Именная карта банка для детей с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Пропорциональные отрезки
Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как
Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:
Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.
Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD
Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:
Если отношение отрезка AB к А1В1 равно отношению отрезка СD к С1D1, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А1В1 и С1D1. Например, пусть
Получается, AВ и CD пропорциональны А1В1 и С1D1. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.
Определение подобных треугольников
В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:
Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.
Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А1В1С1, у которых соответственно равны углы:
Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и А1С1.
Можно дать такое определение подобных треугольников:
Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:
Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:
Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:
Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:
Задание.∆AВС подобен∆DEF. Известно, что
Найдите длину ЕF.
Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:
Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:
Задание.∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что
Найдите длину ЕF.
Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:
Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:
Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.
Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.
Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.
Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А1В1С1, причем
Периметр ∆AВС можно вычислить так:
Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.
Первый признак подобия треугольников
Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.
Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).
Если прямые ВВ1 и СС1 (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ1 и АС1, то есть справедливо соотношение:
Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ1 и АС1. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть
Естественно, эта точка не будет совпадать с С1. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С1:
Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С1Н:
Пусть эта прямая пересечет отрезок С1Н в некоторой точке С2, а сторону AВ в точке В2. Ясно, что отрезки AВ и АВ2 пропорциональны отрезкам АС и АС2, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB2 к AB равно 5/8, так как AB2 состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС2 к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:
Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С1, то есть АН >C1. Случай, когда АН 2 раз. Докажем это.
Пусть ∆AВС и ∆А1В1С1 подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН1:
Запишем очевидные равенства:
В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в k 2 раз.
Задание. Известно, у∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5.∆DEF подобен∆AВС, причем сторонаDE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь∆DEF.
Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:
Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:
Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна
А, В, С — вершины, а также углы при этих вершинах;
а, b, с — стороны, противолежащие углам А, В, С соответственно;
а, b, с соответственно;
R — радиус описанной окружности;
r — радиус вписанной окружности.
Подобие треугольников
Признак 1
Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника.
Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами в этих треугольниках, равны.
Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.
Прямоугольные треугольники подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.
Если треугольники подобны, то
Пропорциональные отрезки в треугольнике
Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника:
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на ее продолжение.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке О, называемой ортоцентром.
В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника. В прямоугольном он совпадает с вершиной прямого угла.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке О, являющейся центром тяжести треугольника.
Точкой О медианы делятся на отрезки в отношении 2: 1 (считая от вершины).
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной.
Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром впмсанной окружности.
Равенство треугольников
Признак 1
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Два треугольника называются равными, если при наложении друг на друга они совместятся.
и соответственные углы равны
Неавенства треугольника
Всякая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух сторон
Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Площадь треугольника
где р — полупериметр треугольника (формула Герона).
Признаки подобия и равенства треугольников. Свойства подобных треугольников
Треугольник является самой простой замкнутой фигурой на плоскости. При изучении школьного курса геометрии рассмотрению его свойств уделяют особое внимание. В данной статье раскроем вопрос признаков подобия и равенства треугольников.
Какие треугольники называются подобными, а какие равными?
Логично предположить, что две рассматриваемые фигуры будут равны между собой, если они имеют все одинаковые углы и длины сторон. Что касается подобия, то здесь дело обстоит немного сложнее. Два треугольника будут подобны тогда, когда каждый угол одного будет равен соответствующему углу другого, а стороны, лежащие напротив равных углов обеих фигур, будут пропорциональны. Ниже изображен рисунок, на котором представлены два подобных треугольника.
Вам будет интересно: Полемизировать – это значит, спорить правильно
Признаки подобия
Говоря о свойствах и признаках подобия и равенства треугольников, следует перечислить три основных критерия, по которым можно определить, являются ли рассматриваемые фигуры подобными или нет.
Итак, две фигуры будут подобными между собой, если выполняется одно из следующих условий:
Отметим еще раз, что для доказательства подобия достаточно привести какой-либо один из представленных признаков. Логично, что все остальные будут выполняться также.
Прямоугольные треугольники: когда они подобны, а когда равны?
Говоря о признаках равенства и подобия прямоугольных треугольников, следует отметить сразу, что у каждого из них по одному углу уже равны (90o).
Последний факт приводит к следующей формулировке изложенных выше критериев подобия:
Что касается равенства треугольников с прямыми углами, то здесь просто запомнить: если два каких-либо элемента (прямой угол не считается) обеих фигур равны, то равны и сами фигуры. Например, этими двумя элементами могут быть острый угол и катет, катет и гипотенуза или гипотенуза и острый угол.
