и требовалось доказать

Доказанная теорема является аналогом теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника), поэтому ее иногда называют пространственной теоремой Пифагора.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найдите для каждой картинки пару

1)2) 3)

4)5)

6)

Все изображения можно разделить на две группы: призмы и многоугольники. Вспомним, что основанием призмы является многоугольник. Теперь необходимо посчитать количество вершин многоугольников в основаниях призм и сопоставить их с нужным изображением. Таким образом, получаем следующий ответ: 1 и 3, 2 и 4, 5 и 6.

Какие из перечисленных объектов могут быть элементами призмы?

1) параллельные плоскости

Вспомним сначала, какие элементы есть у призмы. Это ребра, грани, вершины, основания, высота, диагональ.

Ребра, высота и диагональ призмы представляют собой отрезок. Грани и основания – это многоугольники, то есть части плоскостей. Вершины – точки. Таким образом, подходят варианты 2, 3,4.

Источник

Что такое призма: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения призмы. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение призмы

Призма – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник с двумя параллельными и равными гранями (многоугольниками), а другие грани при этом являются параллелограммами.

На рисунке ниже представлен один из самых распространенных видов призмы – четырехугольная прямая (или параллелепипед). Другие разновидности фигуры рассмотрены в последнем разделе данной публикации.

Элементы призмы

Развёртка призмы – разложение всех граней фигуры в одной плоскости (чаще всего, одного из оснований). В качестве примера – для прямоугольной прямой призмы:

Примечание: свойства призмы представлены в отдельной публикации.

Варианты сечения призмы

Примечание: другие варианты сечения не так распространены, поэтому отдельно на них останавливаться не будем.

Виды призм

Рассмотрим разновидности фигуры с треугольным основанием.

Источник

Урок по геометрии на тему «Многогранники. Призма» (10 класс)

Выбранный для просмотра документ Мой урок текст.doc

Тема урока: «Многогранники. Призма»

Цель урока: научиться решать задачи на вычисление площади боковой и полной поверхности призмы.

Образовательные: рассмотреть виды призм, ввести понятие площади поверхности приз­мы; вывести формулу для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы.

Развивающие: развивать логическое мышление, внимание, память, умение рассуждать, делать обоснованные выводы, самостоятельность, устную и письменную математиче­скую речь.

Воспитательные: воспитывать аккуратность при выполнении чертежей, дисциплиниро­ванность, умение слушать учителя и одноклассников, активность, познавательный ин­терес к предмету.

Мотивация и сообщение темы урока:

— О каких фигурах шла речь на прошлом уроке? (многогранники)

— С какой целью мы изучаем многогранники? (Многие тела, строения в нашем окружении имеют форму многогранников, поэтому для построения зданий, изучения каких-то явлений нужно знать свойство многогранников, уметь различать их по форме)

— Все ли мы узнали о многогранниках на прошлом уроке? (Нет)

— Поставьте перед собой цели, которые вы будете достигать на протяжении всего урока.(Продолжить работу по изучению темы «Многогранники». Мы мало внимания уделили Призме, познакомились только с элементами призмы, следовательно, продолжить изучение этой темы, а так же продолжить решать задачи по данной теме).

Итак, сегодня на уроке мы продолжим работу по изучению темы «Многогранники. Приз­ма». Узнаем много интересного из мира многогранников, рассмотрим виды призм, выве­дем формулу для вычисления площади боковой поверхности S _бок и, конечно же, научим­ся применять ее при решении задач. А урок начнем с устных упражнений.

1) среди изображенных тел выберете те, которые являются многогранниками(1,2,5,6)

2) Что называется многогранником? (Поверхность, составленная из многоугольников и огранивающая некоторое геометрическое тело, называется многогранником. Тело, ограниченное многогранником, также называется многогранником.)

3) Какие бывают многогранники? (выпуклые, невыпуклые)

4 ) Какие из представленных фигур являются призмами?(1,6)

5 ) Обозначьте и назовите для призмы все ее элементы (для рис.6):

— вершины

6) Что можно сказать о многоугольниках, лежащих в основаниях призмы? (они равны)

7) В каких плоскостях лежат основания призмы? (в параллельных)

8) Что можно сказать о боковых ребрах призмы? (они равны и параллельны)

9) Что представляет собой диагональное сечение призмы? (параллелограмм)

10) Какие многоугольники являются основаниями и боковыми гранями треугольной призмы? четырехугольной? пятиугольной? (боковые грани параллелограммы, основания – треугольник, четырехугольник, пятиугольник соответственно)

4) Изучение нового материала.

— Покажите различие многоугольников, из которых состоит произвольный параллелепипед и прямоугольный параллелепипед (Произвольный состоит из параллелограммов, а прямоугольный – из прямоугольников)

Вывод: У произвольного параллелепипеда боковые ребра не перпендикулярны основанию, а прямоугольного – перпендикулярны.

