Что значит тождественно равно

Тождественно равные выражения: определение, примеры.

Получив представление о тождествах, логично перейти к знакомству с тождественно равными выражениями. В этой статье мы ответим на вопрос, что такое тождественно равные выражения, а также на примерах разберемся, какие выражения являются тождественно равными, а какие – нет.

Навигация по странице.

Что такое тождественно равные выражения?

Определение тождественно равных выражений дается параллельно с определением тождества. Это происходит на уроках алгебры в 7 классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автора Ю. Н. Макарычев приведена такая формулировка:

Тождественно равные выражения – это выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных. Числовые выражения, которым отвечают одинаковые значения, также называют тождественно равными.

Это определение используется вплоть до 8 класса, оно справедливо для целых выражений, так как они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. А в 8 классе определение тождественно равных выражений уточняется. Поясним, с чем это связано.

Два выражения, значения которых равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных, называются тождественно равными выражениями. Два числовых выражения, имеющие одинаковые значения, также называются тождественно равными.

В данном определении тождественно равных выражений стоит уточнить смысл фразы «при всех допустимых значениях входящих в них переменных». Она подразумевает все такие значения переменных, при которых одновременно имеют смысл оба тождественно равных выражения. Эту мысль разъясним в следующем пункте, рассмотрев примеры.

Определение тождественно равных выражений в учебнике Мордковича А. Г. дается немного иначе:

Тождественно равные выражения – это выражения, стоящие в левой и правой частях тождества.

По смыслу это и предыдущее определения совпадают.

Примеры тождественно равных выражений

Введенные в предыдущем пункте определения позволяют привести примеры тождественно равных выражений.

Однако области допустимых значений переменных в выражениях могут отличаться. Для примера возьмем выражения x−1 и . Областью допустимых значений переменной x в выражении x−1 является все множество действительных чисел, а ОДЗ переменной x в выражении составляют все действительные числа, кроме нуля (иначе будет нуль в знаменателе, а деление на нуль не определено). «Общей» областью допустимых значений переменной x для обоих выражений является пересечение ОДЗ переменной x в каждом из этих выражений в отдельности.

Особую ценность имеет замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Такая замена называется тождественным преобразованием выражения, эта тема в силу своей важности заслуживают детального рассмотрения в отдельной статье.

Источник

Тождественные преобразования

Что такое тождественные преобразования

Тождество — это равенство, выполняемое на всем множестве значений переменных, которые в него включены.

К примеру, тождествами являются, в том числе, квадратные выражения:

a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b )

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

В рассмотренных выражениях любые значения a и b обращают их в верные равенства, что полезно знать при решении примеров.

Тождественно равными выражениями называют такие два выражения, которые обладают равными значениями при всех значениях переменных.

Данное равенство существует только в том случае, когда:

Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является верным при любом из значений переменных. Уравнение же верно лишь в том случае, когда имеется одно или несколько значений переменных.

В этом случае тождество не включает в себя переменные.

Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) представляет собой замену одних выражений на другие, которые тождественно равны между собой.

Данное объяснение преобразований позволяет значительно упростить решение задач. К примеру, для этого используют законы сокращенного умножения, арифметические свойства и другие тождества.

Рассмотрим конкретный пример:

Выполним работу по тождественным преобразованиям этой дроби:

x 3 – x x 2 – x = x ( x 2 – 1 ) x – 1 = x ( x – 1 ) ( x + 1 ) x ( x – 1 ) = x + 1

x 3 – x x 2 – x = x + 1

Доказательство тождеств

В процессе доказательства тождества необходимо выполнить ряд действий:

В качестве самостоятельного примера для тренировки докажем следующее тождество:

x 3 – x x 2 – x = x 2 + x x

x ( x 2 – 1 ) x ( x – 1 ) = x ( x + 1 ) x

Заметим, что можно сократить х :

( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 = x + 1

Заключим, что рассмотренное равенство является тождеством, если х ≠ 0 и х ≠ 1

Когда требуется доказать, что равенство не относится к тождеству, следует определить одно допустимое значение переменной, при котором полученные числовые выражения обращаются в неравные друг другу. К примеру:

x 2 – x x = x 2 + x x → x ≠ 0

Упростим вычисления с помощью сокращения х :

Данное равенство не является тождеством.

