Что значит тождественно равен

Тождественно равные выражения. Тождества

Рассмотрим две пары выражений:

1) и

Найдем их значения при

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных и значения выражений и равны.

2)

Найдем их значения при

Мы получили один и тот же результат. Однако, можно указать такие значения и , при которых значения этих выражений не будут иметь равные значения. Например, если , то

Мы получили разные результаты.

Следовательно, выражения и являются тождественно равными, а выражения не являются тождественно равными.

Равенство — тождество, т.к. оно верно при любых значениях и .

Также к тождествам можно отнести равенства, выражающие свойства сложения и умножения чисел:

Можно привести и другие примеры тождеств:

Тождествами считают и верные числовые равенства.

Очень часто при вычислении значений выражений, легче сначала упростить имеющееся выражение, а затем выполнять вычисления.

К тождественным преобразованиям можно отнести приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок.

Примеры:

1) , мы преобразовали выражение в выражение .

2) , мы преобразовали выражение в выражение .

Для того, чтобы доказать, что данное равенство является тождеством (или доказать тождество), используют следующие методы:

1) тождественно преобразуют одну из частей данного равенства, получая другую часть;

2) тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства, получая одно и то же выражение;

3) доказывают, что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю.

Также, чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно привести контрпример, т.е. указать такое значение переменной (или переменных, если их несколько), при котором данное равенство не выполняется.

Пример: Докажите, что равенство не является тождеством.

Решение: Приведем контрпример. Если , то

, следовательно, равенство не является тождеством.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Тождественно равные выражения: определение, примеры.

Получив представление о тождествах, логично перейти к знакомству с тождественно равными выражениями. В этой статье мы ответим на вопрос, что такое тождественно равные выражения, а также на примерах разберемся, какие выражения являются тождественно равными, а какие – нет.

Навигация по странице.

Что такое тождественно равные выражения?

Определение тождественно равных выражений дается параллельно с определением тождества. Это происходит на уроках алгебры в 7 классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автора Ю. Н. Макарычев приведена такая формулировка:

Тождественно равные выражения – это выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных. Числовые выражения, которым отвечают одинаковые значения, также называют тождественно равными.

Это определение используется вплоть до 8 класса, оно справедливо для целых выражений, так как они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. А в 8 классе определение тождественно равных выражений уточняется. Поясним, с чем это связано.

Два выражения, значения которых равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных, называются тождественно равными выражениями. Два числовых выражения, имеющие одинаковые значения, также называются тождественно равными.

В данном определении тождественно равных выражений стоит уточнить смысл фразы «при всех допустимых значениях входящих в них переменных». Она подразумевает все такие значения переменных, при которых одновременно имеют смысл оба тождественно равных выражения. Эту мысль разъясним в следующем пункте, рассмотрев примеры.

Определение тождественно равных выражений в учебнике Мордковича А. Г. дается немного иначе:

Тождественно равные выражения – это выражения, стоящие в левой и правой частях тождества.

По смыслу это и предыдущее определения совпадают.

Примеры тождественно равных выражений

Введенные в предыдущем пункте определения позволяют привести примеры тождественно равных выражений.

Однако области допустимых значений переменных в выражениях могут отличаться. Для примера возьмем выражения x−1 и . Областью допустимых значений переменной x в выражении x−1 является все множество действительных чисел, а ОДЗ переменной x в выражении составляют все действительные числа, кроме нуля (иначе будет нуль в знаменателе, а деление на нуль не определено). «Общей» областью допустимых значений переменной x для обоих выражений является пересечение ОДЗ переменной x в каждом из этих выражений в отдельности.

Особую ценность имеет замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Такая замена называется тождественным преобразованием выражения, эта тема в силу своей важности заслуживают детального рассмотрения в отдельной статье.

Источник

Тождественно равные выражения: определение, примеры

После того, как мы разобрались с понятием тождеств, можно переходить к изучению тождественно равных выражений. Цель данной статьи – объяснить, что это такое, и показать на примерах, какие выражения будут тождественно равными другим.

Тождественно равные выражения: определение

Понятие тождественно равных выражений обычно изучается вместе с самим понятием тождества в рамках школьного курса алгебры. Приведем основное определение, взятое из одного учебника:

Тождественно равными друг другу будут такие выражения, значения которых будут одинаковы при любых возможных значениях переменных, входящих в их состав.

Также тождественно равными считаются такие числовые выражения, которым будут отвечать одни и те же значения.

