Что значит тождественные дроби
Тождество
Тождество — это равенство, обе части которого являются тождественно равными выражениями. Тождества делятся на буквенные и числовые.
Тождественные выражения
Два алгебраических выражения называются тождественными (или тождественно равными), если при любых численных значениях букв они имеют одинаковую численную величину. Таковы, например, выражения:
Оба представленных выражения, при любом значении x будут равны друг другу, поэтому их можно назвать тождественными или тождественно равными.
Так же тождественными можно назвать и числовые выражения, равные между собой. Например:
Буквенные и числовые тождества
Буквенное тождество — это равенство, которое справедливо при любых значениях входящих в него букв. Другими словами, такое равенство, у которого обе части являются тождественно равными выражениями, например:
Числовое тождество — это равенство, содержащее только числа, выраженные цифрами, у которого обе части имеют одинаковую численную величину. Например:
Тождественные преобразования выражений
Все алгебраические действия представляют собой преобразование одного алгебраического выражения в другое, тождественное первому.
При вычислении значения выражения, раскрытии скобок, вынесении общего множителя за скобки и в ряде других случаев одни выражения заменяются другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения. Все преобразования выражений выполняются на основе свойств действий над числами.
Рассмотрим тождественное преобразование выражения на примере вынесения общего множителя за скобки:
Выполнение данного преобразования основано на распределительном законе умножения.
Тождественно равные выражения: определение, примеры
После того, как мы разобрались с понятием тождеств, можно переходить к изучению тождественно равных выражений. Цель данной статьи – объяснить, что это такое, и показать на примерах, какие выражения будут тождественно равными другим.
Тождественно равные выражения: определение
Понятие тождественно равных выражений обычно изучается вместе с самим понятием тождества в рамках школьного курса алгебры. Приведем основное определение, взятое из одного учебника:
Тождественно равными друг другу будут такие выражения, значения которых будут одинаковы при любых возможных значениях переменных, входящих в их состав.
Также тождественно равными считаются такие числовые выражения, которым будут отвечать одни и те же значения.
Это достаточно широкое определение, которое будет верным для всех целых выражений, смысл которых при изменении значений переменных не меняется. Однако позже возникает необходимость уточнения данного определения, поскольку помимо целых существуют и другие виды выражений, которые не будут иметь смысла при определенных переменных. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости тех или иных значений переменных, а также необходимость определять область допустимых значений. Сформулируем уточненное определение.
Тождественно равные выражения – это те выражения, значения которых равны друг другу при любых допустимых значениях переменных, входящих в их состав. Числовые выражения будут тождественно равными друг другу при условии одинаковых значений.
Фраза «при любых допустимых значениях переменных» указывает на все те значения переменных, при которых оба выражения будут иметь смысл. Это положение мы объясним позже, когда будем приводить примеры тождественно равных выражений.
Можно указать еще и такое определение:
Тождественно равными выражениями называются выражения, расположенные в одном тождестве с левой и правой стороны.
Примеры выражений, тождественно равных друг другу
Используя определения, данные выше, рассмотрим несколько примеров таких выражений.
Для начала возьмем числовые выражения.
Так, 2 + 4 и 4 + 2 будут тождественно равными друг другу, поскольку их результаты будут равны ( 6 и 6 ).
Но область допустимого значения в одном выражении может отличаться от области другого.
Если мы заменяем одно выражение на другое, которое является тождественно равным ему, то этот процесс называется тождественным преобразованием. Это понятие очень важно, и подробно о нем мы поговорим в отдельном материале.
Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.
Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.
Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.
Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:
В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.
2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.
Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.
Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).
Примеры тождеств.
— Тождество Эйлера (кватернионы);
— Тождество Эйлера (теория чисел);
— Тождество четырёх квадратов;
— Тождество восьми квадратов;
Тождественные преобразования.
Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.
Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.
Выполним тождественные преобразования с такой дробью: 
.
Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.
Доказательство тождеств.
Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.
Например, доказать тождество:
Вынесем х за скобки:
Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.
Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.
5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.
Это равенство не тождество.
Разница между тождеством и уравнением.
Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.
Это выражение верно лишь при х = 10.
Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.
Тождественные преобразования
Что такое тождественные преобразования
Тождество — это равенство, выполняемое на всем множестве значений переменных, которые в него включены.
К примеру, тождествами являются, в том числе, квадратные выражения:
a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b )
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
В рассмотренных выражениях любые значения a и b обращают их в верные равенства, что полезно знать при решении примеров.
Тождественно равными выражениями называют такие два выражения, которые обладают равными значениями при всех значениях переменных.
Данное равенство существует только в том случае, когда:
Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является верным при любом из значений переменных. Уравнение же верно лишь в том случае, когда имеется одно или несколько значений переменных.
В этом случае тождество не включает в себя переменные.
Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями
Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) представляет собой замену одних выражений на другие, которые тождественно равны между собой.
Данное объяснение преобразований позволяет значительно упростить решение задач. К примеру, для этого используют законы сокращенного умножения, арифметические свойства и другие тождества.
Рассмотрим конкретный пример:
Выполним работу по тождественным преобразованиям этой дроби:
x 3 – x x 2 – x = x ( x 2 – 1 ) x – 1 = x ( x – 1 ) ( x + 1 ) x ( x – 1 ) = x + 1
x 3 – x x 2 – x = x + 1
Доказательство тождеств
В процессе доказательства тождества необходимо выполнить ряд действий:
В качестве самостоятельного примера для тренировки докажем следующее тождество:
x 3 – x x 2 – x = x 2 + x x
x ( x 2 – 1 ) x ( x – 1 ) = x ( x + 1 ) x
Заметим, что можно сократить х :
( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 = x + 1
Заключим, что рассмотренное равенство является тождеством, если х ≠ 0 и х ≠ 1
Когда требуется доказать, что равенство не относится к тождеству, следует определить одно допустимое значение переменной, при котором полученные числовые выражения обращаются в неравные друг другу. К примеру:
x 2 – x x = x 2 + x x → x ≠ 0
Упростим вычисления с помощью сокращения х :
Данное равенство не является тождеством.
Примеры тождеств
Изучить тождества на практике можно с помощью решения задач на различные тождественные преобразования алгебраических выражений. Ключевой целью таких действий является замена начального выражения на выражение, которое ему тождественно равно.
От перестановки местами слагаемых сумма не меняется:
От перестановки местами сомножителей произведение не меняется:
Согласно данным правилам, можно записать примеры тождественных выражений:
При наличии в сумме более двух слагаемых допускается группировать их путем заключения в скобки. Также можно предварительно переставлять эти слагаемые местами:
a + b + c + d = ( a + c ) + ( b + d )
Аналогичным способом группируют сомножители в произведении:
a × b × c × d = ( a × d ) × ( b × c )
Приведем примеры таких тождественных преобразований:
15 + 6 + 5 + 4 = ( 15 + 5 ) + ( 6 + 4 )
6 × 8 × 11 × 4 = ( 6 × 4 × 8 ) × 11
При увеличении или уменьшении обеих частей тождества на одинаковое число, данное тождество остается верным:
( a + b ) ± e = ( c + d ) ± e
Равенство сохраняется также при умножении или делении обеих частей этого равенства на одно и то же число:
( a + b ) × e = ( c + d ) × e
( a + b ) ÷ e = ( c + d ) ÷ e
Запишем несколько примеров:
35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ ( 35 + 10 ) + 4 = ( 9 + 16 + 20 ) + 4
42 + 14 = 7 × 8 ⇒ ( 42 + 14 ) × 12 = ( 7 × 8 ) × 12
Какую-либо разность допускается записывать, как сумму слагаемых:
Аналогичным способом можно выполнить замену частного на произведение:
Рассмотрим примеры тождественных преобразований:
Заменить математическое выражение на более простое можно с помощью арифметических действий:
Преобразования следует выполнять с соблюдением алгоритма:
14 + 6 × ( 35 – 16 × 2 ) + 11 × 3 = 14 + 18 + 33 = 65
20 ÷ 4 + 2 × ( 25 × 3 – 15 ) – 9 + 2 × 8 = 5 + 120 – 9 + 16 = 132
В арифметических выражениях можно избавляться от скобок при необходимости. Исходя из знаков в выражении, определяются правила, согласно которым раскрывают скобки.
