Что измеряет угол между прямой и ее проекцией

Угол между прямой и плоскостью

Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

и уравнение плоскости

A x + B y + C z + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Пример вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Ортогональнальная проекция прямой на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью.
Теорема о трех перпендикулярах

Проекция прямой на плоскость

Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.

Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.

Замечание 1. Рассматриваемый в данном разделе случай ортогонального проектирования точки на плоскость α представляет собой частный случай более общего понятия проектирования точки на плоскость параллельно некоторой прямой, необязательно перпендикулярной к плоскости. Такое проектирование используется в нашем справочнике при определении понятия «призма».

Замечание 2. Если это не приводит к разночтениям, для упрощения формулировок термин «ортогональная проекция на плоскость» часто сокращают до термина «проекция на плоскость».

Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a’, образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.

Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).

Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице

Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.

На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.

Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.

На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.

Угол между прямой и плоскостью

Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.

Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O. )

На рисунке это угол φ

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).

Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O )

На рисунке это угол φ

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a’ на плоскость α перпендикулярна к прямой b.

Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.

На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P’ – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b’, параллельную прямой параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b’, совпадет с прямой b.

Поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’. Прямая a перпендикулярна к прямой b’ по условию. Таким образом, прямая b’ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’, откуда вытекает, что прямая b’ перпендикулярна и к прямой a’, лежащей на плоскости POP’.

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a’ наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.

Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.

Прямая a’ перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’, поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b’, перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P’O и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’. Тогда, в частности, прямая b’ перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP’.

Источник

Угол между прямой и плоскостью (ЕГЭ 2022)

Почти половина четверти уходит у школы на то, чтобы, изучая стереометрию, объяснить, как находятся различные углы в пространстве.

Один из таких – угол между прямой и плоскостью, очень важный момент!

А мы попробуем объяснить тебе это за 15 минут!

Угол между прямой и плоскостью — коротко о главном

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Геометрический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (\( \displaystyle \varphi \)) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Алгебраический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

Что есть угол между прямой и плоскостью?

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Вот, смотри: прямая \( a\) плоскость \( \displaystyle \alpha \).

Как определить угол между ними?

В соответствии с определением, которое мы только что дали), нужно опустить перпендикуляр (\( \displaystyle <_<0>>\)) из любой точки прямой \( a\) на плоскость \( \displaystyle \alpha \).

А потом провести прямую через точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle O\).

Так вот, по определению, угол между прямой \( \displaystyle a\) и плоскостью \( \displaystyle \alpha \) равен углу (\( \displaystyle \varphi \)) между \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle <’>\).

Угол между прямой и плоскостью в задачах

Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?

Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.

Геометрический метод

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (\( \displaystyle \varphi \)) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опустится перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

Алгебраический метод

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

Здесь (\( \displaystyle <_<1>>,<_<1>>,<_<1>>\)), (\( \displaystyle <_<2>>,<_<2>>,<_<2>>\)) – координаты двух точек на прямой, \( \displaystyle A\), \( \displaystyle B\), \( \displaystyle C\) – координаты в уравнении плоскости: \( \displaystyle Ax+By+Cz+D=0\).

Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.

Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

Задача по поиску угла между прямой и плоскостью

В правильной шестиугольной пирамиде \( \displaystyle SABCDEF\) точка \( \displaystyle M\) – середина ребра.

Найти угол между прямой \( \displaystyle FM\) и плоскостью основания, если \( \displaystyle SE=3FE\).

Решение задачи геометрическим методом

Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания \( \displaystyle O\), то \( \displaystyle OE\) – это проекция \( \displaystyle SE\), а точка \( \displaystyle M\) проецируется в точку \( \displaystyle K\) – середину отрезка \( \displaystyle OE\).

И теперь \( \displaystyle FK\) – это проекция \( \displaystyle FM\), а искомый угол между прямой \( \displaystyle FM\) и плоскостью основания – это \( \displaystyle \angle MFK\).

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то \( \displaystyle a\), тогда боковые рёбра – \( \displaystyle 3a\). Заметь, что \( \displaystyle \Delta MFK\) – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол.

Проще всего найти тангенс этого угла.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение задачи алгебраическим методом (методом координат)

Тогда координаты точки \( \displaystyle F(\frac<2>;

Координаты точки \( \displaystyle M\):

Уравнение плоскости \( \displaystyle ABCDEF:Z=0\)

Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Все зависит от задачи. Поэтому важно научиться пользоваться двумя методами.

Бонусы: вебинары из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 14. Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой

Расстояние между точками и от точки до прямой — это первое видео раздела «Стереометрия», входящее в полный курс подготовки к ЕГЭ (о нем ниже).

