Что значит сумма квадратов

Сумма квадратов

Сумма квадратов встречается в ходе преобразования числовых и буквенных выражений. Как с ней работать?

Поскольку сумма квадратов является составной частью формул полного квадрата суммы и разности, можно попробовать применить одну из этих формул.

Формула полного квадрата суммы состоит из трёх слагаемых — сумма квадратов двух слагаемых плюс удвоенное произведение этих слагаемых. Следовательно, для получения полного квадрата к сумме квадратов двух выражений следует прибавить удвоенное произведение этих выражений, и, чтобы выражение не изменилось, вычесть это произведение:

Аналогично, для получения полного квадрата разности следует из суммы квадратов двух выражений вычесть удвоенное произведение этих выражений и тут же прибавить его:

Рассмотрим, как эти рассуждения могут быть применены на практике.

Теперь используем данные условия:

Эти рассуждения применяются, например, в приложении теоремы Виета, когда не решая квадратного уравнения, требуется найти сумму квадратов его корней и т.п.

Источник

Сумма квадратов всех целых чисел

Сумма квадратов чисел — математическое выражение, для которого не существует формулы сокращенного умножения. На практике иногда требуется быстро прикинуть сумму нескольких квадратов, однако без математических хитростей такое выражение подсчитать достаточно трудно.

Формулы сокращенного умножения

Для упрощения расчетов в математике используются специальные формулы сокращенного умножения, которые, по сути, представляют собой частные случаи бинома Ньютона. При помощи таких формул легко вручную подсчитать, например, квадрат суммы или разности вида:

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

в учебниках по математике вы не найдете. Естественно, она есть для комплексных чисел, тех самых, с которыми мы знакомимся в университетском курсе математического анализа. Выглядит эта формула достаточно жутко:

где i – легендарная мнимая единица, которая рассчитывается как квадратный корень из минус единицы.

В школьных примерах продвинутые ребята негласно используют формулу, которая не входит в пантеон формул сокращенного умножения:

a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab.

Эта формула идеально подходит только для вычисления суммы квадратов двух целых чисел. Но что делать, если на практике требуется сложить сумму нескольких квадратов или рациональных чисел? Здесь на сцене появляется наша программа.

Наша программа позволяет сложить сколько угодно квадратов целых и рациональных чисел. Для вычислений вам потребуется ввести числа в ячейку, отделив их пробелом. Десятичные дроби записываются и с точкой, и с запятой. Рациональные числа записываются через / (слэш). Итак, вы можете подсчитать сумму нескольких квадратных чисел, но для чего это вообще нужно?

Рассмотрим примеры работы калькулятора

Разложение на квадраты

Зачем складывать квадраты целых чисел? Почему бы не складывать их кубы или 33-е степени? Эти вопросы встают перед каждым математиком, занимающимся теорией чисел. Разложение целых чисел на сумму двух квадратов — классическая задача теории чисел, за которой стоит исследование делимости. В целом задача эта обратна теме данной статьи: вопрос ставится таким образом, что математик должен вычислить, раскладывается ли данное число на сумму двух квадратов. Некоторые ученые идут дальше и пытаются раскладывать числа на суммы квадратов последовательных чисел. Мы же просто попробуем сложить некоторые квадраты и посмотрим, что получится в результате. Итак, введем в калькулятор следующие пары чисел:

Как видите, разные пары чисел дают один и тот же результат. Кроме того, сами числа 25 и 64 являются квадратами 5 и 8 соответственно. Магия теории чисел, которую трудно применить в каких-нибудь бытовых расчетах.

Гипотенуза 5-мерного тетраэдра

Представим еще менее реальную задачу. Пятимерный тетраэдр или 5-мерный симплекс — это обобщение треугольника для пятимерного пространства. Такие причудливые идеи используются в квантовой физике, теории относительности и барицентрическом исчислении, но для решения некоторых задач от вас не потребуется глубоких знаний высшей математики. К примеру, гипотенуза пятимерного тетраэдра рассчитывается по достаточно простой формуле:

где a, b, c, d – стороны симплекса.

Для решения такой задачки достаточно ввести четыре значения в форму онлайн калькулятора и вычислить квадратный корень из результата. Допустим, стороны симплекса в условных единицах имеют следующие значения: 1, 2.3, 3/5, 0,85. Введем этим данные в ячейку через пробел и получим 7,3725. Теперь вычислим квадратный корень и выясним, что гипотенуза пятимерного симплекса равна 2,715.

Заключение

Сумма квадратов нескольких чисел — нестандартная задача, которая вряд ли встретится в обычных бытовых расчетах, как-то вычисление диаметра дачного ограждения или площади пиццы. Для нетривиальных математических расчетов вам пригодится наша программа, которая быстро вычислит сумму квадратов сколько угодно большого количества целых и рациональных чисел.