Рассмотрим несколько примеров преобразований с помощью раскрытия скобок:
117 + ( 90 – 74 – 38 ) = 117 + 90 – 74 – 38
22 × ( 8 + 14 ) = 22 × 8 + 22 × 14
18 ÷ ( 4 – 6 ) = 18 ÷ 4 – 18 ÷ 6
Другим распространенным действием при упрощении выражений, содержащих скобки, является вынесение за них общего множителя. В результате в скобках остаются слагаемые, поделенные на вынесенный множитель. Данный способ преобразования можно применять в выражениях, которые содержат буквенные переменные.
3 × 5 + 5 × 6 = 5 × ( 3 + 6 )
28 + 56 – 77 = 7 × ( 4 + 8 – 11 )
31 x + 50 x = x × ( 31 + 50 )
В процессе тождественных преобразований часто применяют формулы для сокращенного выражения.
Примеры тождественных преобразований:
( 31 + 4 ) 2 = 31 2 + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4 2 = 1225
Тождественные преобразования выражений
п.1. Соответственные значения
Рассмотрим два выражения с переменными:
Вычислим их значения при x=2:
Числа 16 и 2 называются соответственными значениями выражений f(x)и g(x) при одинаковом значении x=2. В данном случае соответственные значения не равны. Теперь подставим x=3:
Соответственные значения равны.
Соответственные значения двух выражений, содержащих одни и те же переменные – это числовые значения этих выражений, полученные при подстановке одинаковых значений переменных.
Соответственные значения могут быть:
п.2. Область допустимых значений
Ограничения на ОДЗ определяются видом выражения:
Тождество – формула, в которой два тождественных выражения соединены знаком равенства.
Согласно определению, тождество – это равенство, которое является истинным при всех допустимых значениях переменных, входящих в него.
Тождествами также принято считать истинные числовые равенства.
Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является истинным при всех допустимых значениях переменных, а уравнения – только для одного или нескольких значений переменных из ОДЗ.
Тождественное преобразование выражений – это замена одного выражения другим, тождественно ему равным.
Для доказательства (или опровержения) тождеств используют следующие алгоритмы.
Алгоритм доказательства, что равенство является тождеством
1. Выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства.
2. Сравнить полученные слева и справа алгебраические выражения. Если они одинаковы, то равенство является тождеством.
Если выражения неодинаковы, продолжить тождественные преобразования или перейти к доказательству того, что равенство не является тождеством.
Алгоритм доказательства, что равенство не является тождеством
Найти хотя бы одно значение переменной, при котором соответственные значения выражений слева и справа неравны.
п.4. Примеры
Пример 1. Докажите тождество 3(x+1)-2(x-1)-x=5(x+1)-5x
● Тождественные преобразования левой части:
Тождественные преобразования правой части:
Получаем: 5=5. Равенство является тождеством.
Что и требовалось доказать. ○
Пример 2. Тождественны ли выражения 1-(1-(1-b)) и 1-b?
Тождественные преобразования левой части:
Получаем: 1-b=1-b. Выражения тождественны.
Пример 3. Верно ли тождество |x|+1=|x+1|?
Найдем соответственные значения левой и правой части при x=-1.
Равенство не является тождеством.
Пример 4. Является ли тождеством равенство |a+b|=|a|+|b|?
Найдем соответственные значения левой и правой части при a=-1, b=1.