Что значит упорядочить ряд чисел
Упорядоченные ряды данных. Таблицы распределения
Ряд задач данного пункта составлен с опорой на материал главы 2 «Линейная функция» учебника и задачника.
Если в некотором измерении данных много, то лучше их как-то упорядочить. Например, если подряд записать сотню телефонных номеров и имена их владельцев, то в таком списке легко запутаться. Совсем другое дело, если расположить те же номера по алфавиту заглавных букв фамилий или имён абонентов. Тогда на каждую букву, скорее всего, придётся не более 7—8 номеров и поиск нужного номера станет простым делом.
Статистическая обработка данных, как правило, начинается с расположения данных в каком-либо разумном порядке: по алфавиту, по числовому значению, в таблице, в столбчатой или круговой диаграмме, в виде дерева возможных вариантов и т. д. Мы начнём с простейших способов упорядочивания данных.
В упражнении № 6.37 а) (см. с. 39) надо отметить на координатной плоскости 14 точек. Ряд данных, состоящий из абсцисс этих точек, выглядит так:
Получился упорядоченный ряд данных. Сами данные в нём не изменились по сравнению с исходным рядом данных, изменился только порядок следования. Грубо говоря, мы расположили первоначальные данные «по росту».
Вместо того чтобы в задаче № П.8 в) выписывать 0, 0, 0, 0, 0, можно сказать, что число 0 встретилось 5 раз. Так же можно поступить и с остальными числами. Собранную информацию соберём в таблице:
Получилась таблица распределения данных.
Зная упорядоченный ряд данных, нетрудно составить таблицу распределения: вместо повторений одного и того же числа записываем количество этих повторений. Верно и обратное: если известна таблица распределения, то можно восстановить упорядоченный ряд данных. Например, пусть таблица распределения данных какого-то измерения выглядит так:
Из неё получается такой упорядоченный ряд данных:
Приведите левые части следующих уравнений к виду ах + by + с:
На контрольной по алгебре ученики 7 «Б» класса получили такие оценки:
Конспект урока по алгебре по теме: «Статистические характеристики произвольного и упорядоченного ряда чисел»
Урок 1. Среднее арифметическое, размах, мода. Медиана, как статистическая характеристика.
I Актуализация и мотивация знаний
— Скажите, пожалуйста, какие ассоциации у вас возникают при словах: мода, размах?
— Можете ли вы мне дать определение этим понятиям?
— Как вы думаете, а какое из этих слов относится к математике, алгебре? А ещё точнее к теории вероятности и статистике? ВСЕ!
Например: 23; 17; 35; 17; 14; 56 – произвольный ряд 14; 17; 17; 23; 35; 56 – упорядоченный ряд чисел
— Что же называется ср. арифметическим ряда чисел? Результат частного суммы чисел к их количеству. Если рассмотреть ряд чисел, записанный выше, попробуйте найти ср. арифметическое данного ряда . (14+17+17+23+35+56) : 6 = 162 : 6 = 27
Размах – это результат разности м/у наибольшим и наименьшим значениями ряда чисел. Опять же на примере ряда, записанного ранее, определите размах
Мода – это число, которое чаще других встречается в данном ряду. М = 17
— А сейчас постараемся на практике применить полученные знания. Найдите все эти статистические характеристики в следующих заданиях:
Медиана упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов – это число, записанное посередине, а медиана упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов – это среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Медиана произвольного ряда – медиана соответствующего упорядоченного ряда.
— Как мы с вами можем охарактеризовать ряд, записанный самым первым? Произвольный ряд с чётным количеством членов ряда.
— Можете ли вы определить значение медианы? Ме = (17+23) : 2 = 25
— Приведите пример ряда с нечётным количеством членов и расскажите алгоритм определения медианы? 75; 64; 56; 56; 56; 48; 37; 22; 16; Ме = 56
— Какие ещё статистические характеристики вы можете найти для данного ряда чисел?
Среднее арифметическое, размах и моду.
II Работа по данной теме:
В классе: № 177, № 186, № 167 (г, а), № 168 (г, а), № 169 (г, а), № 176, № 178, № 175
Дома: п. 9-10(выучить осн. понятия),№ 168 (б, в), № 171,№ 189. Подготовиться к С.р.
Самостоятельная работа по теме: «Статистические характеристики» .
