Что значит совместить наложением в геометрии
Сравнение отрезков
Одной из простейших геометрических фигур является отрезок. Для того чтобы сравнивать отрезки, можно использовать два способа:
Метод наложения:
Пусть нам даны два отрезка AB и СD:
Совместим начало отрезка AB и СD (точки A и С).
Затем повернем отрезок СD так, чтобы он совпал с отрезком AB.
Мы видим, что отрезок СD составляет часть отрезка AB, следовательно, мы можем сделать вывод, что отрезок AB больше отрезка СD.
Если точка делит отрезок на равные отрезки, то эту точку называют серединой отрезка.
Рассмотрим еще одну пару отрезков HG и ST.
Совместим начало отрезка HG и ST.
Затем повернем отрезок ST так, чтобы он совпал с отрезком HG.
В данном случае мы видим, что совпали не только точки S и H (начала отрезков HG и ST), но и точки G и T (концы отрезков HG и ST), то есть отрезки совпадают, а нам известно, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Вывод:
Измерение длин:
Для измерения отрезков, необходимо наложить на него единичные отрезки, и длиннее будет считаться тот отрезок, которому соответствует большее число единичных отрезков.
Пример: Пусть у нас есть единичный отрезок. Рассмотрим три отрезка QL, FJ и PO.
Наложим единичный отрезок на данные.
Посчитаем, какое количество единичных отрезков накладывается на каждый из отрезков, получаем: QL = 5 ед.от., FJ = 3 ед.от., PO = 5 ед. от.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Как сравнить два отрезка: способы и примеры
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, кратчайшее расстояние между этими точками. Существует несколько способов сравнения геометрических фигур, выбор такого способа зачастую зависит не только от условия задачи, но и от возможностей. Как же сравнивать отрезки, расскажем в этой статье.
Способы сравнения двух отрезков
В геометрии две фигуры, имеющие одинаковый размер и форму, называются равными. Сравнение фигур дает возможность сказать, одинаковы ли они. Одним из способов является наложение. Если фигуры удается совместить наложением, они считаются равными.
Сравнить фигуры — значит, определить, которая из них длиннее или короче. Ответ должен быть определенным, нельзя сказать, что один отрезок длиннее или равен второму. В математике такой ответ неправилен, его можно приравнять к отсутствию ответа.
Записывают результат сравнения с помощью знаков больше, меньше и знака равенство (>,, <,, =). Например, длина отрезка АБ — 2 см, а ВГ — 8 см, записываем результат сравнения так: АБ <, ВГ или ВГ >, АБ.
Это интересно: как разложить на множители квадратный трехчлен?
Сравнивать фигуры можно разными способами, выбор которых зависит от возможностей или условий:
Лучше всего, если они различаются по длине визуально, и, просто посмотрев на них, вы можете сказать, который длиннее. Но так бывает не всегда.
Измерение длины
Самый простой способ — измерение. Для этого можно использовать линейку, просто измерив длину отрезка, мы поймем, который из них длиннее. Если нет линейки, но они начерчены на листе в клетку, для измерения их длин можно посчитать клетки. В одном сантиметре две клетки. Это метод сравнения измерением длин, но есть еще метод сравнения наложением.
Обратите внимание: что такое луч в геометрии.
Наложение друг на друга
Как происходит совмещение АБ и ВГ:
Бывает так, что при наложении одного отрезка на другой ровно половина одного из них будет совмещена с другим. Точку, которая делит его на две равные части, называют серединной точкой. И если у нас есть серединная точка В, то АВ=ВБ.
Примерно так же наложением сравнивают не только прямые, но и другие геометрические фигуры, а также углы.
Можно сделать «линейку» из полоски бумаги, при этом такую линейку не нужно линовать, достаточно отметить на ней начало и конец одного из отрезков. Затем вы прикладываете импровизированную линейку ко второму, совмещая его начало с первой отметкой и, сравниваете расположение второй отметки по отношению к его концу. Таким способом можно сравнивать и довольно большие фигуры, например, расстояние между столбиками забора, но использовать при этом лучше не бумажную полоску, а веревку.
Два отрезка называются равными, если их можно совместить методом наложения. Если есть возможность приложить их друг к другу, просто посмотрите, какой из них длиннее. Но так можно сделать не всегда.
Если под рукой имеется циркуль, поставьте одну ножку циркуля в начало, а другую в конец первого отрезка. Затем не сдвигая ножки циркуля, установите одну из них в начало второго и посмотрите, если вторая ножка циркуля в точке, обозначающей конец — они равны. Если вторая ножка на самой прямой — первый отрезок меньше, если за ним — первый больше.
Сравнение в координатной сетке
Допустим, что у нас есть два отрезка, координаты которых мы знаем — а (Х1, Y1, Х2, Y2) и b (Х3, Y3, X4, Y4).
Первое, что нужно сделать — придать координатам числовые значения:
Da = √ ((-7 — 3) ² + (4 — (-4)) ²) = √ (-10 ² + 8 ²) = √ 100 + 64 = √ 164
Db = √ ((-3 — 0) ² + (-5 — (-3)) ²) = √ (-3 ² + (-8) ²) = √ (9+ 64) = √ 73
√ 164 >, √ 73, значит, Da >, Db.
Также можно сравнить отрезки, находящиеся в трехмерной системе координат, надо учитывать не две, а три координаты каждого из них.
Примеры
Рассмотрим сравнение методом наложения. У нас имеется два отрезка — АБ и ВГ.
Чтобы узнать, равны они или нет, просто приложим их друг к другу так, чтобы их «начала» были в одной точке, то есть совместим точки, А и В.
