Что значит умножить почленно неравенства
Что значит умножить почленно неравенства
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I
§ 12 Почленное умножение неравенств
Теорема. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно умножать.
Доказательство. Пусть а > b и с > d, причем числа а, b, с и d положительны. Докажем, что aс > bd.
Умножив неравенство а > b почленно на положительное число с, получим ас > bc. Умножив затем неравенство с > d почленно на положительное число b, получим bc > bd. Теперь имеем: ас > bc, a bc > bd. Но тогда по второму основному свойству неравенств (§ 10) должно быть ас > bd.
Аналогично может быть рассмотрен случай, когда a b, причем числа а и b положительны, то для любого натурального п
Следствие 2. Если числа а и b положительны и
Возвысим оба числа в квадрат:
(√ 5 + √ 6 ) 2 = 5 + 2√ 30 + 6 = 11 + 2√ 30 ;
(√ 3 + √ 8 ) 2 = 3 + 2√ 24 + 8 = 11 + 2√ 24
Квадрат первого числа больше квадрата второго числа. Так как эти числа положительны, то по следствию 2
93. Любые ли два неравенства одинакового смысла можно почленно умножить? (Рассмотрите пример: 3 > — 10 и — 2 > — 7.)
98. √ 8 — √15 и 1 /2(√ 30 — √ 2 ) 102. (√ 5 —√ 3 ) 51 и (√ 6 —√ 2 ) 51
Решение линейных неравенств
Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.
| Символ | Название | Тип знака |
|---|---|---|
| > | больше | строгий знак (число на границе не включается ) |
| строгий знак (число на границе не включается ) | ||
| ≥ | больше или равно | нестрогий знак (число на границе включается ) |
| ≤ | меньше или равно | нестрогий знак (число на границе включается ) |
Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.
В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».
Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.
Рассмотрим пример линейного неравенства.
Как решить линейное неравенство
Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».
При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.
Правило переноса в неравенствах
Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.
Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.
Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.
Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».
При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:
Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».
Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.
Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».
Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.
Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.
Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.
В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».
Правило умножения или деления неравенства на число
Рассмотрим другое неравенство.
Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.
Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».
При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.
Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.
Рассмотрим другое неравенство.
Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.
Действия с неравенствами
Какие действия можно выполнять с неравенствами?
Неравенства вида a>b и c>d называются неравенствами одинакового смысла (одинакового знака, одноимённые).
Неравенства a>b и c
2) Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства из которого производится вычитание.
3) Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать.
Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o
4) Неравенства противоположного смысла ч положительными членами можно почленно делить, оставляя знак того неравенства, которое является делимым.
Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o
5) Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень.
b,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Верно и обратное: для a>0, b>o, k∈ N
b.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Почленное сложение неравенств и другие действия с неравенств используются как в алгебре, так и в геометрии.
Решение линейных неравенств
Основные понятия
Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.
Типы неравенств
Линейные неравенства: свойства и правила
Вспомним свойства числовых неравенств:
Если же а b и c > d, то а + c > b + d.
Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.
Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.
Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.
Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.
Правила линейных неравенств
Решение линейных неравенств
Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:
где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.
Равносильные преобразования
Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.
Как решаем:
Метод интервалов
Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.
Метод интервалов заключается в следующем:
Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;
Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;
Как решаем:
В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,
Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.
Определим знаки на промежутках.
Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.
Графический способ
Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.
Алгоритм решения y = ax + b графическим способом
Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.
Как решаем
Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x
Решение неравенств. Общие соображения.
Свойства числовых неравенств
Для любых дейcтвительных чисел a, b, c и d выполняются следующие свойства:
Следующие свойства выполняются только для положительных чисел.
Почему неравенства не решают так же, как уравнения?
Итак, нужно найти корни уравнения. Что можно сделать?
Вариант первый.
Вариант второй.
Привести к общему знаменателю. При этом неважно перенесены ли предварительно все члены уравнения в одну сторону или нет.
Не забыть об ограниченности области допустимых значений выражения (написать ОДЗ).
Отбросить общий знаменатель (одинаковые знаменатели в обеих частях равенства, если не переносили всё в одну сторону).
Решить упрощенное уравнение, проверить полученные корни на соответствие ОДЗ, написать ответ.
Вариант третий.
Попробуйте всё это проделать самостоятельно для тренировки навыков решения дробно-рациональных уравнений. И убедитесь в том, что во всех трёх случаях будут получены одинаковые ответы.
Для решения уравнений реального ЕГЭ вы можете выбрать любой из этих подходов, который вам придётся по душе.
Ответ: x ∈ <3;4>.
Замечение:Отдельные ответы удобно записывать в фигурных скобках как элементы перечислимого множества, в отличие от интервалов (a;b) и отрезков [a;b], для обозначения которых используются круглые или квадратные скобки соответственно..
Объединяя эти случаи, т.е. первую часть ответа с пустым множеством, в итоге получаем:
Как проверить ответ неравенства?
И всё-таки, если это ответственное решение, например, важный экзамен, имеет смысл потратить некоторое время и провести вычисление нескольких числовых значений для неравенства.
1) Подставить в неравенство хотя бы по одному значению из промежутков, входящих в ответ, чтобы убедиться, что полученные числовые неравенства будут верными,
2) и по одному значению из промежутков, не входящих в ответ, чтобы убедиться что соответствующие числовые неравенства будут неверными.
3) Также не мешает перепроверить граничные точки промежутков.
Проверка ответа примера 2.
1) Все следующие числовые неравенства должны оказаться верными.
Выход из положения может быть следующим:
Вывод: Отбрасывание общего знаменателя можно производить только для тех неравенств, в которых этот знаменатель положительная константа. Т.е. здесь для неравенства (1). Во всех остальных случаях требуется более детальный анализ знаков чисел и выражений.
Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.