Примеры тождеств

Изучить тождества на практике можно с помощью решения задач на различные тождественные преобразования алгебраических выражений. Ключевой целью таких действий является замена начального выражения на выражение, которое ему тождественно равно.

От перестановки местами слагаемых сумма не меняется:

От перестановки местами сомножителей произведение не меняется:

Согласно данным правилам, можно записать примеры тождественных выражений:

При наличии в сумме более двух слагаемых допускается группировать их путем заключения в скобки. Также можно предварительно переставлять эти слагаемые местами:

a + b + c + d = ( a + c ) + ( b + d )

Аналогичным способом группируют сомножители в произведении:

a × b × c × d = ( a × d ) × ( b × c )

Приведем примеры таких тождественных преобразований:

15 + 6 + 5 + 4 = ( 15 + 5 ) + ( 6 + 4 )

6 × 8 × 11 × 4 = ( 6 × 4 × 8 ) × 11

При увеличении или уменьшении обеих частей тождества на одинаковое число, данное тождество остается верным:

( a + b ) ± e = ( c + d ) ± e

Равенство сохраняется также при умножении или делении обеих частей этого равенства на одно и то же число:

( a + b ) × e = ( c + d ) × e

( a + b ) ÷ e = ( c + d ) ÷ e

Запишем несколько примеров:

35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ ( 35 + 10 ) + 4 = ( 9 + 16 + 20 ) + 4

42 + 14 = 7 × 8 ⇒ ( 42 + 14 ) × 12 = ( 7 × 8 ) × 12

Какую-либо разность допускается записывать, как сумму слагаемых:

Аналогичным способом можно выполнить замену частного на произведение:

Рассмотрим примеры тождественных преобразований:

Заменить математическое выражение на более простое можно с помощью арифметических действий:

Преобразования следует выполнять с соблюдением алгоритма:

14 + 6 × ( 35 – 16 × 2 ) + 11 × 3 = 14 + 18 + 33 = 65

20 ÷ 4 + 2 × ( 25 × 3 – 15 ) – 9 + 2 × 8 = 5 + 120 – 9 + 16 = 132

В арифметических выражениях можно избавляться от скобок при необходимости. Исходя из знаков в выражении, определяются правила, согласно которым раскрывают скобки.

Рассмотрим несколько примеров преобразований с помощью раскрытия скобок:

117 + ( 90 – 74 – 38 ) = 117 + 90 – 74 – 38

22 × ( 8 + 14 ) = 22 × 8 + 22 × 14

18 ÷ ( 4 – 6 ) = 18 ÷ 4 – 18 ÷ 6

Другим распространенным действием при упрощении выражений, содержащих скобки, является вынесение за них общего множителя. В результате в скобках остаются слагаемые, поделенные на вынесенный множитель. Данный способ преобразования можно применять в выражениях, которые содержат буквенные переменные.

3 × 5 + 5 × 6 = 5 × ( 3 + 6 )

28 + 56 – 77 = 7 × ( 4 + 8 – 11 )

31 x + 50 x = x × ( 31 + 50 )

В процессе тождественных преобразований часто применяют формулы для сокращенного выражения.

Примеры тождественных преобразований:

( 31 + 4 ) 2 = 31 2 + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4 2 = 1225

Источник

Знак тождества в математике

Вы будете перенаправлены на Автор24

Тождественность в математике — очень часто используемое понятие. Различают понятия тождественных равенств, тождественных выражений и тождественных преобразований, давайте более подробно разберём, что значит каждое из этих понятий.