Источник

Что значит сумма квадратов

Введение

ЗАЧЕМ СКЛАДЫВАТЬ КВАДРАТЫ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ? Почему бы не складывать их кубы или 666-е степени? Вопросы эти весьма серьезны и встают перед каждым, кто начинает изучать математику. Из огромного разнообразия задач не все достойны пристального внимания. Задача о сумме квадратов — в высшей степени достойна. К сожалению для философа, это невозможно объяснить, не рассказав ее решение и не углубившись тем самым в детали.

«Детали» — это критерий того, какие натуральные числа представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел. В доказательстве этого критерия будут использованы не только «обычные» целые числа, но и числа комплексные — прекрасный пример применения абстрактной теории к конкретной арифметической задаче! Хотя эта статья содержит лишь малую часть богатейшей теории делимости алгебраических чисел, надеемся, ее очарование никого не оставит равнодушным.

Суммы квадратов

Таблица сумм квадратов

Упражнение 1. Найдите наименьшее число, которое двумя существенно разными (т. е. не получающимися один из другого перестановкой слагаемых) способами представимо в виде суммы двух квадратов а) целых; 6) натуральных чисел.

Остатки от деления на 3

Наименьшее натуральное число, не представимое в виде суммы двух квадратов целых чисел, — это 3. Кратные 3 числа 6, 12, 15, 21 тоже не представимы, а вот числа 9 = 3 2 + 0 2 и 18 =3 2 + 3 2 — представимы. Возникает гипотеза: числа, которые кратны 3, но не кратны 9, не представимы в виде суммы двух квадратов. Эта гипотеза верна. Верно даже более сильное утверждение:

Теорема 1. Если сумма квадратов х 2 + у 2 целых чисел х, у кратна 3, то числа х, у тоже кратны 3.

Доказательство. Выпишем остатки от деления квадратов целых чисел на 3:

Закономерность очевидна: остатки периодически повторяются, и никаких остатков кроме 0 и 1 не бывает.
(Точнее говоря, остаток от деления квадрата целого числа х на 3 равен 0, если х кратно 3, т. е. представимо в виде х = 3k, где k — целое число, и остаток равен 1, если x не кратно 3, т. е. представимо в виде х= В самом деле, в первом случае х = 9k 2 делится на 3 без остатка, а во втором случае х 2 = дает при делении на 3 остаток 1.)

Суммы остатков 0 + 1 и 1 + 1 не кратны 3. Значит, сумма квадратов х 2 + у 2 кратна 3 в том и только том случае, когда х и у кратны 3.

Остатки от деления на 7

Для доказательства составим таблицу остатков от деления квадратов на 7:

Остатки, как видите, периодически повторяются. Поскольку сумма никаких двух из остатков 1, 2, 4 не кратна 7, мы доказали нашу гипотезу.

Упражнения
3. Остаток от деления квадрата целого числа х на 7 равен 0, если х = 7k, где k — целое число; равен 1, если равен 2, если х = равен 4, если Докажите это.
4. Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел кратна 21, то она кратна и 441.
5. а) Какие остатки дают квадраты целых чисел при делении на 11? б) Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел кратна 11, то она кратна 121. в) Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел кратна 1331, то она кратна и 14641.

Остатки от деления на 19

Например, пусть р = 19. Составим таблицу остатков от деления квадратов на 19:

Поскольку сумма никаких двух из чисел 1,4,5,6,7,9, 11, 16 и 17 не кратна 19, приходим к выводу: сумма квадратов двух целых чисел кратна 19 в том и только том случае, когда слагаемые кратны 19.

Свойство простых чисел, не являющихся суммами двух квадратов

Чем больше по величине простое число р, тем больше квадратичных вычетов по модулю р. Поэтому пора менять метод исследования: если мы не желаем погрязнуть в нескончаемых вычислениях, то должны каким-то одним общим рассуждением охватить числа 3, 7, 11, 19 и многие другие простые числа.

Пока не вполне ясно, что это за числа и чем они отличаются от чисел 2, 5, 13, 17. Впрочем, одно отличие очевидно: числа 3,7,11,19 не представимы, а числа 2, 5, 13,17 представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел. Кроме того, простые числа р = 3, 7, 11, 19 обладают, как мы уже доказали, тем свойством, что если сумма квадратов целых чисел кратна р, то каждое из слагаемых кратно р. Продолжив (довольно утомительные, если не использовать компьютер) вычисления, можно доказать это свойство для р = 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 87. Осечки ни разу не будет:

Теорема 2. Если простое число р не представимо в виде суммы двух квадратов и если сумма квадратов х 2 + у 2 кратна р, то каждое из целых чисел х, у кратно р.