Что такое мода ряда? ПРИМЕР
Что такое среднее арифметическое ряда чисел? ПРИМЕР
Самостоятельная работа по теме: «Статистические характеристики» .
1. Что такое размах ряда? ПРИМЕР
2. Что такое медиана ряда с чётным числом членов? ПРИМЕР
3. В таблице приведено количество очков, набранных в чемпионате, некоторыми баскетболистами.
Алгебра
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Понятие выборки и генеральной совокупности
Слово статистика, образованное от латинского status(состояние дел), появилось только в 1746 году, когда его употребил немец Готфрид Ахенвалль. Однако ещё в Древнем Китае проводились переписи населения, в ходе которых правители собирали информацию о своих владениях и жителях, проживающих в них.
В основе любого статистического исследования лежит массив информации, который называют выборкой данных. Покажем это на примере. Пусть в классе, где учится 20 учеников, проводился тест по математике, содержавший 25 вопросов. В результате учащиеся показали следующие результаты:
Ряд чисел, приведенный во второй строке таблицы (12, 19, 19, 14, 17, 16, 18, 20, 15, 25, 13, 20, 25, 16, 17, 12, 24, 13, 21, 13), будет выборкой. Также ее могут называть рядом данных или выборочной совокупностью.
В примере с классом выборка состоит из 20 чисел. Эту величину (количество чисел в ряду) называют объемом выборки. Каждое отдельное число в ряду именуют вариантой выборки.
В примере со школьным классом в выборку попали все его ученики. Это позволяет точно определить, насколько хорошо учащиеся написали математический тест. Однако иногда необходимо проанализировать очень большие группы населения, состоящие из десятков и даже сотен миллионов человек. Например, необходимо узнать, какая часть населения страны курит. Опросить каждого жителя государства невозможно, поэтому в ходе исследования опрашивают лишь его малую часть. В этом случае статистики выделяют понятие генеральная совокупность.
Так, если с помощью опроса 10 тысяч человек ученые делают выводы о распространении курения в России, то все российское население будет составлять генеральную совокупность исследования, а опрошенные 10 тысяч людей вместе образуют выборку.
Среднее арифметическое выборки
Сбор информации о выборке является лишь первой стадией статистического исследования. Далее ее необходимо обобщить, то есть получить некоторые цифры, характеризующие выборку. Самой часто используемой статистической характеристикой является среднее арифметическое.
Другими словами, для подсчета среднего арифметического необходимо просто сложить все числа в ряде данных, а потом поделить получившееся значение на количество чисел в ряде. Так, в примере с тестом по математике (таблица 1) средний балл учащихся составит: (12+19+19+14+17+16+18+20+15+25+13+20+25+16+17+12+24+13+21+13):20=
Среднее арифметическое позволяет одним числом характеризовать какое-либо качество всех объектов группы. Чем больше средний балл учащихся в классе, тем выше их успеваемость. Чем меньше среднее количество голов, пропускаемых футбольной командой за один матч, тем лучше она играет в обороне. Если средняя зарплата программистов в городе составляет 90 тысяч рублей, а дворников – 25 тысяч рублей, то это значит, что программисты значительно более востребованы на рынке труда, а потому при выборе будущей профессии лучше предпочесть именно эту специальность.
Упорядоченный ряд и таблица частот
В ряде данных в таблице 1 числа приведены в произвольном порядке. Перепишем ряд так, чтобы все числа шли в неубывающем порядке, то есть от самого маленького к самому большому:
12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 24, 25, 25.
Такую запись называют упорядоченным рядом данных.
Его характеристики ничем не отличаются от изначальной выборки, однако с ним удобнее работать. С его помощью можно видеть, что ни одному ученику не удалось набрать 22 или 23 балла на тесте, но сразу двое учащихся дали 25 правильных ответов. На основе упорядоченного ряда данных несложно составить таблицу частот, в которой будет указано, как часто та или иная варианта выборки встречается в ряде. Выглядеть она будет так:
При составлении этой таблицы мы исключили из нее те варианты количества набранных баллов, частота которых равна нулю (от 0 до 12, 22 и 23).Заметим, что сумма чисел в нижней строке таблицы частот должна равняться объему выборки. Действительно,
С помощью таблицы частот можно быстрее посчитать среднее арифметическое выборки. Для этого каждую варианту надо умножить на ее частоту, после чего сложить полученные результаты и поделить их на объем выборки:
(24+39+14+15+32+34+18+38+40+42+24+50):20 = 349:20 = 17,45.
