Что значит соответствует точка

Числовая окружность

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:

Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа \(π\) : \( \frac<π><2>\),\(-\frac<π><2>\),\(\frac<3π><2>\), \(2π\). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с \(π\). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Что надо запомнить про числовую окружность:

Источник

Урок «Числовая окружность»

Краткое описание документа:

Видеоуроки относятся к наиболее эффективным средствам обучения, особенно таких школьных дисциплин, как математика. Поэтому автор данного материала собрал в единое целое только полезную, важную и грамотную информацию.

Данный урок рассчитан на 11:52 минут. Практически столько же времени требуется учителю на уроке для объяснения нового материала по данной теме. Хотя главным достоинством видеоурока будет тот факт, что обучающиеся будут внимательно слушать то, о чем говорит автор, не отвлекаясь на посторонние темы и разговоры. Ведь если обучающиеся будут слушать не внимательно, то упустят важный момент урока. А если материал будет объяснять учитель сам, то его обучающиеся смогут легко отвлечь от главного своими разговорами на отвлеченные темы. И, конечно, становится понятно, какой способ будет боле рационален.

Начало урока автор посвящает повторению тех функций, с которыми обучающиеся знакомились ранее в курсе алгебры. И первыми предлагается начать изучать – тригонометрические функции. Чтобы их рассматривать и изучать требуется новая математическая модель. И этой моделью становится числовая окружность, которая, как раз, и заявлена в теме урока. Для этого вводится понятие единичной окружности, задается ее определение. Далее на рисунке автор показывает все компоненты такой окружности, и что пригодится обучающимся для дальнейшего обучения. Дугами обозначаются четверти.

Затем автор предлагает рассмотреть числовую окружность. Здесь же он делает замечание, что удобнее использовать единичную окружность. На этой окружности показано, как получается точка M, если t>0, t 0(тэ больше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины t. Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

Источник

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие \(\frac<\pi><6>,\ \frac<13\pi><6>,\ \frac<25\pi><6>\), и \(-\frac<11\pi><6>\). Все четыре точки совпадают, т.к. \begin M\left(\frac<\pi><6>\right)=M\left(\frac<\pi><6>+2\pi k\right)\\ \frac<\pi><6>-2\pi=-\frac<11\pi><6>\\ \frac<\pi><6>+2\pi=\frac<13\pi><6>\\ \frac<\pi><6>+4\pi=\frac<25\pi> <6>\end

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: \begin BE=30^<\circ>=\frac<\pi><6>.\\ EC=60^<\circ>=\frac<\pi><3>.\\ AE=EC+CD=90^<\circ>+30^<\circ>=120^<\circ>=\frac<2\pi><3>.\\ ED=EC+CD=60^<\circ>+90^<\circ>=150^<\circ>=\frac<5\pi><6>. \end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac<\pi><2>;\ \frac<3\pi><4>;\ \frac<7\pi><6>;\ \frac<7\pi><4>\).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. \begin -\frac<\pi><2>=-90^<\circ>,\ \ \frac<3\pi><4>=135^<\circ>\\ \frac<7\pi><6>=210^<\circ>,\ \ \frac<7\pi><4>=315^ <\circ>\end

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac<11\pi><2>;\ 5\pi;\ \frac<17\pi><6>;\ \frac<27\pi><4>\).

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: \begin 0,\ \ \frac\pi2\approx\frac<3,14><2>=1,57,\ \ \pi\approx 3,14\\ 3\pi\ \ 3\cdot 3,14\\ \frac<3\pi><2>\approx \frac<3\cdot 3,14><2>=4,71,\ \ 2\pi\approx 6,28 \end

\(\frac\pi2\lt 2\lt \pi \Rightarrow \) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
\(\pi\lt 4\lt \frac<3\pi> <2>\Rightarrow \) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
\(\frac<3\pi><2>\lt 5\lt 2\pi \Rightarrow \) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
\(7\gt 2\pi\), отнимаем полный оборот: \(0\lt 7-2\pi\lt \frac\pi2\Rightarrow\) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек \((k\in\mathbb)\), запишите количество полученных базовых точек.

