Что значит сумма чисел
Числа. Сложение чисел.
Сумма — итог складывания величин (чисел, функций, векторов, матриц и т.д.). Свойства для всякого случая – это свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение существует), т.е. выполнение соотношений:
В теории множеств суммой (или объединением) множеств является множество, в котором элементы – это все элементы слагаемых множеств, которое берутся без повторов.
Суммой s чисел 
будет итог складывания таких чисел: 
. На примере, если складываем 2 числа a и b, то расписать можно так:
Свойства суммы чисел.
Основываясь на выше приведенных свойствах сложения натуральных чисел можно сделать вывод, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
Сложение отрицательных чисел (чисел с разными знаками). Правила.
Для сложения двух натуральных чисел чисел с разными знаками, нужно:
2) поставить перед результатом знак того слагаемого, у которого модуль больше.
Что такое вычислить сумму чисел
Сумма чисел – это простое (базовое) математическое решение, выражающееся в увеличении исходного числа на заданное.
Визуально операцию суммирования можно представить следующим образом – положите на стол одно яблоко, а затем положите ещё два яблока. Итого получится три яблока. Это и есть сумма чисел яблок.
Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.
На этой странице представлено определение суммы чисел и самый простой онлайн калькулятор расчета расчета суммы чисел.
Вычислить сумму чисел до данного
Сделайте три варианта решения:
Пример работы вашей функции:
P.S. Какой вариант решения самый быстрый? Самый медленный? Почему?
Решение с помощью цикла:
Решение через рекурсию:
Решение по формуле: sumTo(n) = n*(n+1)/2 :
P.S. Надо ли говорить, что решение по формуле работает быстрее всех? Это очевидно. Оно использует всего три операции для любого n, а цикл и рекурсия требуют как минимум n операций сложения.
Вариант с циклом – второй по скорости. Он быстрее рекурсии, так как операций сложения столько же, но нет дополнительных вычислительных затрат на организацию вложенных вызовов. Поэтому рекурсия в данном случае работает медленнее всех.
Определение суммы чисел
Задание. Найти сумму чисел:
Ответ.
Свойства суммы чисел
На основании этих свойств можем заключить, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется.
Дистрибутивность по отношению к умножению
$$(n+m) cdot k=n cdot k+m cdot k$$
Задание. Найти сумму чисел удобным способом:
Решение. По свойствам сложения имеем
При сложении больших чисел или десятичных дробей используется сложение в столбик.
Задание. Найти сумму чисел удобным способом:
Решение. Складываем эти числа в столбик, для этого запишем их друг под другом, разряд под разрядом. В случае десятичных дробей ориентируемся на то, чтобы запятая первого числа стояла под запятой второго. Далее складываем числа стоящие друг под другом, двигаясь справа на лево и записывая результата под чертой дроби. Если сумма чисел в одном столбце превышает десять, то количество десятков прибавляем к числам стоящим в следующем столбце слева от этого столбца:
Сложение рациональных дробей производится по правилу
Задание. Найти сумму чисел:
Решение. Вычислим первую сумму используя правило сложения рациональных чисел
Числитель и знаменатель полученной дроби можно сократить на 2, тогда в ответе получим
Для вычисления второй суммы, преобразуем сначала второе слагаемое в неправильную дробь, для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим полученное число к числителю. Далее применим правило сложение рациональных дробей
Выделим в полученной дроби целую часть, для этого разделим числитель на знаменатель с остатком. Полученное частное запишем в целую часть, а остаток от деления в числитель.
Что такое сумма чисел
Определение суммы чисел
Задание. Найти сумму чисел:
Ответ.
Свойства суммы чисел
На основании этих свойств можем заключить, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется.
Дистрибутивность по отношению к умножению
$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$
Что такое сумма чисел не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Найти сумму чисел удобным способом:
Решение. По свойствам сложения имеем
При сложении больших чисел или десятичных дробей используется сложение в столбик.