Размах выборки
Следующий важная характеристика ряда данных – это размах выборки.
Если выборка представлена в виде упорядоченного ряда данных, то достаточно вычесть из последнего числа ряда первое число. Так, размах выборки результатов теста в классе равен:
так как самые лучшие ученики смогли решить все 25 заданий, а наихудший учащийся ответил правильно только на 13 вопросов.
Размах выборки характеризует стабильность, однородность исследуемых свойств. Например, пусть два спортсмена-стрелка в ходе соревнований производят по 5 выстрелов по круговой мишени, где за попадание начисляют от 0 до 10 очков. Первый стрелок показал результаты 8, 9, 9, 8, 9 очков. Второй же спортсмен в своих попытках показал результаты 7, 10, 10, 6, 10. Средние арифметические этих рядов равны:
(7+10+10+6+10):5 = 43:5 = 8,6.
Получается, что в среднем оба стрелка стреляют одинаково точно, однако первый спортсмен демонстрирует более стабильные результаты. У его выборки размах равен
в то время как размах выборки второго спортсмена равен
Мода выборки
Иногда важно знать не среднее арифметическое выборки, а то, какая из ее вариант встречается наиболее часто. Так, при управлении магазином одежды менеджеру не важен средний размер продаваемых футболок, а необходима информация о том, какие размеры наиболее популярны. Для этого используется такой показатель, как мода выборки.
В примере с математическим тестом сразу 3 ученика набрали по 13 баллов, а частота всех других вариант не превысила 2, поэтому мода выборки равна 13. Возможна ситуация, когда в ряде есть сразу две или более вариант, которые встречаются одинаково часто и чаще остальных вариант. Например, в ряде
варианты 3 и 5 встречаются по три раза. В таком случае ряд имеет сразу две моды – 3 и 5, а всю выборку именуют мультимодальной. Особо выделяется случай, когда в выборке все варианты встречаются с одинаковой частотой:
Здесь числа 6, 7 и 8 встречаются одинаково часто (по два раза), а другие варианты отсутствуют. В таких случаях говорят, что ряд не имеет моды.
Медиана выборки
Иногда, например, при расчете средней зарплаты, среднее арифметическое не вполне адекватно отражает ситуацию. Это происходит из-за наличия в выборке чисел, очень сильно отличающихся от среднего. Так, из-за огромных зарплат некоторых начальников большинство рядовых сотрудников компаний обнаруживают, что их зарплата ниже средней. В таких случаях целесообразно использовать такую характеристику, как медиану ряда. Это такое значение, которое делит ряд данных пополам. В упорядоченном ряде 2, 3, 6, 8, 8, 12, 15, 15, 18, 19, 25 медианой будет равна 12, так как именно она находится в середине ряда:
Однако таким образом можно найти только медиану ряда, в котором находится нечетное количество чисел. Если же их количество четное, то за медиану условно принимают среднее арифметическое двух средних чисел. Так, для ряда 2, 3, 6, 8, 8, 12, 15, 15, 18, 19, 25, 30, содержащего 12 чисел, медиана будет равна среднему значению 12 и 15, которые занимают 6-ое и 7-ое место в ряду:
Вернемся к примеру с математическим тестом в школе. Так как его сдавали 20 учеников, а 20 – четное число, то для расчета медианы следует найти среднее арифметическое 10-ого и 11-ого числа в упорядоченном ряде
12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 24, 25, 25.
Эти места занимают числа 17 и 17 (выделены жирным шрифтом). Медиана ряда будет равна
Три приведенные основные статистические характеристики выборки, а именно среднее арифметическое, мода и медиана, называются мерами центральной тенденции. Они позволяют одним числом указать значение, относительно которого группируются все числа ряда.
Рассмотрим для наглядности ещё один пример. Врач в ходе диспансеризации измерил вес мальчиков в классе. В результате он получил 10 значений (в кг):
39, 41, 67, 36, 60, 58, 46, 44, 39, 69.
Найдем среднее арифметическое, размах, моду и медиану для этого ряда.
Решение. Сначала перепишем ряд в упорядоченном виде:
36, 39, 39, 41, 44, 46, 58, 60, 67, 69.