Свойства треугольников подобных
Из рассмотренных признаков подобия и равенства треугольников свойства можно выделить такие:
Оба эти свойства можно доказать самостоятельно. Суть доказательства сводится к применению математической записи подобия между сторонами фигур. Здесь приведем лишь доказательство 1-го свойства.
Пример решения задачи
Признаки подобия и равенства треугольников можно использовать для решения различных геометрических задач. Ниже приводится один из примеров.
Имеются два треугольника. У одного из них стороны равны 7,6 см, 4,18 см и 6,65 см, а у другого 3,5 см, 2,2 см и 4 см. Необходимо определить, подобны ли эти фигуры.
Поскольку даны значения трех сторон, то можно сразу проверить 3-й критерий подобия. Сложность здесь состоит в том, что нужно понять, между какими сторонами брать отношения. Тут следует воспользоваться простыми логическими рассуждениями: коэффициенты подобия могут быть равными, если делить самую маленькую сторону одного треугольника на аналогичную для другого и так далее. Поэтому имеем: 4,18 / 2,2 = 1,9; 6,65 / 3,5 = 1,9; 7,6 / 4 = 1,9. Проверив отношение всех сторон, можно с уверенностью сказать, что треугольники являются подобными, поскольку выполняется 3-й критерий.
1. 3 Пропорциональность отрезков хорд и секущих. 11
1. 4 Свойство биссектрисы треугольника. 12
1. 5 Подобие многоугольников 16
1. 6 Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. 20
II. Пропорциональность отрезков в решении задач. 22-34
2. 1. Подобие треугольников. 22
2. 2 Теорема о биссектрисе треугольника. 26
2. 3 Решение прямоугольных треугольников. 29
2. 4 Метод подобия в задачах на построение. 31
« Бороться, искать, найти и не сдаваться» эти слова вдохновляют не только полярных исследователей и ученых, но пытливых школьников.
Путь к вершинам геометрии начинается в школе. Только хорошо усвоив школьный курс геометрии, научившись решать самые сложные задачи, можно рассчитывать на успехи в геометрическом творчестве. А для этого необходимо проявить упорство, смекалку, нестандартность мышления. В курсе геометрии мы изучаем множество теорем, некоторые из них даются как задачи. Одна из таких теорем была сформулирована как задача, решая ее с нами на уроке, учитель сказала; что существуют другие способы доказательства, но для этого необходимо знать все о подобии треугольников. Меня это заинтересовало. И я занялась изучением данного раздела, что позволило самостоятельно доказать теорему о биссектрисе треугольника 11 способами, а так же познакомиться подробно с пропорциональностью отрезков в треугольнике. Закрепить свои знания в процессе решения задач более сложного уровня.
В результате моей работы я получила большое удовлетворение, Надеюсь, и вы найдете для себя много нового и интересного.
Около ста пятидесяти лет назад возникла новая область научного знания – учение о подобии явлений. Гениальное предвидение этой науки было высказано Ньютоном в 1686 году. Но только в 1848 году член французской академии наук Джозеф Бертран
Впервые установил основное свойство подобных явлений, сформулировав первую теорему подобия, теорему о существовании инвариантов подобия.
Подобными называются явления, происходящие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках отношения одноименных величин есть постоянные числа.
Наш выдающийся ученый Н. Е. Жуковский положил теорию подобия в основу критериальной обработки опытов над моделями самолетов, продуваемых в аэродинамической трубе, для того, чтобы результаты опытов можно было перевести на подобные моделям самолеты.
Поэтому развитию моделирования весьма способствовал разработанный в нашей стране метод не точного, а приближенного моделирования, когда соблюдаются не все условия подобия и в модели получается с достаточной для практики точностью приближенное подобие.
Подобие и подобные преобразования применяются в моделировании, черчении и других технических приложениях геометрии.
Цель проекта: изучить признаки подобия треугольников и применить их для доказательства теоремы о биссектрисе треугольника.
Задача проекта: показать применение теоремы о биссектрисе треугольника для решения задач разного уровня сложности.
Для реализации целей и задач мы пользовались специальной научной литературой по математике авторов И. А. Баранова, В. М. Клопского. Эти авторы помогли мне разобраться в следующих вопросах:
Что называется отношением двух отрезков?
Какой отрезок называется средней линией треугольника?
Как доказать утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольных треугольниках?
Какие две фигуры называются подобными?
Что такое коэффициент подобия фигур? и др.
Наряду с изложением теоретического материала я уделила большое внимание решению типовых задач, а также задач повышенной трудности. Для решения задач повышенной трудности достаточно уметь применять основные геометрические факты и использовать простейшие алгоритмы, знать теоремы и их доказательства.
