Совершенное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος ) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.
Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.
На апрель 2010 года известно 47 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS.
Нечётные совершенные числа
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.
Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org.
Свойства
Примечательные факты
Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях, — утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.
Джеймс А. Эшельман (en:James A. Eshelman) в книге «Еврейские иерархические имена Брии» [2] пишет, что в соответствии с гематрией:
В сочинении «Град Божий» Св. Августин писал [3] :
См. также
Примечания
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Совершенное число» в других словарях:
СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО — СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО, см. ЧИСЛО СОВЕРШЕННОЕ … Научно-технический энциклопедический словарь
СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО — натуральное число, равное сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Напр., 6=1+2+3 и 28=1+2+4+7+14 суть совершенные числа … Большой Энциклопедический словарь
совершенное число — натуральное число, равное сумме всех своих правильных (то есть меньших этого числа) делителей. Например, 6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 суть совершенного числа. * * * СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО, натуральное число, равное сумме… … Энциклопедический словарь
СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО — целое положительное число, обладающее свойством, что оно совпадает с суммой всех своих положительных делителей, отличных от самого этого числа. Таким образом, целое число является С. ч., если С. ч. являются, напр., числа 6, 28, 496, 8128,33550336 … Математическая энциклопедия
ЧИСЛО СОВЕРШЕННОЕ — ЧИСЛО, СОВЕРШЕННОЕ, ЦЕЛОЕ число, равное сумме своих ДЕЛИТЕЛЕЙ, включая 1. Например, число 28 является совершенным числом, поскольку его делителями являются числа 1, 2, 4, 7 и 14 (не считая само число 28), а их сумма равна 28. Не известно,… … Научно-технический энциклопедический словарь
Число — С древнейших времен различным числам приписывали тайные значения. Философы, последователи Пифагора (около 500 г. до Р.Хр.), утверждали, что числа являются основным началом и сущностью вещей и подробно определили качества и роды чисел. По их… … Словарь библейских имен
СОВЕРШЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — непрерывное замкнутое отображение топологич. пространств, при к ром прообразы всех точек бикомпактны. С. о. во многом аналогичны непрерывным отображениям бикомпактов в хаусдорфовы пространства (каждое такой отображение совершенно), но сферой… … Математическая энциклопедия
Шестиугольное число — Шестиугольное число фигурное число. n ое шестиугольное число число точек в шестиугольнике, на каждой стороне которого ровно n точек. Формула для n го шестиугольного числа … Википедия
6 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 6 (значения). 6 шесть 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 Факторизация: 2×3 Римская запись: VI Двоичное: 110 Восьмеричное: 6 Шестна … Википедия
Совершенную красоту чисел впервые заметили пифагорейцы. Именно они были первооткрывателями совершенных натуральных чисел. С тех далеких времен совершенные числа представляют особый интерес для математических исследований.
Совершенное число — это число, равное сумме всех своих делителей, в том числе единица, но исключая само себя. Первое и наименьшее из совершенных чисел — 6. Совершенное число шесть равно сумме трех своих делителей 1, 2 и 3. Следующее совершенное число 28=1+2+4+7+14. Далее по мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — 496, четвёртое — 8128, пятое — 2 096 128, шестое — 33 550 336, седьмое — 8 589 869 056 (согласно последовательности A000396 в OEIS).
Интересно узнать, что Мартин Гарднер в своей книге «Математические новеллы» впервые усмотрел в совершенстве чисел 6 и 28 особый смысл. Вспомните, ведь Бог сотворил мир за 6 дней. А Луна обновляется каждые 28 суток.
Первое крупное достижение в области теории совершенных чисел была теорема Евклида о том, что число 2n-1(2n-1) — четное и совершенное, в том случае, если число 2n-1 простое.
Спустя много веков, Леонардо Эйлер доказал справедливость теории Евклида. Таким образом, в формуле Евклида содержатся все четные совершенные числа. За все время изучения совершенных чисел не было найдено ни одного нечетного совершенного числа. В связи с этим ученые говорят лишь о существовании четных совершенных чисел. Однако это не исключает возможности их существования. Неизвестна также достоверность предположения о бесконечности множества всех совершенных чисел.
С помощью формулы Евклида можно доказать огромное количество свойств совершенных чисел. К примеру: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+. Не менее интересным свойством совершенных чисел является то, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2:
1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.
