Что изучает алгебра высказываний
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики – математической логики. Математическая логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний – решение логических задач.
Объекты алгебры высказываний. Операции над высказываниями. Таблицы истинности.
Алгебра – это наука, которая изучает множество некоторых элементов и действия (операции) над ними. Если элементы алгебры – натуральные числа, а операции – сложение и умножение, то это алгебра натуральных чисел. Действия с направленными отрезками (векторами) изучает векторная алгебра.
Объектами алгебры высказываний являются высказывания. Высказывание – это истинное или ложное повествовательное предложение. Повествовательное предложение, в котором говорится об одном-единственном событии, называется простым высказыванием. Например, предложение «Луна – спутник Земли» есть простое высказывание, предложение «Не сорить!» не является высказыванием.
Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если высказывание A истинно, то пишут A = 1, если ложно, то используют запись A = 0.
| А | В | АВ |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ», употребляемого в неисключающем смысле, называется операцией логического сложения. Например, высказывание A – «Декабрь – зимний месяц», В – «Летом иногда идет дождь», определим высказывание A+B – «Декабрь – зимний месяц или летом иногда идет дождь». Установить истинность логической суммы можно с помощью следующей таблицы:
| А | В | А+В |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Операция логического отрицания осуществляется над одним высказыванием. Выполнить операцию логического отрицания (обозначается 
) – значит получить из данного высказывания новое, присоединяя слова «неверно, что …» ко всему высказыванию. Истинность высказывания 
определяется таблицей:
| А |  |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Пользуясь определенными выше операциями, можно из простых высказываний образовывать сложные. Например, всевозможные значения для высказывания 
можно записать в виде таблицы
| А | B |  | A | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Тождественные высказывания. Эквивалентные высказывания. Формулы Августа де Моргана.
Среди высказываний особое место занимают те, в таблице истинности которых либо одни единицы, либо только нули. Это означает, что высказывание либо всегда истинно, либо ложно, независимо от истинности входящих в него высказываний. Например, высказывание 
всегда истинно, а высказывание 
всегда ложно. Доказать это можно составив таблицу истинности этих высказываний.
Сложные высказывания, истинные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно истинными, а высказывания, ложные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно ложными.
Тождественно истинные или тождественно ложные высказывания, если они встречаются в формулах, заменяются в них, соответственно единицей или нулем:
Среди высказываний встречаются такие, таблицы истинности которых совпадают. Эти высказывания называются эквивалентными. Эквивалентными являются, например, высказывания 
и 
(то есть 
). Это можно проверить составив таблицы истинности этих высказываний:
Алгебра высказываний
Вы будете перенаправлены на Автор24
Основоположником формальной логики стал древнегреческий философ Аристотель. Формальная логика отвлекается от конкретного содержания высказываний и изучает общие правила построения выводов из преподнесенной информации, которая считается истинной или ложной. Формальная логика изучает высказывания со стороны их истинности или ложности.
Высказывание – это повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать, что оно истинно или ложно.
Побудительные, вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями.
Используя определение высказывания, определим, можно ли считать высказываниями следующие предложения:
Готовые работы на аналогичную тему
В формальной логике высказывание может быть ложно или истинно, третьего варианта исключено. Обозначим истинное значение за единицу, а ложное за нуль, то получим, что формальная логика представляет собой правила выполнения операций с двоичными кодами (нулями и единицами). Тогда обработка информации сводится к выполнению логических операций над нулями и единицами. Важный шаг в этом направлении сделал английский математик Джордж Буль. Дж.Буль предложил применять для исследования логических высказываний на их истинность или ложность математический механизм. Позже этот раздел математики стали называть алгеброй логики или булевой алгеброй.
Рисунок 1. Дж. Буль (1815‐1864)
Высказывания бывают простые и сложные (составные). Простые высказывания невозможно разделить на более мелкие высказывания, например: «Утро теплое» или «Форточка закрыта». Сложные (составные) высказывания строятся из простых высказываний с помощью логических связок или операций: «И», «ИЛИ», «НЕ», «если…, то», «тогда и только тогда».
Отрицание всегда ставится к действию.
тогда и только тогда: «Утро теплое тогда и только тогда, когда форточка закрыта».
Операции «НЕ», «И» и «ИЛИ» используются чаще других. С помощью этих операций можно описать любое действие, поэтому они называются основными или базовыми операциями.
Таблица истинности для отрицания:
В таблице истинности будет два столбца с исходными значениями.
В алгебре логики доказано, что операций «НЕ», «И» и «ИЛИ» достаточно для того, чтобы записать с их помощью любую другую логическую операцию, которую только можно придумать. Операций «НЕ», «И» и «ИЛИ» являются базисом или базовыми операциями.
Эквивалентность (также равносильность, эквиваленция) – это логическая операция, соответствующая связке «тогда и только тогда» или «необходимо и достаточно».