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

Источник

Методы определения принадлежности точки многоугольнику

Недавно на хабре была статья, в которой описывалось как можно определить, где находится точка по отношению к многоугольнику: внутри или снаружи. Подобная проблема встречается в геометрическом моделировании и в компьютерной графике достаточно часто. А так как метод, описанный в статье, был несколько не оптимален, а в комментариях был небольшой хаос, возникла мысль написать эту статью. Итак, какие алгоритмы существуют в современной компьютерной графике, чтобы определить, принадлежит ли заданная точка многоугольнику или нет.

Прежде, чем начать, хочу сразу описать проблему. Хотя сама проблема проста: у нас задан набор точек и задан порядок, в котором эти точки соединяются. И задана точка, которую мы тестируем на принадлежность. Подразумевается, что у нас многоугольник замкнутый, и в общем случае ребра многоугольника не пересекаются друг с другом, то есть он избавлен от самопересечений. Ограничений на количество вершин нет, то есть легко может быть задан многоугольник с миллионом вершин. Мы надеемся, что пользователь не задаст нам непонятно что, но и гарантировать это тоже не можем. И еще один нюанс: так как мы работаем с компьютерной графикой, что означает, что мы используем арифметику с плавающей точкой, которая хотя и позволяет оперировать с числами достаточно точно, все равно не избавлена от ошибок.

Ну вроде определились с проблемой, давайте теперь посмотрим, какие методы решения существуют.

Метод 1. Трассировка лучей

Начну я с того, который считается наиболее популярным в мире графики и игр: трассировка лучей. Вкратце, алгоритм можно описать следующим образом:

Метод простой, но, к сожалению, в общем случае его лучше не применять. Причиной этого является случай, когда мы пересекаем лучом вершину многоугольника или ребро, которое частично совпадает с лучом. Иллюстрирую это на примере.

Допустим, у нас есть многоугольник, и есть точка. В самом начале мы договорились, что направление будет вдоль оси х. Выпускаем из точки луч в положительном направлении оси x и луч благополучно пересек многоугольник в вершине. Тут возникает вопрос, как именно мы проверяем такую ситуацию? Не забываем, что мы работаем с числами с плавающей точкой, и небольшие погрешности возможны. Перейдем в мир аналитической геометрии, чтобы можно было оперировать не просто геометрическими понятиями, а числами.

Посмотрим в другом направлении. Отправили луч в отрицательном направлении. Там тоже не очень хорошо – луч пересекает вершину внутри многоугольника. Тоже может оказаться что угодно. Вместо горизонтального направления взять вертикальное? Никто не гарантирует, что вы опять не пересечете вершину. В конкретно выбранном мной примере наверху точка подобрана таким образом, что пересечение ее с лучом, параллельным оси y и идущий сверху вниз тоже пересекает многоугольник в вершине.

Причем если вы думаете, что пересечение с вершиной – это плохо, смотрите что еще может произойти:

Здесь мы пересекаем луч с отрезком, который с этим лучом совпадает. Как быть в таком случае? А если не совпадает, а почти совпадает? А представьте себе, что в многоугольнике множество почти вырожденных ребер, как с таким пересекать?

Самое печальное во всей этой ситуации то, что нам вот кажется: «мне надо что-то очень простое для моих простых целей, меня такая ситуация не коснется». По закону Мерфи, к сожалению, именно такая ситуация возникает всякий раз когда ее совсем не ждешь. И поэтому я плавно перехожу ко второму методу.

Метод 2. Ближняя точка и ее нормаль

Вообще у этого метода есть страшное название angle weighted pseudo normals и связан он в понятием так называемых полей расстояний со знаком (signed distance fields). Но пугать лишний раз я никого не хочу, так что пусть будет просто ближняя точка и ее нормаль (то есть перпендикулярный вектор).