Интересно представление совершенных чисел в двоичной форме и многое другое. Следует отметить, что все чётные совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.
т.е. делителей «избыток». Поэтому 10 – «недостаточное», а 12 – «избыточное» число.
Встречается и «пограничный» случай, когда сумма собственных делителей равна самому числу. Например, для 6
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Распространённый в средневековой Европе и на Ближнем Востоке пальцевый счёт. Из книги «Сумма арифметики» итальянского математика Луки Пачоли, 1494 год.
Тем самым этот палец как бы сам стал причастен к совершенству и потому получил привилегию нести на себе кольцо. Таково одно из объяснений того отмечаемого специалистами по истории культуры факта, что почти у всех цивилизованных народов существует обычай носить кольцо именно на безымянном пальце.
Первое доказанное утверждение о совершенных числах принадлежит Евклиду (III век до н.э.). В его «Началах», выдержавших после Библии, пожалуй, наибольшее число изданий, мы находим в книге IX теорему 36, устанавливающую способ получения совершенных чисел. На современном языке она звучит так:
Теорема Евклида. В тех случаях, когда число
Для доказательства этого утверждения Евклид использует формулу суммы членов геометрической прогрессии. Ниже мы рассмотрим доказательство этой теоремы, но прежде познакомимся с историей поиска совершенных чисел.
В начале было 6
Никомах Герасский (I–II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик, писал:
Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного.
Сколько же их? Никомах этого не знал. Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. На шестом месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый знаменитый и самый почетный гость. Особыми мистическими свойствами обладало число 6 в учении пифагорейцев, к которым принадлежал и Никомах. Много внимания уделяет этому числу великий Платон (V–IV век до н.э.) в своих «Диалогах». Недаром и в библейских преданиях утверждается, что мир создан был в шесть дней, ведь более совершенного числа среди совершенных чисел, чем 6, нет, поскольку оно первое среди них.
Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах.
Древних математиков удивляло особое свойство этих двух чисел. Каждое из них, как уже было отмечено, равно сумме всех своих собственных делителей:
6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
До Евклида были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел; конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что
всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей
где 2 p – 1 – простое число, является совершенным числом, –
эта теорема теперь носит его имя. Если в формулу Евклида
подставить p = 2, то получим
2 2–1 · (2 2 – 1) = 2 1 · (2 2 – 1) = 2 · 3 = 6
– первое совершенное число, а если p = 3, то
2 3–1 · (2 3 – 1) = 2 2 · (2 3 – 1) = 4 · 7 = 28
Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа:
Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, не зная, есть ли таковые еще и возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида. Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной, их непостижимость привели к признанию божественности этих удивительных чисел.
Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436–1476) лишь в XV веке. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно
ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида.
Еще через двести лет Марен Мерсенн (1588–1648) французский богослов, математик и теоретик музыки, один из основателей Парижской академии наук, друг Декарта и Ферма, без всяких доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовскую форму со значениями p равными 17, 19, 31, 67, 127, 257.
Современникам Мерсенна было совершенно очевидно, что сам Мерсенн никак не мог проверить непосредственным вычислением свое утверждение, ведь для этого он должен был предварительно доказать, что числа 2 p – 1 с указанными значениями p действительно являются простыми. Вычислить любое из них совсем нетрудно, но выяснить, простые все эти числа или нет, – это выходило далеко за пределы человеческих сил. Так и оставалось неизвестным, прав был Мерсенн или нет.
Позднее было обнаружено, что итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548–1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже для спасения своей души, занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел, найденные за сотню лет до Мерсенна:
8 589 869 056 – шестое число,
137 438 691 328 – седьмое число.
Оказалось, что оба этих числа совпадают с теми, на которые указывал Мерсенн:
Но оставалось еще не доказанным, действительно ли эти числа являются совершенными; для этого необходимо, чтобы множители
Швейцарский математик, петербургский академик, основатель современной математики, непревзойденный вычислитель, великий Леонард Эйлер (1707–1783) сумел найти новую теорему о таинственных числах. Он доказал, что
все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом:
Ниже нас ожидает доказательство не только теоремы Евклида, но и этого утверждения Эйлера.
Эйлер выяснил, что первые три числа из указанных Мерсенном:
2 17 – 1, 2 19 – 1 и 2 31 – 1
– действительно являются простыми.
Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Катальди, оказались верными. И навсегда осталась в истории загадочная тайна, как он сумел найти их. До сих пор предложено только одно объяснение этой загадке – оно было дано еще его современниками: помощь божественного провидения, подсказавшего своему избраннику верные значения двух совершенных чисел. Таким образом, восьмое совершенное число, которому соответствует р = 31 в формуле Евклида равно
2 305 843 008 139 952 128.
Снова в течении целого столетия это число оставалось наибольшим из совершенных чисел. Но в 1878 году француз Эдуард Люка (1842–1891) дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна 2 р – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что далеко не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном.
Иван Михеевич Первушин
Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нем оказалось тридцать семь значащих цифр. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин (1821–1900). Он сумел вычислить для того времени самое большое простое число вида 2 p – 1 при p = 61:
2 305 843 009 213 693 951,
и соответствующее ему совершенное число
Первушин, вычислив девятое совершенное число, поистине совершил настоящий подвиг. Мерсенн в свое время говорил, что вечности не хватит для проверки простоты числа, имеющего 15–20 десятичных знаков. Первушин считал без всяких вычислительных приборов, и в его числе оказалось тридцать семь цифр!
В начале двадцатого столетия появились первые механические счетные машины, что ускорило поиски новых совершенных чисел. Десятое было найдено в 1911 году, в нем оказалось 54 цифры:
Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году:
Двенадцатое нашли тогда же, в 1914 году, оно состоит уже из 77 цифр:
В дальнейшем успешные поиски затормозились вплоть до середины XX века, когда с появлением ЭВМ стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.
В 1932 году американский математик Деррик Генри Лемер (1905–1991) решил найти тринадцатое совершенное число, а именно последнее из чисел вида 2 р – 1, где р – простое число, которое Мерсенн считал простыми, а именно число:
Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счетными приборами, но в результате он убедился, что это число составное, и двенадцатое совершенное число оставалось наибольшим до 1952 года.
Деррик Генри Лемер
Рафаэль Митчел Робинсон
2 520 · (2 521 – 1) при p = 521.
Тринадцатое совершенное число оказалось состоящим из 314 цифр.
Четырнадцатое совершенное число машина нашла в тот же день к полуночи. Перебрав и проверив еще тринадцать евклидовских чисел, она нашла простое число
которое в десятичной системе имеет всего сто восемьдесят три цифры, и соответствующее совершенное число
2 606 · (2 607 – 1) ) при р = 607.
Четырнадцатое совершенное число имеет 366 значащих цифр.
Пятнадцатое совершенное число машина нашла только в июне 1952 года. Она была занята в других проектах и могла использоваться для поиска совершенных чисел только эпизодически. Продолжая поиски новых простых чисел, она доказала простоту числа
и нашла совершенное число из семисот семидесяти цифр:
2 1278 · (2 1279 – 1) при р = 1279.
Шестнадцатое и семнадцатое совершенные числа были открыты в октябре 1952 года. Машина к этому времени нашла еще два евклидовских простых числа:
2 2203 – 1 и 2 2281 – 1
и вычислила два соответствующих совершенных числа:
2 2202 · (2 2203 – 1) при р = 2203,
состоящее всего из тысячи трехсот двадцати семи цифр, и
2 2280 · (2 2281 – 1) при р = 2281,
в котором 1373 цифры.
Восемнадцатое совершенное число было найдено в сентябре 1957 года шведским математиком Хансом Иваром Ризелем (1929–2014). При помощи электронно-счетной машины он за пять с половиной часов установил простоту числа
и получил восемнадцатое совершенное число:
2 3216 · (2 13217 – 1) при р = 3217.
В нем около 2000 цифр.
Поиски последующих совершенных чисел требовали все большего и большего объема вычислений. Но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено два новых совершенных числа, а в 1965 году – еще три. Этим числам соответствуют в формуле Евклида значения простого числа р, равные соответственно
4 253, 4 423, 9 689, 9 941 и 11 213.
2 11 212 · (2 11 213 – 1)
Конечно, только благодаря такому помощнику, как вычислительная машина, человек сумел установить, что такое огромное число является совершенным.