Так как в ряде 10 чисел, то объем выборки равен 10. Найдем среднее арифметическое. Для этого сложим все числа в ряде и поделим их на объем выборки (то есть на 10):
Размах выборки равен разнице между наибольшей и наименьшей вариантой в ней. Самый тяжелый мальчик весит 69 кг, а самый легкий – 36 кг, а потому размах ряда равен
В упорядоченном ряде только одно число, 39, встречается дважды, а все остальные числа встречаются по одному разу. Поэтому мода ряда будет равна 39 кг.
В выборке 10 чисел, а это четное число. Поэтому для нахождения медианы надо найти два средних по счету значение найти их среднее. На 5-ом и 6-ом месте в ряде находятся числа 44 и 46. Их среднее арифметическое равно
Поэтому и медиана ряда будет равна 45 кг.
Ошибки в статистике
Статистика является очень мощным инструментом для исследований во всех областях человеческой деятельности. Однако иногда ее иронично называют самой точной из лженаук. Известно и ещё одно высказывание, приписываемое политику Дизраэли, согласно которому существует просто ложь, наглая ложь и статистика. С чем же связана такая репутация этой дисциплины?
Дело в том, что некоторые люди и организации часто манипулируют данными статистики, чтобы убедить других в своей правоте или преимуществах товара, которые они продают. Требуются определенные навыки, чтобы правильно пользоваться статистикой. Одна из самых распространенных ошибок – это неправильный выбор выборки.
В 1936 году перед президентскими выборами в США был проведен телефонный опрос, который показал, что с большим преимуществом победу должен одержать Альфред Лендон. Однако на выборах Франклин Рузвельт набрал почти вдвое больше голосов. Ошибка была связана с тем, что в те годы телефон могли позволить себе только богатые люди, которые в большинстве своем поддерживали Лендона. Однако бедные люди (а их, конечно же, больше, чем богатых) голосовали за Рузвельта.
Ещё один пример – это агитация в конце XIX века в США к службе на флоте. Пропагандисты в своей рекламе указывали, что, согласно статистике, смертность на флоте во время войны (испано-американской) составляет 0,09%, в то время как среди населения Нью-Йорка она равнялась 0,16%. Получалось, что служить на флоте в военное время безопаснее, чем жить мирной жизнью. Однако на самом деле причина таких цифр заключается в том, что во флот всегда отбирали молодых мужчин с хорошим здоровьем, которые не могли умереть от «старческих» болезней, в то время как в население Нью-Йорка входят больные и старые люди.
При указании среднего значения исследователь может использовать разные характеристики – среднее арифметическое, медиана, мода. При этом почти всегда среднее арифметическое несколько больше медианы. Именно поэтому большинство людей, узнающих о средней зарплате в стране, удивляются, так как они столько не зарабатывают. Правильнее ориентироваться на медианную зарплату.
Ну и наконец, нельзя забывать, что любая статистика может показать только корреляцию между двумя величинами, но это не всегда означает причинно-следственную связь. Так, известно, что чем больше в городе продается мороженого, тем больше в это же время людей тонет на пляжах. Означает ли это, что поедание мороженого увеличивает риск во время плавания? Нет. Дело в том, что оба этих показателя, продажи мороженого и количество утонувших, зависят от третьей величины – температуры в городе. Чем жарче на улице, тем большее количество людей ходят на пляж и тем больше мороженого продается в магазинах.
1. Статистика — дизайн информации
Теория:
Теперь сгруппированные данные необходимо представить в виде таблицы.
2. Составление таблиц распределения данных.
Если разделить кратность вариантов на объём измерения, то получим частоту вариантов.
3. Графическое представление информации.
Распределение данных измерения рационально задавать в табличном виде. Однако нам известно, что и для функций есть табличный способ их задания. Таблицы являются связующим звеном. С их помощью осуществляется переход от распределения данных к функциям и графикам.
График распределения выборки является графическим представлением информации. Согласно табличным сведениям из примеров выше отметим точки, у которых абсциссы — это номер варианта, а ординаты — кратность. Соединяем отрезками полученные точки:
Получили многоугольник или полигон распределения данных. Собственно, polygon и переводится как «многоугольник».
Размах измерения — это разность между максимальной и минимальной вариантами.
Мода измерения — вариант, который в измерении встречался чаще других.
Среднее значение — среднее арифметическое, или просто среднее. Для нахождения среднего значения нужно:
1) вычислить сумму всех данных измерения;
2) полученную сумму разделить на количество данных.