Это достаточно широкое определение, которое будет верным для всех целых выражений, смысл которых при изменении значений переменных не меняется. Однако позже возникает необходимость уточнения данного определения, поскольку помимо целых существуют и другие виды выражений, которые не будут иметь смысла при определенных переменных. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости тех или иных значений переменных, а также необходимость определять область допустимых значений. Сформулируем уточненное определение.

Тождественно равные выражения – это те выражения, значения которых равны друг другу при любых допустимых значениях переменных, входящих в их состав. Числовые выражения будут тождественно равными друг другу при условии одинаковых значений.

Фраза «при любых допустимых значениях переменных» указывает на все те значения переменных, при которых оба выражения будут иметь смысл. Это положение мы объясним позже, когда будем приводить примеры тождественно равных выражений.

Можно указать еще и такое определение:

Тождественно равными выражениями называются выражения, расположенные в одном тождестве с левой и правой стороны.

Примеры выражений, тождественно равных друг другу

Используя определения, данные выше, рассмотрим несколько примеров таких выражений.

Для начала возьмем числовые выражения.

Так, 2 + 4 и 4 + 2 будут тождественно равными друг другу, поскольку их результаты будут равны ( 6 и 6 ).

Но область допустимого значения в одном выражении может отличаться от области другого.

Если мы заменяем одно выражение на другое, которое является тождественно равным ему, то этот процесс называется тождественным преобразованием. Это понятие очень важно, и подробно о нем мы поговорим в отдельном материале.

Источник

Тождества: определение, обозначение, примеры

Начнем разговор о тождествах, дадим определение понятия, введем обозначения, рассмотрим примеры тождеств.

Что представляет собой тождество

Начнем с определения понятия тождества.

Тождество представляет собой равенство, которое верно при любых значениях переменных. Фактически, тождеством является любое числовое равенство.

По мере разбора темы мы можем уточнять и дополнять данное определение. Например, если вспомнить понятия допустимых значений переменных и ОДЗ, то определение тождества можно дать следующим образом.

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

Про любые значения переменных при определении тождества речь идет в пособиях и учебниках по математике для 7 класса, так как школьная программа для семиклассников предполагает проведение действий исключительно с целыми выражениями (одно- и многочленами). Они имеют смысл при любых значениях переменных, которые входят в их состав.

Программа 8 класса расширяется за счет рассмотрения выражений, которые имеют смысл только для значений переменных из ОДЗ. В связи с этим и определение тождества меняется. Фактически, тождество становится частным случаем равенства, так как не каждое равенство является тождеством.

Знак тождества

Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства. Знак тождества может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.

Примеры тождеств

Обратимся к примерам.

Равенства 2 + 3 = 5 и 7 − 1 = 2 · 3 также можно считать тождествами, так как они являются вернными. Здесь также допустима запись 2 + 3 ≡ 5 и 7 − 1 ≡ 2 · 3 .

Тождества могут содержать не только числа, но также и переменные.

Это значит, что приведенные равенства не являются тождествами.

В математике мы постоянно имеем дело с тождествами. Делая записи действий, производимых с числами, мы работаем с тождествами. Тождествами являются записи свойств степеней, свойств корней и прочие.

Источник

Тождество

Тождество — это равенство, обе части которого являются тождественно равными выражениями. Тождества делятся на буквенные и числовые.

Тождественные выражения

Два алгебраических выражения называются тождественными (или тождественно равными), если при любых численных значениях букв они имеют одинаковую численную величину. Таковы, например, выражения:

Оба представленных выражения, при любом значении x будут равны друг другу, поэтому их можно назвать тождественными или тождественно равными.

Так же тождественными можно назвать и числовые выражения, равные между собой. Например:

Буквенные и числовые тождества

Буквенное тождество — это равенство, которое справедливо при любых значениях входящих в него букв. Другими словами, такое равенство, у которого обе части являются тождественно равными выражениями, например:

Числовое тождество — это равенство, содержащее только числа, выраженные цифрами, у которого обе части имеют одинаковую численную величину. Например:

Тождественные преобразования выражений

Все алгебраические действия представляют собой преобразование одного алгебраического выражения в другое, тождественное первому.

При вычислении значения выражения, раскрытии скобок, вынесении общего множителя за скобки и в ряде других случаев одни выражения заменяются другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения. Все преобразования выражений выполняются на основе свойств действий над числами.

Рассмотрим тождественное преобразование выражения на примере вынесения общего множителя за скобки:

Выполнение данного преобразования основано на распределительном законе умножения.

Источник