Информатика. 10 класс
Конспект урока
Информатика, 10 класс. Урок № 11.
Тема — Алгебра логики. Таблицы истинности
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: высказывание, логическая переменная, логические операции (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, строгая дизъюнкция, импликация, эквиваленция), логические выражения, предикаты и их множества истинности, таблицы истинности и их анализ.
Глоссарий по теме: импликация, эквиваленция, предикат, примеры законов алгебры логики.
Основная литература по теме урока:
Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. Информатика. Базовый уровень: учебник для 10 класса
— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2017 (с.174—197)
Открытые электронные ресурсы по теме:
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Алгебра логики — раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые с точки зрения их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.
Алгебра логики возникла в середине XIX века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. В 1938 году Клод Шеннон применил алгебру логики для описания процесса функционирования релейно-контактных и электронно-ламповых схем. Логическое высказывание — это повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Например, предложение «Джордж Буль — основоположник алгебры логики» истинно, а «Солнце — спутник Земли» ложно.
Употребляемые в обычной речи логические связки «не», «и», «или», «если…то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Высказывания, образованные из других высказываний, называются составными. Высказывание, никакая часть которого не является высказыванием, называется элементарным. Например, из двух простых высказываний (каких?) можно получить следующее составное высказывание: «Алгебра логики является основой строения логических схем компьютеров и служит математической основой решения сложных логических задач». Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности образующих их высказываний и определённой трактовки связок (логических операций над высказываниями).
Обоснование истинности или ложности элементарных высказываний не является задачей алгебры логики. Эти вопросы решаются теми науками, к сфере которых относятся элементарные высказывания. Такое сужение интересов позволяет обозначать высказывания символическими именами (например, А, В, С).
Логическая переменная — это переменная, которая обозначает любое высказывание и может принимать логические значения «истина» или «ложь». Для логических значений «истина» — «ложь» могут использоваться следующие обозначения: И — Л, true — false, да — нет, 1 — 0.
Логическая операция полностью может быть описана таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает составное высказывание при всех возможных значениях образующих его элементарных высказываний.
В алгебре логики имеется шесть логических операций. Из курса информатики 8—9 классов вам знакомы три из них:
— отрицание (инверсия, логическое НЕ)
Высказыванию ставится в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.
— конъюнкция (логическое умножение, логическое И)
Высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.
— дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ)
Высказывание ложно тогда и только тогда, когда ложны оба исходных высказывания.
Рассмотрим новые логические операции.
— Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) истинно, а второе (следствие) — ложно, называется импликацией (от лат. implicatio — сплетение, тесная связь) или логическим следованием.
Операция импликации обозначается символом 
и задается следующей таблицей истинности:
В разговорной речи импликации соответствуют предложения, содержащие связку «если…, то». Как правило, эту связку мы используем, когда хотим показать зависимость одного события от другого.
Импликацию можно заменить на выражение, использующее ранее изученные операции НЕ и ИЛИ: 
— Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда только одно из двух высказываний истинно, называется строгой (исключающей) дизъюнкцией.
Строгая дизъюнкция обозначается символом
и задается следующей таблицей истинности:
В русском языке строгой дизъюнкции соответствует связка «либо». Например, в пословице «Либо пан, либо пропал», выполнение обоих условий одновременно невозможно. В отличие от обычной дизъюнкции в высказывании, содержащем строгую дизъюнкцию, мы утверждаем, что произойдет только одно событие.
Строгую дизъюнкцию можно представить через базовые операции следующим образом:
Чтобы доказать это равенство, достаточно для всех возможных комбинаций и вычислить значения выражения, стоящего в правой части равенства, и сравнить их со значениями выражения 
для тех же исходных данных.
— Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным, когда оба исходных высказывания истинны или оба исходных высказывания ложны, называется эквиваленцией или равнозначностью.
В логике эквиваленция обозначается символом 
и задается следующей таблицей истинности:
В разговорной речи эквивалентности соответствует связка «тогда и только тогда, когда», а в математике — «необходимо и достаточно».
Если посмотреть внимательно на таблицы истинности для двух последних логических операций, то можно заметить, что эквивалентность — это обратная операция для операции «исключающее ИЛИ», т. е. 
Можно заменить эквивалентность выражением, которое включает только базовые логические операции: 
Составное логическое высказывание можно представить в виде логического выражения (формулы), состоящего из логических констант (0, 1), логических переменных, знаков логических операций и скобок.
Для логического выражения справедливо:
При преобразовании или вычислении значения логического выражения логические операции выполняются в соответствии с их приоритетом:
Операции одного приоритета выполняются в порядке их следования, слева направо. Как в математике, скобки меняют порядок выполнения операций.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
Алгебра высказываний
Алгебра высказываний (Алгебра Буля). Таблицы истинности.