Математическая статистика — основы
Слово «статистика» происходит от латинского слова «status» (статус), что означает «состояние и положение дел/вещей».
Статистика занимается изучением количественной стороны массовых общественных явлений и процессов в числовой форме, выявляя особые закономерности.
На сегодняшний день статистика применяется практически во всех сферах общественной жизни, начиная от моды, кулинарии, садоводства и заканчивая астрономией, экономикой, медициной.
Перво-наперво, при знакомстве со статистикой необходимо изучить основные статистические характеристики, применяемые для анализа данных.
Ну вот, с этого и начнем!
Математическая статистика — коротко о главном
Определения математической статистики:
Статистическая выборка – выбранное из всего числа объектов конкретное число объектов для исследования.
Объем выборки – количество элементов \( <
_<1>>,< _<2>>,\ …,\ < _ >\), попавших в выборку.
Размах выборки – разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки.
Среднее арифметическое ряда чисел – это частное от деления суммы этих чисел на их количество (объем выборки).
Среднее арифметическое ряда чисел \( \left( <
_ > \right)\) – это частное от деления суммы этих чисел \( \left( < _<1>>+< _<2>>+…+< _ > \right)\) на их количество \( \left( n \right)\)
Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
Медиана упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов – число, которое окажется посередине.
Медиана упорядоченного ряда чисел с четным числом членов –среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.
Частота – число повторений определенного значения параметра в выборке.
Относительная частота – это отношение частоты к общему числу данных в ряду.
Для наглядности удобно представлять данные в виде соответствующих диаграмм/графиков.
Статистические характеристики
К основным статистическим характеристикам выборки данных…
Какая еще такая «выборка»!?
Под словом «выборка» подразумевается просто данные, которые ты собираешься исследовать.
Дальше на примерах будет все понятно.
Так вот к основным статистическим характеристикам выборки данных относятся:
Стоп-стоп-стоп! Сколько новых слов! Давай обо всем по порядку.
Объем и размах выборки
Выборка состоит из элементов \( <
_<1>>,< _<2>>,\ …,\ < _ >\), попавших в нее. Количество этих элементов \( \left( n \right)\) называется объемом выборки.
Например, в таблице ниже приведен рост игроков сборной по футболу:
Данная выборка представлена \( \displaystyle 11\) элементами \( \displaystyle \left( <
Таким образом, объем выборки \( \displaystyle \left( n \right)\) равен \( \displaystyle 11\).
Разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки называется размахом выборки.
Размах представленной выборки составляет \( <
Среднее арифметическое выборки
Среднее арифметическое ряда чисел \( \left( <
_ > \right)\) – это частное от деления суммы этих чисел \( \left( < _<1>>+< _<2>>+…+< _ > \right)\) на их количество \( \left( n \right)\).
Не очень понятно? Давай смотреть на наш пример.
Определите средний рост игроков.
Ну что, приступим? Мы уже разбирались, что \( \displaystyle <
Можем сразу смело все подставлять в нашу формулу:
Таким образом, средний рост игрока сборной составляет \( \displaystyle 183,8\) см.
Ну или вот такой пример:
Ученикам 9 класса на неделю было задано решить как можно больше примеров из задачника. Количество примеров, решенных учениками за неделю, приведены ниже:
Найдите среднее количество решенных задач.
Итак, в таблице нам представлены данные по \( \displaystyle 20\) ученикам. Таким образом, \( \displaystyle n=20\). \( \displaystyle <
Ну что ж, найдем для начала сумму (общее количество) всех решенных задач двадцатью учениками:
Теперь можем смело приступать к расчету среднего арифметического решенных задач, зная, что \( \displaystyle <
Таким образом, в среднем ученики 9 класса решили по \( \displaystyle 78\) задач.
Еще один пример:
На рынке помидоры реализуются \( \displaystyle 7\) продавцами, причем цены за \( \displaystyle 1\) кг распределены следующим образом (в руб.): \( \displaystyle 60,\text< >55,\text< >54,\text< >70,\text< >65,\text< >67,\text< >63\).
Какова средняя цена килограмма помидоров на рынке?
Решение.