В этом видео мы научимся «видеть» 3-мерное пространство и изображать 3-мерные объекты на бумаге (то есть на плоской поверхности).

Затем мы научимся двум основным вещам — находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.

На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии.

Не перескакивайте, не пропускайте его! Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.

ЕГЭ №14. Стереометрия. Разбор варианта профильного ЕГЭ

Нужно великолепно знать основные теоремы планиметрии, уметь рассчитывать расстояния, площади и объемы плоских и объемных фигур.

Но самое сложное, нужно научиться строить доказательства с помощью этих теорем и правильно их записывать.

Об этом в нашем вебинаре в задаче о шестиугольной призме.

ЕГЭ 14 Стереометрия. Разбора задачи статграда, февраль 2021

Что проще: призма или пирамида? Хоть в призме и больше рёбер и граней, но с пирамидами справляться сложнее, причём прямо начиная с рисунка: все линии налезают друг на друга, ничего нигде не параллельно, в общем, лучше бы призму дали.

Но как только научились рисовать пирамиду, сразу всё стало проще: кругом одни треугольники, а как известно, фигур проще треугольника в геометрии найти не так-то просто 🙂

А если где прямые углы найдём, то вообще сказка.

Из этого видео вы узнаете, как правильно рисовать пирамиду и научитесь решать задачу №14 из февральского СтатГрада

Источник

Угол между прямой и плоскостью – определение, примеры нахождения.

Начнем эту статью с определения угла между прямой и плоскостью. После этого покажем, как находится угол между прямой и плоскостью методом координат, подробно разберем решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Прежде чем говорить об определении угла между прямой и плоскостью, рекомендуем освежить в памяти понятие прямой линии в пространстве и понятие плоскости.

Чтобы определить угол между прямой и плоскостью нам потребуется несколько вспомогательных определений. Дадим эти определения.

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.

При этом прямая, которая пересекает плоскость, может быть перпендикулярна к этой плоскости.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Проекцией прямой a на плоскость называют множество проекций всех точек прямой a на плоскость .

Теперь нам достаточно сведений, чтобы дать определение угла между прямой и плоскостью.

Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.

Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным , а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным .

Нахождение угла между прямой и плоскостью.

Условия задач, в которых приходится отыскивать угол между прямой и плоскостью, достаточно разнообразны. В зависимости от исходных данных, приходится подбирать соответствующий метод решения. Часто справиться с задачей нахождения угла между прямой и плоскостью помогают признаки равенства или подобия фигур, теорема косинусов и определения синуса, косинуса и тангенса угла. Также можно найти угол между прямой и плоскостью методом координат. Остановимся на нем подробнее.

Начнем с начальных данных, от которых мы будем отталкиваться при определении угла между прямой и плоскостью методом координат.

Осталось получить формулу, которая позволят вычислять угол между прямой и плоскостью по известным координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Отложим векторы и от точки пересечения прямой a и плоскости . В зависимости от координат векторов и возможны четыре варианта расположения этих векторов относительно заданных прямой и плоскости. Изобразим их на чертеже.

Очевидно, если угол между векторами и (обозначим его ) острый, то он дополняет искомый угол между прямой и плоскостью до прямого угла, то есть, . Если же , то .

Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать следующим образом:

Формулы приведения приводят нас к равенствам , которые после преобразований принимают вид

То есть, синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

В разделе нахождение угла между двумя векторами мы выяснили, что угол между векторами равен отношению скалярного произведения векторов и произведения длин этих векторов, тогда для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью справедлива формула .

Следовательно, формула для вычисления угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости имеет вид .

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти косинус угла при известном синусе. Так как угол между прямой и плоскостью острый, то косинус этого угла является положительным числом и вычисляется по формуле .

Теперь мы можем находить синус угла, косинус угла и сам угол между прямой и плоскостью по полученным формулам. Решим несколько характерных примеров.

Найдите угол, синус и косинус угла между прямой и плоскостью .

Канонические уравнения прямой в пространстве позволяют сразу получить координаты направляющего вектора – их дают числа в знаменателях дробей. То есть, — направляющий вектор прямой .

Подставляем координаты векторов и в формулу для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью:

Тогда и .

Чтобы вычислить угол между прямой и плоскостью по полученной формуле, нам нужно знать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. Направляющим вектором прямой AD является вектор .

Нормальный вектор плоскости АВС перпендикулярен и вектору и вектору , то есть, в качестве нормального вектора плоскости АВС можно взять векторное произведение векторов и :

Осталось подставить координаты векторов в формулу и вычислить требуемый угол между прямой и плоскостью:

Источник

• визитки установка дверей шаблоны →

Фигура	Рисунок	Свойство проекции
Наклонная к плоскости α