Пропорциональные отрезки
Каждый отрезок имеет определенную длину. Длина отрезка зависит от выбора единицы измерения и выражается положительным рациональным или иррациональным числом.
Аксиома измерения отрезков. При переходе от одной единицы измерения к другой, длины всех отрезков умножаются на одно и тоже число. Отсюда следует, что отношение длин двух отрезков не зависит от выбора единицы измерения. В дальнейшем для краткости будем говорить об отношении двух отрезков, понимая под этим число, равное отношению длин этих отрезков. Отрезки АВ и СD называются пропорциональными отрезками А1В1 и С1D1 если пропорциональны их длины:
Пусть пара параллельных прямых АВ и СD пересекают соответственно другую пару параллельных прямых АС и ВD. Тогда отрезок АС равен отрезку ВD, а отрезок АВ равен отрезку СD.
Проведем прямую ВС. Углы АВС и ВСD равны
Как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СD и секущей ВС, а углы АСВ и СВD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АС и ВD и секущей ВС.
Тогда по первому признаку равенства треугольников треугольники АВС и DСВ равны. Отсюда следует, что АС= ВD и АВ = CВ. Лемма доказана.
И/. А. Баранов. Математика для подготовительных курсов/
Теорема 1. Теорема Фалеса.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Если стороны угла с вершиной в точке О пересечены параллельными прямыми АВ и MN, то отрезки ОА и ОВ пропорциональны отрезкам ОM и ON, т. е. (1)
Доказательство. Рассмотрим случай, когда имеется такой отрезок EF, что ОM = m EF, MA =n EF, где m и n – целые числа. Говорят, что отрезок EF в каждом из отрезков ОМ и МА укладывается целое число раз без остатка. Разделим отрезок ОМ на m равных частей, а отрезок МА на n равных частей. Каждый из полученных отрезков будет равен ЕF. Примем отрезок EF за единицу измерения. Тогда ОМ=m, МА=n. Допустим для определённости, что точка М лежит между точками О и А. Тогда ОА = ОМ + МА= m+n.
Проведем через точки деления отрезков ОМ и МА прямые, параллельные прямой АВ. Согласно теореме Фалеса эти прямые разделят отрезок ON на m равных отрезков, а отрезок NB на n равных отрезков.
/И. А. Баранов. Математика для подготовительных курсов/
Если t – длина каждого из этих отрезков, то ON = mt, NB = nt, поэтому ОВ =ON+NB = (m+n)* t. Таким образом. Отсюда следует, что т. е. выполняется равенство (1). Не для любых отрезков ОМ и МА существует такой отрезок EF, который в каждом из отрезков ОМ и МА укладывается целое число без остатка. Но и в этом случае можно доказать, что равенство (1) выполняется. Теорема доказана.
Следствие. Если стороны угла с вершиной в точке О пересечены параллельными прямыми АВ и MN, то отрезки МА и NB пропорциональны отрезкам ОА и ОВ, т. е. (2)
Доказательство. Допустим для определенности, что точка М лежит между точками О и А. Тогда ОА= ОМ +МА; ОВ= ON +NB или ОМ = ОА – МА; ON = OB –NB (3).
Из равенства (1) следует, что. Подставив сюда значения ОМ и ON из (3), получаем или, и равенство (2) доказано.
Отрезки АВ, CD, MN называются пропорциональными отрезками А1В1, С1D1,
M1N1, если Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Доказательство. Пусть [DE] – средняя линия в треугольнике АВС, т. е. АЕ = ЕС, CD = BD. Проведем через точку D. прямую а, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса прямая а пересекает сторону АС в ее середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне АВ. Проведем среднюю линию DF. Она параллельна стороне АС. Тогда по лемме отрезок ЕD равен отрезку AF и равен половине отрезка АВ. Теорема доказана.
Клопский В. М. Геометрия. Учебное пособие.
Подобные треугольники
Определение. Треугольники АВС и A1B1C1 называются подобными, если А=А1; В = В1. С = С1
Если треугольники АВС и A1B1C1 подобны, то пишут
∆ A1B1C1. В подобных треугольниках углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, а стороны одного пропорциональны соответственным сторонам другого (т. е. сторонам, которые лежат против соответственно равных углов). Рассмотрим простейшие свойства подобных треугольников, которые вытекают из определения подобия.
1. Если два треугольника равны, то они подобны. В частности, каждый треугольник подобен самому себе.
2. Если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобен первому.
3. Если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику.
Докажем сначала лемму (вспомогательную теорему) о подобных треугольниках, а затем с ее помощью докажем признаки подобия треугольников.
Лемма. Прямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.