Алгоритм в данном случае такой:

Рассмотрим пример. Точка A1, ближайшая точка для нее находится на ребре. Если все делаем правильно, нормаль к ребру параллельна вектору от тестируемой точки до ближайшей. В случае точки A1, угол между векторами = 0. Или почти нуль, так как из-за операций с плавающей точкой все возможно. Меньше 90 градусов, тестируемая точка A1 – внутри. Протестируем точку A2. У нее ближайшая точка – вершина, нормаль к которой – усредненная нормаль ребер прилегающих к этой вершине. Считаем скалярное произведение двух векторов, должно быть отрицательным. Мы – снаружи.

Так, вроде бы с сутью метода разобрались. Что там с производительностью и проблемами, связанной с плавающей точкой?

Как и в случае трассировки точек, производительность – O(log n), если использовать деревья для хранения информации о ребрах. С вычислительной точки зрения метод, хотя и имеет подобную сложность, будет несколько помедленнее, чем трассировка. Прежде всего оттого, что расстояние между точкой и ребром чуть более дорогостоящая операция, чем пересечение двух линий. Неприятности, связанные с плавающей точкой, возникают в этом методе, как правило недалеко от ребер многоугольника. Причем чем мы ближе к ребру, тем больше вероятность неправильного определения знака. К счастью, чем мы ближе к ребру, тем меньше расстояние. То есть если мы, например, говорим, что если полученное расстояние меньше заранее заданного минимального (это может быть константа вроде DBL_EPSILON или FLT_EPSILON), то точка принадлежит ребру. А если она принадлежит ребру, то мы уже сами решаем, часть ли многоугольника его ребро или нет (как правило – часть).

Описывая предыдущий метод, достаточно много было сказано о недостатках. Пришло время назвать несколько недостатков и этого способа. Прежде всего, этот метод требует, чтобы все нормали к ребрам были направлены в правильную сторону. То есть до того, как определять, снаружи мы или внутри, надо провести некую работу по вычислению этих нормалей и правильное их ориентирование. Очень часто, особенно когда на входе большая свалка из вершин и ребер, этот процесс не всегда прост. Если надо определить только для одной точки, процесс ориентации нормалей может занять большую часть времени, которую можно было бы потратить на что-то еще. Также, этот метод очень не любит, когда на вход подается многоугольник с самопересечениями. В начале я сказал, что в нашей задаче такой случай не рассматривается, но если бы он рассматривался, то этот метод мог выдать совершенно неочевидные результаты.

Но в целом метод неплох, особенно если у нас на входе многоугольник с большим количеством вершин и ребер, а точек на принадлежность надо протестировать много. Если же точек мало, трассировка лучей нестабильна, а хочется чего-то более-менее надежного, то есть и третий способ.

Метод 3. Индекс точки относительно многоугольника

Этот метод известен довольно давно, но в основном остается теоретическим, по большей части потому, что он не так эффективен, как предыдущие два. Вот его суть «на пальцах». Возьмем единичную окружность с центром в тестируемой точке. Потом каждую вершину многоугольника спроецируем на эту окружность лучами, которые проходят через вершину и тестируемую точку. Как-то примерно так:

На рисунке точки P1, P2 и так далее – вершины многоугольника, а точки P1’, P2’ и так далее – их проекции на окружность. Теперь когда мы рассматриваем ребро многоугольника, по проекциям можно определить, происходит ли вращение против часовой стрелки или по часовой стрелке при переходе от одной вершины к другой. Вращение против часовой стрелки будем считать положительным поворотом, а вращение по часовой стрелке – отрицательным. Угол, который соответствует каждому ребру – это угол между сегментами окружности через проекции вершин этого ребра. Так как поворот у нас может быть положительный или отрицательный, то и угол может быть положительный или отрицательный.

Алгоритм в этом случае следующий:

Рассмотрим пример. Есть многоугольник, порядок которого установлен против часовой стрелки. Есть точка А, которую мы тестируем. Для тестирования сначала вычисляем угол между векторами AP1 и AP2. Векторное произведение этих же векторов смотрит на нас, значит прибавляем к сумме. Переходим дальше и считаем угол между AP2 и AP3. Векторное произведение смотрит на нас, полученный угол вычитаем. И так далее.

