Что значит условие в математике
Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования
Для тех, кто подзабыл матешу
Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.
Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.
Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.
Знак Σ — сумма
Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:
Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.
На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:
Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».
Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:
Произведение П
С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:
А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:
Что дальше
Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.
Необходимое и достаточное условие
Содержание
Необходимое условие
Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.
Достаточное условие
Суждение Q является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) Q следует (истинность) X, то есть в случае истинности Q проверять X уже не требуется.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение Q называется признаком (элементов) M.
Необходимое и достаточное условие
Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.
Пример
Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — студент».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».
Из того что Вася студент, еще не следует что он получает стипендию, но это условие необходимо, то есть если Вася не студент, то он заведомо не получает стипендию.
Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.
См. также
cs:Nutná a postačující podmínka he:תנאי שקול
Необходимое и достаточное условие
Необходимое условие и достаточное условие — виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.
Содержание
Необходимое условие
Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.
Достаточное условие
Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком (элементов) M.
Необходимое и достаточное условие
Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.
Пример
Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — учащийся».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».
Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.
Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.
В импликации A → B
A — это достаточное условие для B
B — это необходимое условие для A
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Необходимое и достаточное условие» в других словарях:
необходимое и достаточное условие — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN necessary and sufficient condition … Справочник технического переводчика
Достаточное условие — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ — А является таким условием для В, если истинно условное высказывание «Если А, то 5». Напр., т.к. условное высказывание «Если число делится на 9, то оно делится на 3» истинно, делимость числа на 9 является Д.у. его делимости на 3. Понятие Д.у.… … Философская энциклопедия
Необходимое условие — и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ — В является таким условием для А, если истинно условное высказывание «Если А, то 5». Напр., поскольку условное высказывание «Если ниобий металл, то он электропроводен» истинно, то электропроводность ниобия является Н.у. того, что он металл. То,… … Философская энциклопедия
условие — сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? условия, чему? условию, (вижу) что? условие, чем? условием, о чём? об условии; мн. что? условия, (нет) чего? условий, чему? условиям, (вижу) что? условия, чем? условиями, о чём? об условиях … … Толковый словарь Дмитриева
условие — ▲ предпосылка ↑ необходимый условие необходимая предпосылка чего л; пассивная необходимость (# существования. основное #. необходимое #. достаточное #. необходимое и достаточное #). являться условием чего. предполагать (эта работа предполагает… … Идеографический словарь русского языка
Достаточность Необходимость — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия
Если и только если — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия
Критерий (логика) — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия
Необходимые и достаточные условия
Понятие отношения следования между предложениями позволяет уточнить смысл слов «необходимо» и «достаточно», которые часто употребляются в математике.
Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В – необходимое условие для А, а А – достаточное условие для В.
Другими словами, предикат В(х) логически следует из предиката А(х), т.е. А(х)
В(х), то А(х) называют достаточным условием для В(х), а В(х) – необходимым условием для А(х).
условие необходимости: А
В
условие достаточности: В
А
Если же предложения А и В равносильны, то говорят, что А – необходимое условие для В, и наоборот.
Другими словами, если из предиката А(х) логически следует предикат В(х), а из предиката В(х) логически следует предикат А(х), т.е. А(х)
В(х), то А(х) – необходимое и достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое и достаточное условие для А(х).
условие необходимости и достаточности:
А
В
В начальном курсе математики слова «необходимо» и «достаточно», как правило, не употребляются, но зато широко используются их синонимы – «нужно» и «можно».
Приведем пример. В первой коробке 6 карандашей, во второй – на 2 меньше. Сколько карандашей в двух коробках?
Один из возможных путей поиска решения задачи может быть таким. Учитель спрашивает: можно ли сразу узнать, сколько карандашей (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на ее вопрос)?
Учащийся отвечает: нельзя, так как нужно знать, сколько карандашей во второй коробке (т.е. необходимо знать).
Учитель далее спрашивает: можно ли узнать количество карандашей во второй коробке? (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на этот вопрос)?
Ученик отвечает: можно.
Учитель спрашивает: что для этого нужно сделать? И т.д.
Правильное употребление слов «нужно» и «можно» – залог успеха в использовании слов «необходимо» и «достаточно» при дальнейшем изучении математики.
Рассмотрим следующие примеры.
1. Вместо многоточия вставим термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, …, чтобы число х являлось делителем числа 5».
Решение: Введем обозначения: С(х) – «число х делитель числа 5», В(х) – «число х – делитель числа 15».
Для ответа на вопрос задачи нужно выяснить, каким условием является предикат С(х) для предиката В(х).
Для проверки достаточности предиката С(х) выясним, находятся ли С(х) и В(х) в отношении следования. Так как Т 
= <1, 5>, а Т 
= <1, 3, 5,15>, то Т 
Т 
и, следовательно, С(х)
В(х). Истинность последнего высказывания означает, что С(х) является достаточным условием для В(х).
Проверим, является ли С(х) необходимым условием для В(х), выяснив, истинно ли высказывание В(х)
С(х).
Так как найдется такое значение х (например, х = 3), при котором В(х) истинно, а С(х) ложно, то высказывание В(х)
С(х) ложно и, следовательно, С(х) не является необходимым условием для В(х).
Таким образом, вместо многоточия можно вставить термин «достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, достаточно, чтобы х являлось делителем числа 5».
2. Дано предложение: «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны». Выясним, нельзя ли сформулировать это предложение по-другому.
Поскольку предложение «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» вытекает из предложения «Четырехугольник – ромб», то предложение «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны» можно сформулировать еще так:
1) Из того, что четырехугольник – ромб, следует, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
2) Во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.
3) Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
4) Чтобы диагонали четырехугольника были взаимно перпендикулярны, достаточно, чтобы он был ромбом.
3. Вставить слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» в предложение «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, …, чтобы оно делилось на 2».
Решение: Пусть предложение А – «число делится на 6», В – «Число делится на 2». Тогда, для того чтобы выполнялось условие необходимости, из предложения А должно логически следовать предложение В, а чтобы выполнялось условие достаточности – предложение А должно логически следовать из В.
Действительно, любое число, которое делится на 6, делится на 2. Значит, выполняется условие необходимости. И не верно, что любое число, делящееся на 2, делится на 6 (например, 14 делится на 2, но не делится на 6).
Значит, условие достаточности не выполняется, а вместо многоточия нужно вставить термин «необходимо»: «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2».
Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений
Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Понятие предела в математике
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.