В треугольнике ABC (·)K делит медиану BD в отношении 1:2, считая от вершины. Прямая, проведенная через (·)А и (·)К, ∩ BC в (·)L. В каком отношении (·)L делит сторону BC?
Дано: ∆ABC; BK: KD=1:2, (·)L принадлежит BC.
Найти: в каком отношении (·)L делит
На продолжении медианы BD отложим отрезок DD1, равный отрезку KD. Соединим (·)D1 с A и C, а (·)K – c (·)С. Четырехугольник AKCD1-параллелограмм, т. е. диагонали точкой делятся пополам, => AK║D1C.
В треугольниках ABC и A1B1C1 AB=7, BC=6, AC=12, A1B1=4,5 ;
B1C1=9, A1C1=5,25. Выразите угол С1 через углы С и В.
Дано: ∆ АВС и ∆ А1В1С1 ; АВ=7, ВС=6,
АС=12, А1В1=4,5 ; В1С1=9, А1С1=5,25.
Выразить: угол С1 через угол С и угол В.
Докажите, что если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Следовательно, стороны данных треугольников пропорциональны, а потому эти треугольники подобны, т. е. ∆ АВС
На рисунке АВСD – параллелограмм, ≠ 1.
Докажите, что четырехугольник МКТР – трапеция.
Дано: ABCD-параллелограмм. АМ = АР ≠1
Доказать: МКТР – трапеция.
∆ КСТ ( по двум сторонам и А = C, т. к. АВСD – параллелограмм) следовательно СКТ = АРМ.
2. Продлим сторону МР до ∩ со стороной ВС в (·) Е, тогда АРМ = СЕР ( накрест лежащие)при ЕС║AD и секущей ЕР, следовательно КЕР = СКТ, следовательно МРКТ – трапеция.
Что и требовалось доказать.
В ∆ ВМЕ и ∆ DTH. Доказать, что АВСD-параллелограмм.
Но ВМЕ=DTH – т. к. соответственные при прямых АМ║DC и секущей МН, а МЕВ = THD – соответственные при ВС и АН и секущей МН.
Следовательно ABCD- параллелограмм ( т. к. АВ║CD, BC║AD). ч. т. д.
Теорема о биссектрисе треугольника
Биссектриса, проведенная из вершины прямого угла треугольника, делит гипотенузу в отношении m : n. Доказать, что высота, проведенная из той же вершины, делит гипотенузу в отношении m2 : n2.
∆АСВ; СЕ-биссектриса; CD- высота;
Пусть CD-высота, СЕ- биссектриса в ∆ АВС (прямоугольном). По условию
АЕ:ВЕ=m: n. Согласно свойству биссектрисы треугольника имеем, что АС:ВС= m : n. Из свойств высоты, проведенной из вершины прямого угла, следует, что
АD: BD=АС2 : ВС2. Поэтому АР : BD = m2 : n2. ч. т. д.
Сторона АВ┴ прямой ВЕ. Прямая ВЕ пересекается с биссектрисой CD в (·) Е.
∆АВС; АВ=13см,ВС=14см, ВАС=15см;
ВЕ ┴АВ; CD-биссектриса; ВЕ принадлежит
1. По свойству биссектрисы CD угла С треугольника имеем,
Проведем CF ┴ BE. Тогда отрезок BF равен высоте КС треугольника АВС, проведенной из вершины С к стороне АВ, следовательно, BF*АВ=S, где
Площадь S равна S=. Значит, BF*AB=84, откуда BF=
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BFC найдем FC;
FC= см. Из подобия прямоугольных треугольников BDF и FCE, имеющих общий острый угол Е, следует пропорциональность их катетов:. обозначим ВЕ через y,тогда
FE= y-BF=y-и пропорция примет вид Найдем y из полученного уравнения
Таким образом, BE=91см. Ответ. ВЕ=91см.
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) угол при основании равен 75°,
АМ-биссектриса треугольника, ВМ=10см. Найдите расстояние от точки М до основания АС.
∆АВС – равнобедренный, АВ=ВС;
А=75°; АМ- биссектриса; ВМ=10см.
1. Проведем перпендикуляр из (·)М: МЕ ┴ АС и MF ┴ AB.
2. Так как ∆ АВС – равнобедренный и АВ=ВС, а А=75°, то С=75°
Следовательно В=180°- (75°+75°)=30°; В=30°.
FM=5см=МЕ (т. к. (·)М принадлежит АМ-биссектрисе, то FM=ME),следовательно
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) угол при вершине В равен
120°, СМ-биссектриса, АМ=14см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС.