Мы получим эту теорему как одно из следствий теории целых гауссовых чисел. Поскольку это не так уж просто, давайте отвлечемся на некоторое время от теоремы 2 и обратим внимание на другое свойство рассматриваемых простых чисел 3, 7, 11. 83, 87: при делении на 4 они дают остаток 3.

Числа вида 4n + 3

В виде суммы двух квадратов не представимы не только простые числа, которые при делении на 4 дают остаток 3, но и вообще все числа 3,7, 11, 15, 19,23,27.

Теорема 3. Всякое представимое в виде суммы квадратов двух целых чисел нечетное число при делении на 4 дает остаток 1, а не 3.

Доказательство. Из двух квадратов, сумма которых нечетна, обязательно один четен, а другой нечетен. Квадрат четного числа нацело делится на 4, а квадрат нечетного числа при делении на 4 дает остаток 1 (проверьте!).

Произведение сумм квадратов

Значит, вместе с каждым представимым числом n представимо и число 2n. Далее,

Легко проверить и формулы

Все они являются частными случаями общей формулы, которая представляет произведение сумм двух квадратов в виде суммы двух квадратов. Чтобы получить ее, раскроем скобки

прибавим и отнимем 2аbху и изменим порядок слагаемых:

Теорема Ферма — Эйлера

Теорема 4. Любое простое число р, которое при делении на 4 дает остаток 1, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Мы приведем доказательство, состоящее из следующих двух лемм.

Лемма 1. Для любого простого числа р == 4n + 1, где существует такое целое число m, что m 2 + 1 кратно р.

Лемма 2. Любой простой делитель р числа m 2 + 1, где m — целое, представим в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Упражнение 9. Пользуясь формулой (1), объясните, почему в лемме 2 слова «любой простой» можно заменить на «любой натуральный».

Лемму 1 мы выведем из теоремы Вильсона (1741- 1793), лемму 2 — из теории делимости целых гауссовых чисел. Но сначала сформулируем ответ на один важный вопрос.

Какие натуральные числа — суммы двух квадратов?

Этот критерий впервые был сформулирован голландцем Альбером Жираром (1595-1632) в следующем виде: натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда оно является или квадратом, или числом 2, или простым числом, которое на 1 больше, чем некоторое кратное 4, или произведением нескольких вышеперечисленных чисел. Скорее всего, Жирар опирался лишь на изучение таблиц и не претендовал на то, что может доказать необходимость и достаточность своих условий.

Доказательство леммы 1

Оно дает при делении на р такой же остаток, как и число

Доказательство этой теоремы можно узнать, например, из статьи А. Егорова и А. Котовой «Необыкновенные арифметики» (Приложение к журналу «Квант» N 2 за 1994 год).

Нет людей более скупых на похвалы, чем те, кто их не заслуживает. Пьер Буаст
ещё >>

Источник

Что означает сумма квадратов?

Сумма площадей представляет собой статистический метод, используемый в регрессионном анализе для определения разброса точек данных. Сумма площадей используется как математический способ найти функцию, которая лучше всего соответствует (меньше всего отличается) от данных.

Тогда как найти линию регрессии?

Учитывая это, можете ли вы выполнить линейную регрессию вручную?

Рассчитайте среднее значение вашей переменной X. Вычислите разницу между каждым X и средним X. Вычислите среднее значение вашей переменной Y. Умножьте разницу (X и Y с их соответствующими средними значениями) и сложите их все вместе.

Что такое SSyy?

Что означает сумма остатков?

В статистике остаточная сумма квадратов (RSS), также известный как сумма квадрата невязки (SSR) или сумма квадрата оценки ошибок (SSE), является сумма квадратов невязки (отклонения от фактических эмпирических значений данных). Небольшой RSS указывает на точное соответствие модели данным.

Какова формула SSE?

Что значит соответствовать регрессионной модели?

Мы желаем соответствовать простой линейный регрессионная модель: у = β0 + β1x + ϵ. • Фитинги a модель означает получение оценок для неизвестной популяции. параметров β0 и β1 (а также дисперсии ошибок σ 2.).

Как рассчитать простую линейную регрессию в Excel?

Как рассчитать простую линейную регрессию в Excel?

Как вы рассчитываете SSR в статистике?

Первый шаг: найти остатки. Для каждого значения x в выборке вычисление подогнанное значение или прогнозируемое значение y, используя ˆyi = ˆβ0 + ˆβ1xi. Затем вычтите каждое подобранное значение из соответствующего фактического наблюдаемого значения yi. Возведение в квадрат и суммирование этих различий дает SSR.

Каковы параметры в простом уравнении линейной регрессии?