Итак, чему в данном примере равно \( \displaystyle n\)? Все верно: семь продавцов предлагают семь цен, значит, \( \displaystyle n=7\)! \( \displaystyle <
Ну вот, со всеми составляющими разобрались, теперь можем приступить к расчету средней цены:
Тогда посчитай самостоятельно среднее арифметическое в следующих выборках:
Ответы: \( \displaystyle 48,17;\text< >9;\ 168\).
Решил? Можем двигаться дальше.
Мода и медиана
Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
Обратимся снова к нашему примеру со сборной по футболу:
Чему в данном примере равна мода? Какое число наиболее часто встречается в этой выборке?
Все верно, это число \( \displaystyle 181\), так как два игрока имеют рост \( \displaystyle 181\) см; рост же остальных игроков не повторяется.
Тут все должно быть ясно и понятно, да и слово знакомое, правда?
Перейдем к медиане, ты ее должен знать из курса геометрии. Но мне не сложно напомнить, что в геометрии медиана (в переводе с латинского- «средняя») — отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Ключевое слово – СЕРЕДИНА. Если ты знал это определение, то тебе легко будет запомнить, что такое медиана в статистике.
Медианой ряда чисел с нечетным числом членов называется число, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (проранжировать, т.е. расположить значения в порядке убывания или возрастания).
Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить.
Ну что, вернемся к нашей выборке футболистов?
Ты заметил в определении медианы важный момент, который нам еще здесь не встречался? Конечно, «если этот ряд упорядочить»!
Для того, чтобы в ряду чисел был порядок, можно расположить значения роста футболистов как в порядке убывания, так и в порядке возрастания. Мне удобней выстроить этот ряд в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому).
Вот, что у меня получилось:
Так, ряд упорядочили, какой еще есть важный момент в определении медианы? Правильно, четное и нечетное количество членов в выборке.
Заметил, что для четного и нечетного количества даже определения отличаются? Да, ты прав, не заметить – сложно. А раз так, то нам надо определиться, четное у нас количество игроков в нашей выборке или нечетное?
Все верно – игроков \( \displaystyle 11\), значит, количество нечетное! Теперь можем применять к нашей выборке менее заковыристое определение медианы для нечетного количества членов в выборке.
Ищем число, которое оказалось посередине в нашем упорядоченном ряду:
Ну вот, чисел у нас \( \displaystyle 11\), значит, по краям остается по пять чисел, а рост \( \displaystyle 183\) см будет медианой в нашей выборке.
Не так уж и сложно, правда?
А теперь разберем пример с нашими отчаянными ребятами из 9 класса, которые решали примеры в течение недели:
Готов искать в этом ряду моду и медиану?
Для начала, упорядочим этот ряд чисел (расположим от самого маленького числа к самому большому). Получился вот такой вот ряд:
Теперь можно смело определить моду в данной выборке. Какое число встречается чаще других? Все верно, \( \displaystyle 77\)!
Таким образом, мода в данной выборке равна \( \displaystyle 77\).
Моду нашли, теперь можем приступать к нахождению медианы. Но прежде, ответь мне: каков объем рассматриваемой выборки? Посчитал? Все верно, объем выборки равен \( \displaystyle 20\).
А \( \displaystyle 20\) – это четное число. Таким образом, применяем определение медианы для ряда чисел с четным количеством элементов.
То есть нам надо в нашем упорядоченном ряду найти среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Какие два числа располагаются посередине?
Все верно, \( \displaystyle 80\) и \( \displaystyle 81\)!
Таким образом, медианой этого ряда будет среднее арифметическое чисел \( \displaystyle 80\) и \( \displaystyle 81\):
\( 80,5\)— медиана рассматриваемой выборки.
Частота и относительная частота
Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.
То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке.
Разберемся на нашем примере с футболистами. Перед нами вот такой вот упорядоченный ряд:
Частота – это число повторений какой-либо величины параметра. В нашем случае, это можно считать вот так. Сколько игроков имеет рост \( 176\)?
Все верно, один игрок. Таким образом, частота встречи игрока с ростом \( 176\) в нашей выборке равна \( 1\).
Сколько игроков имеет рост \( 178\)? Да, опять же один игрок. Частота встречи игрока с ростом \( 178\) в нашей выборке равна \( 1\).
Задавая такие вопросы и отвечая на них, можно составить вот такую табличку:
Ну вот, все довольно просто. Помни, что сумма частот должна равняться количеству элементов в выборке (объему выборки).