Если мы видим, что АБ получается частью ВГ, значит, он меньше, то есть АБ<, ВГ, а если при наложении оба конца отрезков совмещаются — значит, они равны.
Теперь рассмотрим сравнение отрезков путем измерения. При помощи линейки вычисляем длину каждого отрезка. Например, длина AB = 2 см, а CD = 8 см. 8>,2, значит, CD>,AB, то есть отрезок CD длиннее AB.
Как сравнить два отрезка: способы и примеры
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, кратчайшее расстояние между этими точками. Существует несколько способов сравнения геометрических фигур, выбор такого способа зачастую зависит не только от условия задачи, но и от возможностей. Как же сравнивать отрезки, расскажем в этой статье.
Способы сравнения двух отрезков
В геометрии две фигуры, имеющие одинаковый размер и форму, называются равными. Сравнение фигур дает возможность сказать, одинаковы ли они. Одним из способов является наложение. Если фигуры удается совместить наложением, они считаются равными.
Сравнить фигуры — значит, определить, которая из них длиннее или короче. Ответ должен быть определенным, нельзя сказать, что один отрезок длиннее или равен второму. В математике такой ответ неправилен, его можно приравнять к отсутствию ответа.
Записывают результат сравнения с помощью знаков больше, меньше и знака равенство (>; АБ.
Сравнивать фигуры можно разными способами, выбор которых зависит от возможностей или условий:
Лучше всего, если они различаются по длине визуально, и, просто посмотрев на них, вы можете сказать, который длиннее. Но так бывает не всегда.
Измерение длины
Самый простой способ — измерение. Для этого можно использовать линейку, просто измерив длину отрезка, мы поймем, который из них длиннее. Если нет линейки, но они начерчены на листе в клетку, для измерения их длин можно посчитать клетки. В одном сантиметре две клетки. Это метод сравнения измерением длин, но есть еще метод сравнения наложением.
Обратите внимание: что такое луч в геометрии.
Наложение друг на друга
Как происходит совмещение АБ и ВГ:
Сравнение в координатной сетке
Допустим, что у нас есть два отрезка, координаты которых мы знаем — а (Х1, Y1; Х2, Y2) и b (Х3, Y3; X4, Y4).
Первое, что нужно сделать — придать координатам числовые значения:
Da = √ ((-7 — 3) ² + (4 — (-4)) ²) = √ (-10 ² + 8 ²) = √ 100 + 64 = √ 164
Db = √ ((-3 — 0) ² + (-5 — (-3)) ²) = √ (-3 ² + (-8) ²) = √ (9+ 64) = √ 73
√ 164 > √ 73, значит, Da > Db.
Также можно сравнить отрезки, находящиеся в трехмерной системе координат, надо учитывать не две, а три координаты каждого из них.
Примеры
Рассмотрим сравнение методом наложения. У нас имеется два отрезка — АБ и ВГ.
Чтобы узнать, равны они или нет, просто приложим их друг к другу так, чтобы их «начала» были в одной точке, то есть совместим точки, А и В.
Если мы видим, что АБ получается частью ВГ, значит, он меньше, то есть АБ 2, значит, CD>AB, то есть отрезок CD длиннее AB.
Наложения и движения
Напомним, что в нашем курсе геометрии равенство фигур определяется с помощью наложений. Мы говорим, что фигура Ф равна фигуре Фп если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф1. Понятие наложения в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии, поэтому определение наложения не даётся. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф1 Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определённую точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя.
Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7—13). Эти аксиомы позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и решении задач. Докажем, например, что при наложении различные точки отображаются в различные точки.
В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф1, состоящая из точек А и В, равна фигуре Ф2, состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что Ф2 = Ф1 (аксиома 12), т. е. при некотором наложении фигура Ф2 отображается в фигуру Ф1. Но это невозможно, так как наложение — это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости.
Из доказанного утверждения следует, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А1 и В1. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А1В1 (аксиома 7), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку А1В1. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости.
Геометрия. 9 класс
Представим себе, что каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Говорят, что задано отображение плоскости на себя. Примерами отображения плоскости на себя являются осевая и центральная симметрия.
Возьмем произвольную точку М, не лежащую на прямой а, и построим симметричную ей точку М1 относительно прямой а.
Так любой точке плоскости может быть поставлена в соответствие ей симметричная относительно прямой а. При этом любая точка М1 оказывается сопоставленной некоторой точке М.
Аналогично при центральной симметрии.
Введем понятие «движение плоскости». Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние. Поясним, что это значит. Пусть М и N какие-либо точки плоскости, а M1 и N1 симметричные им относительно прямой а.
Из точек N и N1 проведём перпендикуляры РN и РN1 к прямой МM1. Прямоугольные треугольники МРN и М1Р1N1 равны по двум катетам: МР = М1Р1 и РN = Р1N1. Поэтому гипотенузы МN и M1N1 равны. Значит расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными точками M1 и N1. Аналогично при центральной симметрии.
Рассмотрим свойства движения:
При движении отрезок отображается на отрезок.
Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник. Также любая геометрическая фигура (луч, угол, многоугольник и другие) отображается на равную ей фигуру.
Не всякое отображение плоскости на себя сохраняет расстояние. Пример гомотетия, треугольники АВС и А1В1С1 не равны.
В геометрии равенство фигур устанавливается с помощью наложения. Говорят, что фигура Ф1 равна фигуре Ф2, если их можно совместить наложением. При наложении отрезок отображается на равный ему отрезок.
Таким образом, наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние. Справедлива следующая теорема: Любое движение является наложением.