На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел. История поисков совершенных чисел наглядно показывает, как сильно увеличивает машина возможности человека. Однако, по словам немецкого математика Эдмунда Ландау (1877–1938), одного из крупнейших специалистов в области теории чисел:
. Две проблемы остаются нерешенными до сих пор:
– Имеется ли бесконечное множество четных совершенных чисел? – Не знаю.
– Имеется ли бесконечное множество нечетных совершенных чисел? – Я даже не знаю, существует ли одно такое число.
Доказательство теоремы Евклида
В конце IX книги своих «Начал» – последней из трех, посвященных арифметике, – Евклид, доказав неограниченность ряда простых чисел способом, рассматриваемым на нашем сайте в статье «Бесконечность ряда простых чисел», переходит затем к так называемым совершенным числам.
Первые два числа найти не сложно, воспользовавшись простым перебором чисел. Это числа:
6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Следующее совершенное число, которым, как мы уже знаем, является 496, встречается уже не так скоро. Да и с ростом чисел поиск всех их делителей становится все более трудоемким. Поставим перед собой задачу найти все дальнейшие совершенные числа не путем проб, а систематически.
ни одно простое число не может быть совершенным.
Ведь простое число р делится лишь на 1 и на р, а так как, согласно определению совершенного числа, само число не включается в число его делителей, то сумма всех собственных делителей оказывается здесь всегда равной 1 и потому ни в коем случае не может быть равна р.
Исходя из этого чрезвычайно простого факта, будем осторожно продвигаться дальше. Число 9 не простое, но представляет собой квадрат простого числа; оно делится на 1 и на 3 и, кроме этих чисел, никаких других собственных делителей не имеет (в этом легко убедиться, испытав все числа от 1 до 8). А поскольку сумма этих делителей
много меньше 9, данное число также не является совершенным.
никакая другая более высокая степень простого числа также не может быть числом совершенным.
Действительно, все делители ра также являются степенями р, только более низкими, чем ра :
их сумма, согласно правилу сложения членов геометрической прогрессии, которое, кстати сказать, Евклид и выводит как раз по этому поводу, равна
1 + р 1 + р 2 + … + р а–1 = р а – 1 /p–1 (1а)
число вида р а не может быть совершенным.
После этих предварительных замечаний уже нетрудно исследовать вопрос,
может ли быть совершенным число, разлагающееся на произведение степеней двух простых чисел,
q, рq, р 2 q, р 3 q; (2)
Т = (1 + q + q 2 ) · ( 1 + р + р 2 + р 3 ).
Т = (1 + q + … + q b ) · ( 1 + р + р 2 + … + р a ) = ( q b+1 – 1 /q–1) · ( р а+1 – 1 /p–1). (2a)
При этом мы должны обратить внимание на тот факт, что в отличие от предыдущих случаев само N = р a q b входит здесь в число делителей, а значит и в сумму Т.
раз, а для каждого следующего простого множителя будет возникать необходимость в новом соответствующем умножении (число N снова засчитывается в совокупность своих делителей):
Т = ( 1 + р + р 2 + … + р a ) · (1 + q + … + q b ) · ( 1 + r + r 2 + … + r c ) · … =
Все это в основном имеется у Евклида, однако он рассматривает только число вида
т.е. случай двух простых множителей, из которых один q = 2, а другой входит лишь в степени а = 1. Для этого частного случая из нашей общей формулы (2а) получаем:
Число N будет совершенным, если сумма всех его делителей Т, в которую входит и само N, будет равна N + N, т.е. 2 · N:
Т = (2 b +1 – 1) · (р + 1) = 2 · N,
или, если вставить значение N = р · 2 b :
(2 b +1 – 1) · (р + 1) = 2 · р · 2 b = 2 b +1 · р.
Отсюда мы тотчас же получаем, что
2 b +1 · (р + 1) – (р + 1) = 2 b +1 · р
Если, следовательно, число р есть не произвольное простое число, а имеет вид 2 b +1 – 1, то N – совершенное число. При тех или иных определенных значениях b число 2 b +1 – 1 не всегда будет простым. Таким образом, после формальной замены в обозначениях n = b+1, вместе с Евклидом мы получили следующий результат:
ЧислоN = (2 n – 1) · 2 n –1является совершенным числом всякий раз, когда2 n – 1– число простое.
А это ни что иное, как теорема Евклида о совершенных числах. И мы ее доказали.
Сегодня в это трудно поверить, но открытие Региомонтаном в XV веке пятого совершенного числа – 33 550 336 отделяло от открытия греками четвёртого – 8 128, временное расстояние длиною более тысячи лет. Да и в последующие пять веков совершенные числа собирались буквально «по крупицам». Нахождение каждого из них было событием в мире математики. В чем же дело?
Все просто, полученный Евклидом результат порождает новую проблему:
для каких чисел n число 2 n – 1 простое?
Один шаг к решению этой проблемы можно сделать тотчас же:
n должно быть во всяком случае простым числом.
Действительно, если бы n было составным числом, например, если бы n = uv, то мы имели бы
2 n – 1 = 2 uv – 1 = (2 u ) v – 1,
и, подставляя х = 2 u в следующее алгебраическое тождество:
x v – 1 = (x v –1 + x v –2 + … + x + 1) · (x – 1),
мы получили бы, что
(2 u ) v – 1 = ((2 u ) v–1 + (2 u ) v–2 + … + 2 u + 1) · (2 u – 1),
т.е. наше число разлагалось бы на два множителя и, таким образом, не было бы простым числом. Оно может быть простым, следовательно, только в том случае, если n – число простое.
При продолжении нашей таблицы, следующими пятью за 13 простыми значениями n являются 17, 19, 23, 29 и 31. Как показал Леонард Эйлер, числа
2 17 – 1, 2 19 – 1 и 2 31 – 1
– являются простыми и им соответствуют шестое, седьмое и восьмое совершенные числа. А вот
2 23 – 1 = 8 388 607 = 47 · 178 481
2 29 – 1 = 536 870 911 = 233 · 1 103 · 2 089
Сегодня, с помощью компьютерной техники математики находят все новые совершенные числа. По своей величине они колоссальны. Но все же, в некотором смысле, мы все там же где Никомах и Евклид, ведь
какие из последующих чисел являются совершенными, имеет ли их последовательность конец или допускает неограниченное продолжение
– все это проблемы, к решению которых так и не смогла подойти и современная математика.
Доказательство утверждения Эйлера
О том, что древние имели об этом предмете более обширные сведения, свидетельствуют разнообразнейшие источники. Прежде всего, античный философ Ямвлих (III–IV в.) в трактате «Изложение пифагорейского учения» без всяких дальнейших пояснений сообщает о том, что,
кроме указанных Евклидом, никаких других четных совершенных чисел быть не может.
где u – нечетное число. Образуем для этого N по формуле (3) сумму его делителей Т; первый множитель в этой формуле будет иметь вид:
Второй множитель будет равен сумме U делителей числа u, т.е.
Чтобы N было совершенным числом, это выражение, в котором N само участвует в качестве делителя, должно дать в сумме 2 · N:
Раскрывая скобки, получаем:
U есть сумма всех делителей числа u, включая само u. Следовательно, U – u есть сумма всех делителей u, не считая самого u. Формула (6) говорит, что если N есть число совершенное, то u делится на U – u.
Но если U – u само является делителем u и в то же время суммой всех делителей u, оно должно быть единственным делителем u. Среди же делителей u должна быть во всяком случае 1. Значит, U – u должно быть равно 1, а u – быть простым числом. Тогда формула (6) принимает более простой вид:
Обозначим n = m+1, тогда
из всех четных чисел совершенными являются только те, которые указаны Евклидом.
Здесь мы сталкиваемся со второй проблемой, связанной с нашей темой и еще не преодоленной современной наукой:
существуют ли нечетные совершенные числа?
До сих пор не было найдено ни одного такого числа, и представляется весьма невероятным, чтобы таковые существовали; однако никто еще не смог доказать, что это действительно так.
Некоторые свойства совершенных чисел
Формула Евклида позволяет доказывать ряд свойств совершенных чисел:
Источники: И. Депман. Совершенные числа (журнал «Квант», № 5, 1991), Г. Радемахер, О. Тепліц. Числа і фігури (Тернопіль, «Навчальна книга – Богдан», 2010), В. Боро, Д. Цагир, Ю. Рольфс, Х. Крафт, Е.К. Янцен. Живые числа. Пять экскурсий (Москва, «Мир», 1985), и Википедия.
Распространённый в средневековой Европе и на Ближнем Востоке пальцевый счёт.