∆АВС-равнобедренный; АВ=ВС; В=120°;
1. Найдем А=? В=120° (по условию) А+С=180°-120°=60°, следовательно А=60°:2=30°=С.
2. Проведем МЕ ┴ АС, тогда Е=90°, А=30° (см. выше), следовательно
∆АМЕ-прямоугольный. АМ=14см (по условию), следовательно МЕ= АМ,
Решение прямоугольных треугольников
Доказать, что в прямоугольном треугольнике АВС, h=,
Дано:∆ АВС –прямоугольный, С=90°
Пересекает отрезок АВ в его середине-точке М. Из точки М проведен перпендикуляр МК к стороне CD. КС=4см, KD=9см. Найдите МК.
АМ=МВ. МК ┴ CD, КС=4см,KD=9см.
1. Так как DM-биссектриса, то МА=МК, МА=МВ (по условию) следовательно,
Тогда ∆ CDM-прямоугольный, а МК-является высотой, проведенной к гипотенузе.
Значит, МК2 = СК*КD, МК=6см.
Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите меньшее основание трапеции, если ее высота равна 2см, а большее основание 3см.
ABCD-трапеция, ВС║AD, BAD=90°,
BD ┴ АС, АВ=2см, AD=3см.
Проведем дополнительную прямую ║ АС И проходящую через (·) В. Пусть (·)Р- точка пересечения этой прямой с AD. Тогда
ВР║СА) следовательно АВ2 = РА*AD=ВС*AD. ВС= ( т. к. 22 =3х; 4=3х; х=4; х=ВС )
Метод подобия в задачах на построение
Даны отрезки, длины которых a,b, c. Построить отрезок длины х, чтобы
Была верна пропорция a:b=с:х.
Отрезок х, чтобы а:b =с:х
1. Построим МОN ( MON180°)
2. На луче ОМ откладываем ОА и ОВ, длины которых соответственно равны а и b
3. На луче ON откладываем О длины С.
4. Построим прямую АС.
5. Построим прямую р, проходящую через
6. Отмечаем (·)D пересечения прямой р и луча ON.
7. Отрезок OD – искомый.
Построить отрезок, средне пропорциональный между отрезками, длины
Которых равны а и b.
Построить: Построение: отрезок средний 1. На прямой р от (·) М принадлежащей р пропорциональный последовательно откладываем MN и NK, между отрезками, длины длины которых соответственно равны а и b.
которых равны а и b. 2. Построим середину О отрезка МК.
3. Построим полуокружность диаметром МК.
4. Построим перпендикуляр q к прямой МК, проходящий через (·) N.
5. Отмечаем (·) С пересечения полуокружности и прямой q.
6. Отрезок NC-искомый.
Используя циркуль, линейку и чертежный угольник постройте параллелограмм, стороны которого относятся как 1:2, по острому углу и диагонали, проведенной из вершины этого угла.
В треугольнике АВС впишите прямоугольный треугольник MHP так, чтобы M,H,P были точками сторон АВ, ВС, АС соответственно, а угол MHP был равен 90°.
В ∆АВС вписать ∆ MHP(MHP=90°)
1. Построим ∆M1H1P1 у которого
АС, а (·)Н1 не принадлежит ВС, и чтобы М1Н1 и Р1Н1 ∩ BC
3. Проведем прямую АН1, которая ∩ВС в точке Н.
4. Из точки Н проведем МН║М1Н1 и РН ║Р1Н1.
5. Соединим точку М и точку Р.
Путь к вершинам геометрии начинается в школе. Только хорошо усвоив школьный курс геометрии, научившись решать самые сложные школьные задачи, можно рассчитывать на успехи в геометрическом творчестве. Я выбрала геометрию и в том числе математику делом своей жизни.
Мне придется решать задачи, которые никто еще не решал, открывать новые пути в науке, новые области ее приложения. Для этого мне понадобится трудолюбие, настойчивость, упорство в достижении поставленных целей.
«Бороться и искать, найти и не сдаваться»-эти слова вдохновляют не только полярных исследователей и ученых, но и меня.
Завершив работу над рефератом, я выполнила основные моменты, посмотрела множество литературы, узнала много нового и интересного, достигла свои цели и более того, освоила систему углубления знаний за счет детального изучения узкой специализации науки-геометрии. Также самостоятельно изучила раздел геометрии:
«Подобие треугольников», доказала теорему о биссектрисе треугольника-11 способами, решила 17 задач повышенной трудности.
Мне было не легко, но я справилась со своей задачей. Для меня это очень важно и к тому же знания геометрии пригодятся, как для успешного обучения в школе, так и для моей дальнейшей жизни.
Вам будет интересно: Полемизировать – это значит, спорить правильно