Основным математическим аппаратом, используемым при анализе и синтезе дискретных элементов и устройств является алгебра логики (булева алгебра, алгебра Буля). В алгебре логики широко используется понятие “высказывание”.будем называть простое повествовательное положение, о котором можно сказать, что оно ложно или истинно, но не то и другое одновременно. Любое высказывание можно обозначить символом X и считать, что X=1, если высказывание истинно, а X=0, если высказывание ложно. Логическая (булева) переменная – такая переменная X, которая может принимать только два значения: X=<0,1>. Из двух простых высказываний X1 и X2 можно образовать более сложные высказывания, используя операции “И”, “ИЛИ”, “НЕ”. Сложные высказывания также принимают значения “истинно” или “ложно”, т.е. 1 или 0. Смысл логических операций над простыми высказываниями X1 и X2 и значениями сложных высказываний можно представить в виде таблиц истинности: “ИЛИ”, “И”, “НЕ” соответственно.
Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.
Логическое высказывание — это любое повествовательное пpедлoжение, в oтнoшениикoтopoгo можно oднoзначнo сказать, истинно oнo или лoжнo.
Предложения типа «в городе A более миллиона жителей«, «у него голубые глаза» не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.
Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.
Так, например, из элементарных высказываний «Петров — врач«, «Петров — шахматист» при помощи связки «и» можно получить составное высказывание «Петров — врач и шахматист«.
При помощи связки «или» из этих же высказываний можно получить составное высказывание «Петров — врач или шахматист«, понимаемое в алгебре логики как «Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно«.
Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.
В алгебре высказываний суждениям (высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные (заглавные буквы латинского алфавита). Рассмотрим два простых высказывания:
Высказывания, как уже говорилось ранее, могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует 1, ложному 0, в нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В=0).
В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Истинность полученных составных высказываний зависит от истинности входящих в него простых высказываний и использованных при преобразовании логических операциях.
Для образования новых высказываний наиболее часто используются логические операции, выражаемые словами «и», «или», «не».
Логическое умножение (конъюнкция)
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.
Составное высказывание, образованное в результате конъюнкции, истинно тогда и только тогда, когда истинны входящие в него простые высказывания.
Операцию логического умножения (конъюнкцию) принято обозначать либо значками «Ù», «&», либо знаком умножения «*». Образуем составное высказывание С, которое получится в результате конъюнкции двух высказываний: С = А ÙВ.
Истинность такого высказывания задается специальной таблицей, таблицей истинности логического умножения:
Логическое сложение (дизъюнкция)
Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.
Составное высказывание, образованное в результате дизъюнкции, ложно тогда, когда одновременно ложны входящие в него простые высказывания.
Операцию логического сложения (дизъюнкцию) принято обозначать либо значком «Ú», либо знаком сложения «+». Образуем составное высказывание С, которое получится в результате дизъюнкции двух простых высказываний: С =AÚВ
Истинность такого высказывания задается специальной таблицей, таблицей истинности логического сложения:
Логическое отрицание (инверсия)
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.
Инверсия делает истинное высказывание ложным и наоборот.
Операцию логического отрицания (инверсию) над логическим высказыванием А принято обозначать 
. Образуем высказывание С, являющееся логическим отрицанием .
С =
Истинность такого высказывания задается специальной таблицей, таблицей истинности логического отрицания:
| А | |
При преобразовании логических выражений определено следующее старшинство логических операций: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция (для изменения указанного порядка могут использоваться скобки).
Построим таблицу истинности для логического выражения /\
:
| А | В | | | /\ |
Построим теперь таблицу истинности для логического выражения 
:
| А | В | АÚВ | |
Таблицы истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны: 
/\
= 
Пример: 
| А | В |  |  | |
| И | И | И | Л | Л |
| И | Л | И | Л | Л |
| Л | И | И | Л | Л |
| Л | Л | Л | И | Л |
Самой «сильной» логической связкой является отрицание, затем идут связки конъюнкция, дизъюнкция, а самыми «слабыми» являются связки импликации и эквиваленции.
Таким образом, простые высказывания являются переменными, а более сложные высказывания – функциями. Причем как переменные, так и функции могут принимать только значения 0 или 1. Алгебра логики может быть определена как алгебра, содержащая 3 операции “И” (конъюнкция), “ИЛИ” (дизъюнкция), “НЕ”(отрицание) над множеством элементов, каждый из которых принимает два значения 0 или 1. Результаты выполнения операций над множеством элементов также принимают два значения 0 или 1.
Рассмотрим следующий пример. Допустим, принимается некоторое решение коллективом из 3-х лиц, которые обозначим a, b, c. Решение считается принятым, если “за” не менее 2-х человек. Процесс принятия решений может быть представлен следующей таблицей истинности.
Исходя из таблицы истинности, получим следующие функцию алгебры логики (ФАЛ), которая является сложным высказыванием и является математической моделью принятия решения:
Алгебра логики содержит ряд аксиом и правил. Среди них основными являются следующие: