Все тела обладающие массой притягиваются друг к другу. Исаак Ньютон на основе многолетних данных астрономических наблюдений и законов динамики сформулировал закон всемирного тяготения : две любые материальные точки массами m 1 и m 2 притягиваются друг к другу вдоль линии соединяющей точки с силой прямо пропорциональной произведению масс точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) между ними:
Земля не является «материальной точкой» для тел, расположенных на ее поверхности. Теоретически доказано, что сила, с которой Земля притягивает тела, расположенные вне ее, равна силе, которую создавала бы материальная точка массой (М), равной массе Земли, и расположенная в центре Земли. Назовем силой тяжести силу, с которой тело взаимодействует с планетой, вблизи которой оно находится.
В соответствии с законом всемирного тяготения на материальную точку массой (m) со стороны Земли будет действовать сила тяжести, равная
Если тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести, то вес тела будет равен нулю:
1) вес тела равен нулю когда тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести ( ) в лифте вертикально вниз;
Закон всемирного тяготения определяет величину и направление силы всемирного тяготения, но не отвечает на вопрос как осуществляется это взаимодействие. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.
1. Напряженность гравитационного поля ( ), силовая характеристика поля, равна силе, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой (это ничто иное как ускорение, с которым тело движется в поле тяготения):
Независимо от своей массы все тела под действием силы тяжести движутся с одинаковым ускорением ( )
Единица измерения [φ]=Дж/кг.
Потенциальная энергия тела в гравитационном поле равна:
Тогда работа гравитационного поля по перемещению тела из точки с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 равна:
Работа гравитационного поля по перемещению тела между двумя точками не зависит от траектории движения тела, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек, на замкнутом пути работа гравитационного поля равна нулю. То есть, сила всемирного тяготения и сила тяжести являются консервативными.
В качестве примера рассмотрим гравитационное поле материальной точки.
Наглядную картину поля представляет набор линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей, например, гравитационное поле материальной точки представлено на рисунке (1.8.2).
Мы уже упоминали, что гравитационное поле Земли можно рассматривать, как поле материальной точки расположенной в центре Земли. Тогда потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h относительно Земли:
Потенциальная энергия тела на высоте h над поверхностью Земли, равна:
Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом и напряженностью поля тяготения.
Элементарная работа, совершаемая полем при малом перемещении тела массой (m), равна
Величина dφ/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения, это ничто иное, как градиент потенциала.
Таким образом, напряженность гравитационного поля численно равна градиенту потенциала гравитационного поля и направлена в сторону его уменьшения:
На Земле приблизительно инерциальными являются системы отсчета, которые покоятся или движутся равномерно и прямолинейно относительно точек на поверхности Земли.
Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, рассматривают три варианта проявления этих сил.
1. Сила инерции возникает при ускоренном поступательном движении системы отсчета и направлена против вектора ускорения неинерциальной системы отсчета :
Действию центробежной силы инерции подвергаются пассажиры в движущемся транспорте на поворотах; летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах, где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.
равна произведению удвоенной массы тела на векторное произведение скорости поступательного движения тела относительно системы отсчета и угловой скорости вращения системы отсчета. Эта сила направлена перпендикулярно векторам скорости тела и угловой скорости вращения системы в соответствии с правилом правого винта.
Земля представляет собой вращающуюся систему отсчета и действие силы Кориолиса объясняет ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис.1.8.4), то сила Кориолиса будет направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на восток. Если тело движется в юг, то сила Кориолиса также направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.
Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета : произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции):
Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета, поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона. Два основных положения механики: 1) ускорение всегда вызывается силой; 2) сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в неинерциальных системах отсчета одновременно не выполняются.
Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета, в инерциальных системах отсчета таких сил не существует.
Все тела независимо от их масс и химического состава, получают в данном гравитационном поле одинаковые ускорения. Поэтому в таком поле они движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают свободно движущиеся тела, если их движение рассматривать относительно какой-либо неинерциальной системы отсчета.
Силы инерции, действующие на тела неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия.
Все механические явления и движения в лифте будут в точности такими же, что и в неподвижном лифте, висящем в поле тяжести.
Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.
Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.
Принципа эквивалентности Эйнштейна: все физические явления в поле сил тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы.
Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции можно рассматривать как принцип эквивалентности гравитационной и инерционной масс тела.
Силы тяготения являются консервативными. Это значит, что работа в поле этих сил пропорциональна произведению масс m и M материальных точек и зависит только от начального и конечного положения этих точек. Покажем это на простом примере (рис. 7.2).
Определим работу, совершенную силами поля тяготения при перемещении в нём материальной точки массой m (работу по удалению материальной точки массой m от Земли массой M на расстояние r).
На данную точку в положении 1 действует сила .
рис. 7.2
При перемещении этой точки на расстояние dr, совершается работа
Из (7.3.1) следует, что работа А, совершенная консервативными силами, равна уменьшению потенциальной энергии системы.
В нашем случае работа равна уменьшению потенциальной энергии U материальной точки, перемещающейся в поле тяготения.
Рис. 7.3
Принято считать, что потенциальная энергия на поверхности Земли равна нулю. Штрихованной линией показана потенциальная энергия внутри Земли. При r = 0 в центре Земли
Если условиться считать, что потенциальная энергия точки m стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от источника поля точки M, тогда
и ,
или, в силу произвольности выбора точки 1,
Величина φ, равная отношению потенциальной энергии матери-альной точки в поле тяготения к массе m,
По аналогии с электростатическим полем, роль заряда здесь выполняет масса m.
Потенциал поля тяготения, создаваемый одной материальной точкой с массой M, равен , где r – расстояние от этой точки до рассматриваемой точки поля.
Из сопоставления двух последних соотношений следует
Между двумя характеристиками поля тяготения – напряженностью и потенциалом – существует взаимосвязь.
Вектор напряженности может быть выражен как градиент скалярной функции гравитационного потенциала φ:
Гравитационное поле можно изобразить с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей (рис. 7.4). Эквипотенциальные поверхности – геометрическое место точек с одинаковым потенциалом. Линии напряженности (силовые линии поля) всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Графическая зависимость напряженности гравитационного поля Земли (и ускорения а) от расстояния до центра Земли изображена на рисунке 7.5.
Из рисунка видно, что внутри Земли растет пропорционально r, а вне Земли убывает . Так же и ускорение – внутри Земли; – вне Земли.
Закон всемирного тяготения и механика Ньютона явились величайшим достижением естествознания. Они с большой точностью описывают обширный круг явлений, в том числе движение в иных системах небесных тел – двойных звезд в звездных скоплениях, галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование планеты Нептун, спутников Сириуса и др. В астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе которого вычисляются движение, строение и эволюция небесных тел. Однако, в некоторых случаях, поле тяготения и движение физических объектов в полях тяготения не может быть описано законами Ньютона. Сильные гравитационные поля и движение в них с большими скоростями описываются в общей теории относительности (ОТО), созданной А. Эйнштейном.
Принцип независимости действия сил для полей приводит к принципу их суперпозиции: гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно геометрической сумме гравитационных полей, возбуждаемых этими телами в отдельности. Математически этот принцип выражается формулами:
На основе этих формул можно вычислить гравитационное поле любого тела. Для этого надо мысленно разбить тело на малые части, и подсчитать характеристики поля.
Гравитационное поле Земли является силовым полем, которое обусловлено притяжением ее массы и центробежной силой, возникающей как следствие вращения Земли. Гравитационное поле Земли:
Определить напряженность и потенциал гравитационного поля Земли вблизи ее поверхности.
Согласно второму закону Ньютона отношение силы тяготения, действующей на частицу, к массе этой частицы равно ускорению частицы:
Таким образом, получаем:
По формуле (1) напряженность гравитационного поля Земли равна:
Эта формула выражает величину напряженности через отношение силы тяготения, действующей на частицу, к массе этой частицы.
Сравнивая выражения для ускорения частицы и напряженности гравитационного поля, получаем:
Теперь, мой друг, мы подошли к понятию «ПОТЕНЦИАЛ». Этот параметр характеризует физическое силовое поле (гравитационное поле – гравитационный потенциал, электрическое – электрический потенциал).
Чтобы выяснить физический смысл гравитационного потенциала, необходимо вспомнить третий Закон Кеплера: R 3 /T 2 = GM/4π 2 = const, где: R – радиус орбиты (при эллиптической орбите – большая полуось эллипса), м; Т – период обращения по орбите, с.
Умножим обе части этого уравнения на 4π 2 (константа возрастёт, но останется константой) и в результате получим: 4π 2 R 2 /T 2 = v 2 R = GM = const, где v = 2πR/T – орбитальная скорость движения, м/с.
Если это уравнение поделить на радиус (R), то получим квадрат орбитальной скорости v 2 = GM/R. Этот параметр и называется гравитационным потенциалом данной точки поля. Измеряется в Дж/кг или (м 2 /с 2 ).
Физический смысл – удельная потенциальная энергия (энергия, отнесённая к единице массы: v 2 = W/m, Дж/кг), численно равная работе, необходимой для перемещения одного килограмма массы из данной точки поля за его пределы.
Эта величина скалярная, ибо характеризует поле только по величине. Здесь важно помнить, что гравитационный потенциал всегда имеет только отрицательное значение.
Коллега, мы вновь сталкиваемся с отрицательным значением, но теперь уже – гравитационного потенциала.
И не только гравитационного, но и электрического потенциала. Потенциал, мой друг, как и потенциальная энергия, имеет только отрицательное значение. И в этом нет ничего странного. Ведь с удалением от центра потенциального поля потенциал (как и потенциальная энергия) действительно увеличивается и в пределе становится равным нулю. А всё, что меньше нуля, имеет отрицательное значение.
В подтверждение этому в разделе «Тяготение» БСЭ (Большая Советская Энциклопедия) дословно сказано: «…потенциал поля тяготения (читай гравитационный потенциал) частицы массы (M) может быть записан в виде: φ = –GM/R».
Там же, чуть дальше читаем: «Скорость, до которой разгоняется тело, свободно падающее из бесконечности (предполагается, что там оно имело пренебрежимо малую скорость) до некоторой точки, равна по порядку величины корню квадратному из модуля гравитационного потенциала φ в этой точке (на бесконечности φ считается равным нулю)». Следовательно, φ = v 2 = – GM/R.
Еще чуть дальше оговаривается и предел применения теории Ньютона, которую: «…можно применять только в том случае, если |φ| 2 ».
Аналогично электрический потенциал (U) тоже является скалярной энергетической характеристикой электрического поля. Он равен отношению потенциальной энергии (W) взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда (q): U = W/q, Дж/Кл.
Напряжённость электрического поля (Е) и его потенциал (U) связаны соотношением: Е = – grad U.
Итак, сила (F, Дж/м или Н), действующая на единичную массу (m, кг) в гравитационном поле или на единичный электрический заряд (q, Кл) в электрическом поле, называется напряженностью поля (для гравитационного поля g = F/m, для электрического E = F/q).
Поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью (поверхность одинакового потенциала). Силовые линии в потенциальном поле всегда нормальны (перпендикулярны) к эквипотенциальной поверхности.
Коллега, не пора ли нам переходить к обсуждению Природы гравитации?
Пора, мой друг. Но прежде, давайте подведём итоги тому, что мы с Вами здесь уже обсудили.
Первое: Нас окружает силовое поле, которое является неоднородным (параметры поля зависят от расстояния – радиуса – до центра поля).
Второе: мы уже знаем, что силовое поле является МАТЕРИАЛЬНОЙ СРЕДОЙ, обладает энергией и массой.
Третье: мы знаем, что эта энергия разделена на энергию взаимодействия (потенциальную энергию) и энергию вихря или движения (кинетическую энергию).
Четвёртое: мы также знаем, что одна из этих энергий (потенциальная энергия) имеет только отрицательное значение, ибо её максимальное значение равно нулю.
И наконец, пятое: объёмная плотность потенциальной энергии (проще – давление) тоже отрицательна и, чем ближе к центру поля, тем значение этого параметра МЕНЬШЕ (по модулю – больше).
Здравый смысл нам подсказывает, что всё сущее должно стремиться из области высокого давления в область низкого давления.
Где давление ниже? Конечно же, в центре потенциального поля (см. пятое заключение).
Куда устремлено всё сущее? Конечно же, к центру потенциального поля (туда, где давление меньше).
Прав был Гегель, когда говорил, что «Притягивание» представляет собой неподходящее выражение, правильнее сказать, что планеты сами стремятся к Солнцу (Гегель. Философия природы. Энциклопедия философских наук. Т. 2. М., Мысль, 1975, стр. 105).
Здесь ключевые слова: «сами стремятся». То есть, ничто их не притягивает. Разница, как видите, принципиальная. И стремятся они сами только потому, что в центре потенциального поля объёмная плотность энергии (проще – давление) меньше, чем на периферии.
Коллега, но ведь это же очень просто. Так не бывает. Не может быть, чтобы такая простота суждений была недоступна титанам науки.
Почему недоступна? Как раз, мой друг, одному из таких титанов, которым являлся Гегель, такая простота суждений, как мы уже убедились, была очень даже доступна. И Гегель здесь вовсе не один.
К примеру, вот что писал Пуанкаре о силах, удерживающих электрон в виде компактного образования: «Они, очевидно, могут быть уподоблены давлению, господствующему внутри электрона; всё происходит так, как если бы каждый электрон был полым пространством, находящимся под постоянным внутренним давлением (независимо от объёма), работа такого давления была бы, очевидно, пропорциональна изменению объёма… однако… это давление ОТРИЦАТЕЛЬНО».
Кстати, Декарт в своё время тоже разработал кинетическую теорию тяготения, объяснявшую силу тяжести взаимодействием тел с небесным флюидом (на современном языке – с напряжённостью гравитационного поля в точке нахождения данного тела).
Недоступна простота суждений лишь тем «титанам», которые не могут связать воедино все пять вышеперечисленных заключений и осознать, что силовые поля неоднородны, что они обладают энергией, что энергия и её объёмная плотность (давление) могут быть отрицательны.
Чтобы убедиться в этом, давайте ещё раз вспомним основополагающий третий Закон Кеплера: R 3 /T 2 = const (1), где: R – радиус орбиты (если орбита эллиптическая, то это большая полуось эллипса); Т – период обращения по орбите.
Заметьте, радиус орбиты и период обращения любой планеты мы можем измерять с достаточной степенью точности. И это делал уже в 16 веке Тихо Браге – учитель Кеплера.
Чтобы получить третий Закон Кеплера в более удобном виде, умножим обе части этого уравнения на 4π 2 (константа возрастёт, но останется константой): 4π 2 *R 2 *R/T 2 = v 2 R = Кп (2)
Теперь, внимание! Постоянная Кеплера (Кп) характеризует именно гравитационное поле. Причём, конкретное гравитационное поле и для каждого поля имеет своё индивидуальное значение.
Сделаем ещё шаг вперёд и поделим постоянную Кеплера на радиус орбиты (R). В результате получим некое значение (v 2 = Кп/R), которое имеет двойной смысл. Если оно относится к кинетической энергии движения по орбите, то этот параметр можно было бы назвать кинетиалом (имеет положительное значение и измеряется в м 2 /с 2 ).
Однако точно такое же по модулю, но отрицательное значение имеет параметр, который мы называем гравитационным потенциалом в данной точке поля: -v 2 = Кп/R – измеряется в Дж/кг и может изменять своё значение от минус c 2 (минимум) до нуля (максимум): -c 2 2 2 ).
Именно так поступил в своё время Ньютон и получил уравнение Гюйгенса для центростремительного ускорения g = v 2 /R.
Для современных физиков g = Кп/R 2 = v 2 /R является градиентом гравитационного потенциала или напряжённостью гравитационного поля. Заметьте, этот параметр характеризует конкретную точку гравитационного поля и не зависит от того, есть в данной точке пробное тело или его там нет.
Однако для Ньютона этот параметр являлся лишь ускорением свободного падения пробного тела. Заметьте, в такой формулировке этот параметр характеризует не гравитационное поле (о наличии которого Ньютон даже не догадывался), а ускоренное движение пробного тела.
Ньютон понял, что ускорение свободного падения пробного тела является СЛЕДСТВИЕМ силы тяготения, но он не мог знать того, что ПРИЧИНОЙ возникновения этой силы является напряжённость гравитационного поля. К сожалению, об этом даже не задумываются и современные математики, и даже многие физико-математики.
Умножив это ускорение на массу планеты, Ньютон получил силу притяжения данной планеты к Солнцу (Математические начала натуральной философии, стр. 520): F = k*m/r 2 (3), где: k – коэффициент притяжения (фактически постоянная Кеплера); k/r 2 – ускорение свободного падения (для Ньютона); m – масса планеты; r – радиус орбиты планеты.