Задание. Найти сумму чисел удобным способом:
Решение. Складываем эти числа в столбик, для этого запишем их друг под другом, разряд под разрядом. В случае десятичных дробей ориентируемся на то, чтобы запятая первого числа стояла под запятой второго. Далее складываем числа стоящие друг под другом, двигаясь справа на лево и записывая результата под чертой дроби. Если сумма чисел в одном столбце превышает десять, то количество десятков прибавляем к числам стоящим в следующем столбце слева от этого столбца:
Сложение рациональных дробей производится по правилу
Задание. Найти сумму чисел:
Решение. Вычислим первую сумму используя правило сложения рациональных чисел
Числитель и знаменатель полученной дроби можно сократить на 2, тогда в ответе получим
Для вычисления второй суммы, преобразуем сначала второе слагаемое в неправильную дробь, для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим полученное число к числителю. Далее применим правило сложение рациональных дробей
Выделим в полученной дроби целую часть, для этого разделим числитель на знаменатель с остатком. Полученное частное запишем в целую часть, а остаток от деления в числитель.
Сложение натуральных чисел
Пройти тест по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» можно по ссылке. Проверьте свои знания!
Сумма чисел – это такое число, которое получается после объединения всех единиц других данных натуральных чисел.
Слагаемые – это числа, над которыми мы выполняем действие сложения. Иными словами, это те числа, количество единиц которых мы объединяем в новом числе.
Арифметическое действие – это нахождение нового числа при помощи двух или нескольких других данных чисел.
В курсе математики 5 класса изучаются основные арифметические действия – сложение, вычитание, умножение и деление.
Сложение – это арифметическое действие, которое выполняется для получения суммы нескольких чисел.
Или другими словами:
Сложение – это действие увеличения числа на количество единиц, содержащихся в другом числе.
Сумма – это результат действия сложения.
Компоненты действия сложения для двух слагаемых:
Компоненты сложения для трех слагаемых:
Рисунок 1. Сумма двух чисел на координатном луче.
Основные свойства суммы натуральных чисел
Переместительный закон сложения
Сумма двух или нескольких чисел от изменения порядка сложения слагаемых не меняется.
Это значит, что значение суммы не зависит от порядка выполнения действия сложение.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких чисел не поменяется, если некоторые слагаемые заменить их суммой.
Это значит, что мы можем группировать слагаемые как угодно, а также выполнять действия сложения в любом порядке.
Например, если в нашем примере мы заменим слагаемые 2 и 3 их суммой, то результат останется такой же, как и при обычном сложении слагаемых:
или
или
Для прибавления суммы некоторых чисел к числу или некоторого числа к сумме чисел, нужно сложить это число с одним из слагаемых суммы, а получившийся результат сложить последовательно с остальными слагаемыми.
Пример 1. Прибавление числа к сумме чисел:
Можно сразу вычислить сумму чисел в скобках и сложить ее с первым слагаемым:
325 +( 12 + 64 + 5 ) = 325 +81 = 406
Также можно использовать правило прибавления слагаемого и суммы. Результат при этом не поменяется
Пример 2. Прибавление суммы чисел к другому числу:
Можно сразу вычислить сумму чисел в скобках и сложить ее со вторым слагаемым
( 54 + 240 + 189 )+ 37 = 483+ 37 = 520
Или можно использовать правило прибавления суммы чисел к числу. Результат останется тот же.
Изменение суммы чисел с изменением слагаемых
При увеличении одного из слагаемых на какое-то число (на какое-то количество единиц), сумма тоже увеличится на это же число (на это же количество единиц).
При уменьшении одного из слагаемых на какое-то число (на какое-то количество единиц), сумма тоже уменьшится на это же число (на это же количество единиц).
Эти два свойства справедливы и в обратную сторону. То есть, если увеличить или уменьшить сумму на какое-то число, тогда для сохранения равенства нужно соответственно увеличить или уменьшить одно из слагаемых.