Что такое B в регрессии?

Что означает сумма квадратов?

сумма квадратов это мера отклонения от значить. В статистике значить представляет собой среднее значение набора чисел и является наиболее часто используемой мерой центральной тенденции. Арифметика значить просто вычисляется путем суммирования значений в наборе данных и деления на количество значений.

Как найти сумму квадратов ошибок?

Рассчитать сумма квадратов для ошибка, начать с найти среднее значение набора данных путем сложения всех значений вместе и деления на общее количество значений. Затем вычтите среднее значение из каждого значения до найдите отклонение для каждого значения. Затем возведите отклонение для каждого значения в квадрат.

Что такое β в регрессии?

Как найти сумму продукта в статистике?

Как вам подходит простая линейная регрессия?

Как вы вручную рассчитываете коэффициенты регрессии?

Как найти уравнение регрессии в Excel?

Что означает R в квадрате?

Какая стандартная ошибка оценки?

Как нам найти значение p?

Если ваша тестовая статистика положительна, сначала найдите вероятность того, что Z больше вашей тестовой статистики (посмотрите свою тестовую статистику в Z-таблице, найдите соответствующую вероятность и вычтите ее из единицы). Затем удвойте этот результат, чтобы получить p–значение.

Каковы параметры в простом уравнении линейной регрессии?

значить of остатки также равно нуль, А значить = сумма невязки / количество предметов. Сумма ноль, так 0/ n всегда будет равно нуль.

Почему мы используем остаточную сумму квадратов?

В отличие от дисперсии, которая не являетсяотрицательный, Ковариация может be отрицательный или положительный (ну или ноль, конечно). Положительное значение ковариации означает, что две случайные величины имеют тенденцию изменяться в одном и том же направлении, a отрицательный значение означает, что они меняются в противоположных направлениях, а 0 означает, что они не меняются вместе.

Как найти b1 и b0 в Excel?

использование Excel@ Data / Data Analysis / Regression, чтобы получить итоговый результат для данных и распечатать его копию, найдите значения b0, b1, и b2 в итоговом выводе. Ценности b0, b1, и b2 помечены в итоговом выводе ниже. c. Использовать Excel@ = ЛИНЕЙН (ArrayY, ArrayXs), чтобы получить b0, b1 и b2 одновременно.

Что такое r в статистике?

In статистика, коэффициент корреляции r измеряет силу и направление линейной связи между двумя переменными на диаграмме рассеяния. Значение r всегда находится между +1 и –1.

Что такое r в статистике?

параметр α называется константой или точкой пересечения и представляет ожидаемый ответ, когда xi = 0. (Эта величина может не представлять прямого интереса, если ноль не входит в диапазон данных.) параметр β называется наклоном и представляет собой ожидаемое приращение отклика на единицу изменения xi. Yi = α + βxi + ϵi.

Что такое простая модель линейной регрессии?

Простая линейная регрессия это статистический метод, который позволяет нам суммировать и изучать отношения между двумя непрерывными (количественными) переменными: другая переменная, обозначенная y, рассматривается как ответ, результат или зависимая переменная.

Что означает ковариация 1?

Может ли R в квадрате быть отрицательным?

Если выбранная модель укладывается хуже горизонтальной линии, то R2 это отрицательный, Обратите внимание, что R2 не всегда является квадратом чего-либо, поэтому может есть отрицательный значение без нарушения каких-либо математических правил. R2 это отрицательный только когда выбранная модель не следует тенденции данных, поэтому подходит хуже, чем горизонтальная линия.

Что такое регрессионная сумма квадратов?

регрессионная сумма квадратов описывает, насколько хорошо регресс модель представляет смоделированные данные. В регресс тип сумма квадратов указывает, насколько хорошо регресс модель объясняет данные. Высшее регрессионная сумма квадратов указывает на то, что модель не соответствует данным.

Может ли ковариация быть отрицательной?

Что означает отрицательный остаток?

остаточный фактическое (наблюдаемое) значение за вычетом прогнозируемого значения. Если у тебя есть отрицательный ценность для остаточный it означает фактическое значение было МЕНЬШЕ, чем прогнозируемое значение. Человек на самом деле сделал хуже, чем вы предсказывали. Выше линии, вы НЕ предсказываете, значит, у вас положительный результат. остаточный.

Сколько остатков в наборе данных?

В отличие от дисперсии, которая не являетсяотрицательный, Ковариация может be отрицательный или положительный (ну или ноль, конечно). Положительное значение ковариации означает, что две случайные величины имеют тенденцию изменяться в одном и том же направлении, a отрицательный значение означает, что они меняются в противоположных направлениях, а 0 означает, что они не меняются вместе.

Источник

• визитки установка дверей шаблоны →