Для конкретно этого рисунка я все посчитал и вот что получилось:

(AP1, AP2)=74.13, (AP2, AP3)=51.58, (AP3, AP4)=89.99, (AP4, AP5)=126.47, (AP5, AP1)=120.99.
sum=74.13-51.58+89.99+126.47+120.99=360. 360/360=1 Точка – внутри.

(BP1, BP2)=44.78, (BP2, BP3)=89.11, (BP3, BP4)=130.93, (BP4, BP5)=52.97, (BP5, BP1)=33.63.
sum=-44.78+89.11-130.93+52.97+33.63=0. Точка – снаружи.

И традиционно опишем плюсы и минусы данного подхода. Начнем с минусов. Метод прост математически, но не так-то эффективен с точки зрения производительности. Во-первых, его алгоритмическая сложность O(n) и, как ни крути, а все ребра многоугольника придется перебрать. Во-вторых, для вычисления угла придётся воспользоваться операцией арккосинуса и двумя операциями взятия корня (формула скалярного произведения и связь его с углом тем в помощь, кто не понимает, почему). Эти операции очень недешевы с точки зрения скорости, и, к тому же, погрешности связанные с ними могут быть существенны. И в третьих, алгоритм напрямую не определяет точку, лежащую на ребре. Либо – снаружи, либо – внутри. Третьего не дано. Впрочем, последний недостаток легко определяется: если хотя бы один из углов равен (или почти равен) 180 градусам, это автоматически означает ребро.

Недостатки метода в чем-то компенсируются его достоинствами. Во-первых, это самый стабильный метод. Если многоугольник на вход подан корректный, то результат получается корректный для всех точек, за исключением разве что точек на ребрах, но о них смотри выше. Более того, метод позволяет частично бороться с некорректными входными данными. Многоугольник самопересекается? Не беда, метод скорее всего определит большинство точек правильно. Многоугольник не замкнут или вообще не многоугольник а малоосмысленный набор сегментов? Метод определит точки верно в большом количестве случаев. В общем, всем метод хорош, но медленный и требует вычислений арккосинусов.

Чем бы хотелось закончить этот обзор? А тем, что методов для решения проблемы определения принадлежности точки многоугольнику существует не один и даже не два. Они служат для разных целей и некоторые более подходят в случаях, когда важна скорость, другие – когда важно качество. Ну и не забываем о том, что у нас непредсказуемые входные данные и мы работаем с компьютером, у которого арифметика с плавающей точкой подвержена погрешностям. Если нужна скорость и качество совершенно неважно – трассировка лучей в помощь. В большинстве реальных приложений скорее всего поможет метод ближней точки и нормали. Если же на первом месте – точность определения при непонятных входных данных, метод индекса точки должен помочь.

Если будут какие-то вопросы, задавайте. Как человек, занимающийся геометрией и подобными проблемами связанными с графикой, буду рад помочь чем смогу.

Источник

Шкалы, координаты

Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.

Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.

Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).

Рисунок 1. Измерительная линейка.

Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.

Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).

Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.

Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.

Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.
Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.

Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.

Рисунок 2 Цена деления шкалы

Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?

Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:

Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.

Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки

Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.

Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.

Рис. 3. Луч с началом в точке O

Рис. 4. Луч с равными отрезками

Поставим возле начала луча (точки O ) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P ) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).

Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.

Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами

Покажу еще раз на примере точки S :

так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),

подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:

Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.

Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отбросим. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.

Рис. 6. Координатный луч

Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.

Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.

Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.

Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.
Координатный луч еще называют числовой луч.

Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.

Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.

Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка

Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).

Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.

Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.

Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.

Рис. 8. Координаты точек

Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A ( 5 ), B ( 8 ), C ( 13 ).

В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.

Рис. 9. Большие числа на координатном луче.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.2 / 5. Количество оценок: 9

Источник