Простой пример увеличения суммы при увеличении слагаемого: у вас есть 700 рублей; 200 рублей лежит в левом кармане, а 500 – в правом. Вы нашли на улице 300 рублей и положили их в левый карман, после чего там стало 200+300=500 рублей. Таким образом, всего у вас оказалось 500+500=1000 рублей, то есть, сумма всех ваших денег увеличилась на 300 рублей.
Попробуйте самостоятельно придумать примеры для всех трех правил.
Сложение однозначных чисел
Сложение двух однозначных чисел выполняется так: одно число увеличивается на количество единиц другого числа. То есть, единицы одного числа присоединяются к единицам другого числа.
Сложение многозначного числа с однозначным
Чтобы найти сумму многозначного числа и однозначного, можно действовать двумя способами. Оба они основаны на свойствах суммы чисел. Рассмотрим их на примерах.
То есть, мы проделываем такие действия:
88+5 = 80+8+5 = 80+13 = 80+10+3 = 90+3=93.
То есть, ход вычисления был такой:
88+5 = 88+2+3 = 90+3 = 93.
Сложение в столбик многозначных чисел
Сложение в столбик – это способ нахождения суммы чисел путем их записи друг под другом таким образом, чтобы соответствующие разряды разных чисел находились на одной вертикали (один под другим).
Итак, допустим, что нам нужно найти сумму : 5728+803
После нахождения суммы чисел методом сложения столбиком, записываем результат решения в исходном строчном примере:
5728+803 = 6531
Сложение в столбик нескольких многозначных чисел
Рассмотрим пример: 12044+28609+1358
Сложив простые единицы, мы получим 21, то есть, 2 десятка и 1 единицу. Записываем под чертой в разряде единиц цифру 1, а 2 отмечаем «в уме».
Нам остается только записать результат в начальном примере:
12044+28609+1358
Сумма и разность чисел
Что такое сумма, и как ее найти
Чтобы наглядно показать ребенку, как сложить числа, возьмите конфеты или любые другие вещи. Покажите ребенку две конфеты, а затем прибавьте к этим конфетам еще две. Пусть ребенок посчитает и скажет, что теперь конфет оказалось четыре. Объясните ему, что он только что сложил эти числа, то есть прибавил к одному числу другое число и в конечном итоге получил сумму.
Немного сложнее объяснить сложение разрядных слагаемых, эта тема может быть непонятна ребенку. Итак, существует множество разрядов: единицы, десятки, тысячи. Возьмите, к примеру, число 2564. Если разложить его на разряды, то получится: 2564 = 2000 + 500 + 60 + 4. Чтобы прибавить к этому числу, например, число 305, воспользуйтесь сложением в столбик. При таком сложении нужно прибавлять одни разряды к другим, начиная с конца: единицы к единицам, десятки к десяткам, тысячи к тысячам. То есть, для начала складываем 4 и 5, затем 6 и 0, после 5 и 3, и в конце 2 и 0. В конечном итоге получаем число 2869.
Как найти разность чисел
Разность – результат вычитания одного числа из другого. В отличие от суммы, здесь мы не можем воспользоваться правилом «от перестановки слагаемых разность не меняется», так как в вычитании всегда есть уменьшаемое и вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое и разность, для начала нужно разобраться с этими понятиями. Уменьшаемое – это то, из чего мы «вычитаем», то есть убираем, а вычитаемое – количество того, что мы у этого уменьшаемого вернем.
А что касается разрядных слагаемых, то здесь мы делаем то же самое, что и с суммой, только теперь не прибавляем, а вычитаем. Возьмем число 6845 и вычтем из него 4231. Для этого мы вычитаем один разряд из другого разряда, производя вычитание с конца: 5-1 = 4, 4-3 = 1, 8-2 = 6, 6-4 = 2. В ответе получим 2614.