Итак, объединив уравнение Гюйгенса для центростремительного ускорения по окружности с третьим Законом Кеплера, Ньютон получил свой знаменитый закон «всемирного» тяготения.
Однако Ньютон видел, что сила притяжения планеты к Солнцу F = m*k/r 2 зависит только от двух параметров: массы планеты (m) и ускорения свободного падения (k/r 2 ), которое он воспринимал, как следствие действия этой силы. Но была нужна внешняя первопричина и Ньютон «нашёл» её в массе Солнца (М).
Именно поэтому коэффициент притяжения k (фактически, как мы уже знаем, это постоянная Кеплера) стали записывать, как произведение массы Солнца (М) на гравитационную постоянную (G) и закон «всемирного» тяготения сразу потерял свою универсальность, ибо в микромире он уже не работает. Теперь ущербная запись этого «закона» выглядит так: F = GMm/r 2 (4), где GM/r 2 = k/r 2 – ускорение свободного падения.
Но сразу же появился другой проблемный вопрос: как масса Солнца на огромном расстоянии воздействует на массу той же Земли? Ответа не было и быть не могло. Поэтому Ньютон и заявил, что гипотез не измышляет.
И только теперь мы знаем, что первопричиной силы тяжести является вовсе не ускорение свободного падения (следствие этой силы), а напряжённость гравитационного поля в той его точке, где планета находится. Заметьте, этот параметр (очень важно. ) характеризует ту самую точку поля, в которой планета и находится. Теперь причина не где-то очень далеко, а совсем рядом.
Специально повторю: постоянная Кеплера, гравитационный потенциал и его градиент – напряжённость гравитационного поля характеризуют только конкретное гравитационное поле, невзирая на то, есть в этом поле пробное тело или его там нет. И это надо помнить всегда.
Но самое важное здесь то, что законы Кеплера, в отличие от закона «всемирного» тяготения, действуют не только в макромире, но и в микромире (в потенциальном поле атома), ибо законы Кеплера (особенно его третий Закон) успешно использовали в расчётах параметров микромира Макс Борн (Атомная физика, Мир, Москва, 1965, стр. 128, 407, 418) и Эдуард Шпольский (Атомная физика, Наука, Москва, 1984, т. 1, стр. 173, 177, 331, т. 2, стр. 218,228).
Каждое рассуждение должно проверяться экспериментом и любые выводы, как бы привлекательны они ни казались, должны отбрасываться, если не соответствуют фактам.
Теперь мы можем проверить справедливость уравнений (2), (5), (6) и (7): F = E*q = mп*g = 6,986*10 7 Дж/м.
Ведь, всё это действительно очень просто, а математикам подавай что-нибудь позаковыристее (мало кому понятное и тёмное). Но самое печальное то, что для них физический смысл является пустым звуком.
Вспомним, к примеру, как Птолемей, вместо того, чтобы искать простую и внятную причину движения планет, создал сложную математическую систему эпициклов, не имеющую физического смысла, но довольно хорошо описывающую вращение небесных светил вокруг Земли. Полторы тысячи лет потребовалось для разоблачения этой математической нелепости.
Продолжая эту «научную» нелепость, другой наш «гений» двинул в науку «общую теорию относительности», настолько мудрёную и тёмную, что её никто не понимает (в том числе и сам автор). Однако многие, не желая прослыть неучами среди «понимающих», делают вид, что являются той самой элитой, разбирающейся в дерзновенных доводах «гения». Всё это напоминает знаменитую сказку Андерсена про голого короля (любимая сказка у физиков).
Думаю, что очень к месту тут слова великого Ломоносова (1711-1765): «Те, кто пишут темно, либо невольно выдают этим своё невежество, либо намеренно, но худо скрывают его. Смутно пишут о том, что смутно себе представляют».
.
и 
,
, где r – расстояние от этой точки до рассматриваемой точки поля.
может быть выражен как градиент скалярной функции гравитационного потенциала φ:
(силовые линии поля) всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
. Так же и ускорение 
– внутри Земли; 
– вне Земли.
описываются в общей теории относительности (ОТО), созданной А. Эйнштейном.