Тождественные выражения в математике

Рассмотрим три простых алгебраических выражения:

Мы подходим непосредственно к определению тождественных выражений:

Выражения называются тождественными друг с другом, если при любых значениях переменных они всегда равны между собой.

При значении игрека, равному двум, первое из этих двух выражений теряет смысл, так как на нуль делить нельзя, а в знаменателе при этом значении получается нуль.

Понятия «тождество» и «тождественное равенство»

Готовые работы на аналогичную тему

Что же такое тождество в алгебре?

Тождество в математике — это равенство, которое всегда выполняется или, иными словами, является справедливым для всех множеств значений его переменных.

Если два и более тождественных выражения записать непосредственно рядом друг с другом через знак «равно» — то получится тождественное равенство, то есть тождество.

Знак тождества в математике

Чаще всего тождества записывают через знак «равно» — «$=$», знак «тождественно» — «≡» иногда используют для особого выделения в речи тождественности какого-либо равенства. Обычно знак тождества используется значительно реже, чем знак равенства.

Тождественные преобразования

Очень часто для того чтобы упростить процесс вычисления каких-либо выражений, а также для их сравнения и более удобной подстановки переменных в равенства используют различные математические преобразования. Эти преобразования называются тождественными преобразованиями, так как они не изменяют конечные значения выражений и равенств.

Тождественные преобразования — это преобразования и замены одного выражения другим, тождественным ему, не изменяющие конечное значение выражений и не приводящие к нарушению тождественности равенств.

Любое выражение при любых допустимых значениях переменных, используемых в нём, принимает какое-либо значение. Из этого можно сделать вывод, что применение различных законов, соблюдающихся для арифметических действий приводит к преобразованию исходного выражение в новое, тождественное первоначальному выражению.

Какие выражения тождественны?

Ответ:

Тождественными являются выражения под номером 2 и 3, в случае выражений под номером 2 слева дана сокращённая формула разности квадратов, а справа — развёрнутая. В случае третьего выражения нужно упростить выражение справа:

$(2 \cdot 3 + 16 – 14)= 6 + 16 – 14 = 8$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 12 02 2021

Источник

Тождество

Тождество — это равенство, обе части которого являются тождественно равными выражениями. Тождества делятся на буквенные и числовые.

Тождественные выражения

Два алгебраических выражения называются тождественными (или тождественно равными), если при любых численных значениях букв они имеют одинаковую численную величину. Таковы, например, выражения:

Оба представленных выражения, при любом значении x будут равны друг другу, поэтому их можно назвать тождественными или тождественно равными.

Так же тождественными можно назвать и числовые выражения, равные между собой. Например:

Буквенные и числовые тождества

Буквенное тождество — это равенство, которое справедливо при любых значениях входящих в него букв. Другими словами, такое равенство, у которого обе части являются тождественно равными выражениями, например:

Числовое тождество — это равенство, содержащее только числа, выраженные цифрами, у которого обе части имеют одинаковую численную величину. Например:

Тождественные преобразования выражений

Все алгебраические действия представляют собой преобразование одного алгебраического выражения в другое, тождественное первому.

При вычислении значения выражения, раскрытии скобок, вынесении общего множителя за скобки и в ряде других случаев одни выражения заменяются другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения. Все преобразования выражений выполняются на основе свойств действий над числами.

Рассмотрим тождественное преобразование выражения на примере вынесения общего множителя за скобки:

Выполнение данного преобразования основано на распределительном законе умножения.

Источник

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

Примеры тождеств.

— Тождество Эйлера (кватернионы);

— Тождество Эйлера (теория чисел);

— Тождество четырёх квадратов;

— Тождество восьми квадратов;

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: .

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

Например, доказать тождество:

Вынесем х за скобки:

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

Это равенство не тождество.

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Это выражение верно лишь при х = 10.

Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.

Источник