То есть в нашем примере: \( 1+1+1+2+1+1+1+1+1+1=11\)
Перейдем к следующей характеристике – относительная частота.
| Относительная частота – это отношение частоты к общему числу данных в ряду. Как правило, относительная частота выражается в процентах. |
Рассчитываем относительную частоту для каждого значения роста и получаем вот такую табличку:
А теперь сам составь таблицы частот и относительных частот для примера с 9-классниками, решающими задачи.
Графическое изображение данных
Очень часто для наглядности данные представляются в виде диаграмм/графиков. Остановимся на рассмотрении основных из них:
Столбчатая диаграмма
Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят продемонстрировать динамику изменения данных во времени или распределения данных, полученных в результате статистического исследования.
Например, у нас есть вот такие данные об оценках написанной контрольной работы в одном классе:
Количество получивших такую оценку – это у нас и есть частота. Зная это, мы можем составить вот такую вот табличку:
Теперь мы можем построить наглядные столбчатые графики на основе такого показателя как частота (на горизонтальной оси отражены оценки \( \displaystyle \left( 2,3,4,5 \right)\) на вертикальной оси откладываем количество учеников, получивших соответствующие оценки):
Или же можем построить соответствующий столбчатый график на основе относительной частоты:
Рассмотрим пример по типу задания из ЕГЭ.
Пример.
На диаграмме показано распределение добычи нефти в \( \displaystyle 7\) странах мира (в тоннах) за 2011 год.
Среди стран первое место по добыче нефти занимала Саудовская Аравия, седьмое место – Объединенные Арабские Эмираты. Какое место занимали США?
Ответ: третье.
Круговая диаграмма
Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой выборки удобно использовать круговые диаграммы.
По нашей табличке с относительными частотами распределения оценок в классе мы можем построить круговую диаграмму, разбив круг на секторы, пропорциональные относительным частотам.
Круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность только при небольшом числе частей совокупности. В нашем случае, таких частей четыре (в соответствии с возможными оценками \( \displaystyle 2,3,4,5\)), поэтому применение такого типа диаграммы достаточно эффективно.
Рассмотрим пример по типу задания 18 из ГИА.
Пример.
На диаграмме показано распределение расходов семьи во время отдыха на море. Определите, на что семья потратила больше всего?
Ответ: проживание.
Полигон
Динамику изменения статистических данных во времени часто изображают с помощью полигона.
Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные.
Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломанную, которую называют полигоном.
Вот, к примеру, нам даны среднемесячные температуры воздуха в Москве.
Сделаем приведенные данные более наглядными – построим полигон.
На горизонтальной оси отражены месяцы, на вертикальной – температура. Строим соответствующие точки и соединяем их.
Вот, что получилось:
Согласись, сразу стало наглядней!
Полигон, используют также для наглядного изображения распределения данных, полученных в результате статистического исследования.
Вот построенный полигон на основе нашего примера с распределением оценок:
Рассмотрим типовое задание из ЕГЭ.
Пример.
На рисунке жирными точками показана цена алюминия на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с \( \displaystyle 7\) по \( \displaystyle 20\) августа \( \displaystyle 2014\) года.
По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны алюминия в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку, какого числа цена алюминия на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период.
Ответ: \( \displaystyle 14\).
Гистограмма
Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограммы.
Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота – частоте или относительной частоте.
Таким образом, в гистограмме, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольника выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.
Вот, к примеру, у нас есть следующие данные о росте игроков, вызванных в сборную:
Итак, нам дана частота (количество игроков с соответствующим ростом). Мы можем дополнить табличку, рассчитав относительную частоту:
Ну вот, теперь можем строить гистограммы. Сначала построим на основании частоты.
Вот, что получилось:
А теперь на основании данных об относительной частоте:
Пример.
На выставку по инновационным технологиям приехали представители \( \displaystyle 50\) компаний. На диаграмме показано распределение этих компаний по количеству персонала.
По горизонтали представлено количество сотрудников в компании, по вертикали — количество компаний, имеющих данное число сотрудников.
Какой процент составляют компании с общим числом сотрудников больше \( \displaystyle 50\) человек?
Ответ: \( \displaystyle 68\%\).
Бонус: Вебинары с нашего курса по подготовке к ЕГЭ
Этот вебинар по родственной математической статистике теме — теории вероятности.
ЕГЭ №4 Теория вероятности
Что вы узнаете на этом уроке?
80% урока — решение задач