1) Блок-схема «Призма».

Поработаем по блок-схеме.

— А как вы понимаете термин «Площадь боковой поверхности призмы»? Как ее вычислить?

— А как вы понимаете термин «Площадь полной поверхности призмы»? Как ее вычислить?

— Было доказано, что S _бок поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

— Я вам предлагаю работу в группах: Используя развертку треугольной призмы докажите это.

5. Применение знаний в стандартной ситуации

№ 229 (а) – самостоятельно, спросить по цепочке.

№ 230 – работа у доски

№ 225 – работа у доски

При решении задач часто очень много времени уходит на вычисление площадей полной поверхности правильных призм. Предлагаю вам самостоятельно заполнить таблицу для часто встречающихся призм (треугольная, четырехугольная, шестиугольная)

№ 229(в) – самостоятельно с последующей проверкой

6. Сообщение «Многогранники вокруг нас»

Далее решаем задачи ЕГЭ по готовым чертежам.

1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Высота призмы равна 10. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

2) Найдите площадь полной поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 и 4, и боковым ребром, равным 5.

3) Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если стороны ее основания равны 3, площадь поверхности 66.

Знакомство с задачей из части 2.

Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА ₁ В ₁ С ₁ равна 2, а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью А ₁ ВС и плоскостью основания призмы.

7. Домашнее задание.

— Что нового узнали на уроке?

— Достигли ли вы поставленных целей?

— Как вы оцениваете свою работу на уроке?

Выбранный для просмотра документ СООБЩЕНИЕ.doc

Названия многогранников пришли из Древней Греции и в них указывается число граней. В переводе с греческого языка:

эдра – грань, окта – восемь, значит, октаэдр – восьмигранник

тетра – четыре, поэтому тетраэдр – пирамида, состоящая из четырех равносторонних треугольников,

додека – двенадцать, додекаэдр состоит из двенадцати граней,

гекса – шесть, куб – гексаэдр, так как у него шесть граней,

икос а – двадцать, икосаэдр – двадцатигранник.

Многогранники в природе

Рассуждая об устройстве мира, нельзя оставить без внимания живую природу. Встречаются ли в живой природе правильные многогранники?

Скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.

Интересно, что икосаэдр оказался и в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. В результате исследований выяснилось, что большинство вирусов имеет форму икосаэдра.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.

Например, кристаллы всем известной поваренной соли имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник – икосаэдр передает форму кристаллов бора.

Благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Источник

10 класс. Геометрия. Многогранники. Призма.

10 класс. Геометрия. Многогранники. Призма.

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

1. Тема и цели урока

На данном уроке будет рассмотрена тема «Решение задач по теме “Призма”».

2. Повторение определений

Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 1). Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (АВС). Значит, призма – прямая. Значит, все боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания и каждая боковая грань – это прямоугольник.

Определение. Правильной называется такая прямая призма, в основании которой лежит правильный n-угольник. Тогда, мы имеем правильную n-угольную призму.

3. Повторение площади поверхности призмы

1) Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Sполн = Sбок + 2Sосн

2) Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

4. Задача 1

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21см и 9 см и высотой 8 см (рис. 3). Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 10 см.

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 5). ВН и CG – высоты трапеции. AD = 21см, BC = 9см. Так как трапеция ABСDравнобокая, то HG = BC = 9 см, (см).

Рассмотрим треугольник ∆АВН и найдем сторону АВ по теореме Пифагора:

Найдем периметр основания.

Применяем формулу для площади боковой поверхности:

5. Задача 2

Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство проведём на примере треугольной призмы.

Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1. Построим плоскость перпендикулярного сечения. На ребре ВВ1 выберем точку К (рис. 7). Через точку К можно проведем перпендикуляр KL в плоскости этой грани АА1В1В к ребру ВВ1. Этот перпендикуляр будет перпендикуляром и к АА1, так как прямые АА1 и ВВ1 параллельны..

Теперь проведем перпендикуляр КМ перпендикулярно ребру ВВ1 в плоскости грани ВВ1С1С.

То есть, построенное сечение KLM перпендикулярно боковому ребру. Надо доказать, что площадь боковой поверхности равняется произведению периметра перпендикулярного сечения KLM на боковое ребро ВВ1. То есть, имеем следующую задачу.

Дано: АВСА1В1С1 – наклонная призма,

Доказать:

Любая боковая грань призмы – это параллелограмм. Рассмотрим грань АВВ1А1. KL – это высота параллелограмма АВВ1А1. Поэтому площадь параллелограмма АВВ1А1 записывается следующим образом:

Аналогично, , .

В призме все боковые ребра равны, АА1 = ВВ1 = СС1. Запишем, чему равна площадь боковой поверхности.

Мы показали, что . Задача доказана.

6. Задача 3

Основание призмы – правильный треугольник АВС (рис. 8). Боковое ребро АА1 образует равные острые углы со сторонами основания АВ и АС. Докажите, что

Источник