Что значит соответственно в геометрии

Базисные понятия

Угол — простая фигура в геометрии, образуемая двумя лучами, следующими из некоторой точки. Эту точку определяют как его вершину. Название «угол» может относиться к части плоскости, объединяющей все лучи, исходящие из вершины фигуры. Такое обозначение может также иметь угловая мера, чаще всего определяемая в градусах.

В геометрии существует несколько критериев, позволяющих выделить разные типы угловых фигур. Они бывают тупыми и острыми, смежными или вертикальными. Для углов, образуемых в результате пересечения секущей линией двух прямых, в качестве такого критерия берется свойство взаимных соотношений формируемых при этом фигур. При рассмотрении произвольного геометрического рисунка, образованного двумя прямыми линиями и секущей, можно увидеть 4 пары соответственных, по 2 пары внутренних и внешних накрест лежащих или односторонних угловых фигур. Все эти элементы могут быть как тупоугольными, так и остроугольными.

Углы, образующиеся при пересечении прямых

Чтобы понять, как выглядят соответственные углы, а также уметь находить их на любых геометрических рисунках, нужно хорошо усвоить разницу между типами фигур, образованных секущей линией. Кроме того, следует обратить внимание на наличие внутренней и внешней областей. Первая зона ограничивается площадью между двумя прямыми, второй внешней областью считается неограниченное пространство снаружи от этих двух линий.

Итак, образованным тремя прямыми линиями угловым фигурам можно дать следующие определения:

Более наглядное представление об этом типе углов можно получить, если секущую изобразить в виде направленного вектора. Парные угловые элементы расположены в одном направлении относительно прямых, пересеченных третьей линией.

Чтобы окончательно разобраться в вопросе, нужно усвоить понятие соответствия с математической точки зрения. В геометрии это свойство двух фигур, у которых углы, стороны или точки одного объекта аналогичны соответствующим элементам другого объекта. Аналогия проявляется не в их равенстве, а во взаимном соотношении элементов. О соответствии углов говорит аналогичное пространственное положение лучей в местах пересечения прямых с третьей секущей линией. Таким образом, речь идет об элементах, имеющих одинаковое относительное положение.

Соответственные углы при параллельных прямых

Свойства фигур, формирующихся при пересечении секущей параллельных прямых, давно описаны в планиметрии. Известно, что соответственные накрест лежащие угловые элементы при параллельных прямых равны. Сложение угловых величин односторонних фигур дает значение 180 градусов. В геометрии применяется формула для расчета суммы соответственных парных угловых фигур при условии параллельности двух линий. Для определения этого параметра из числа 360 надо вычесть удвоенную угловую величину одностороннего угла, прилежащего к любому из пары рассчитываемых соответственных угловых элементов.

Равные соответственные углы указывают на параллельность прямых. Справедливость этого признака вытекает из следующих утверждений:

Доказательство можно развернуть и в обратном направлении. Параллельные линии при пересечении третьей прямой формируют одинаковые по величине соответственные углы. Это утверждение известно как свойство параллельных линий.

Такого рода свойства встречаются в описаниях признаков и теорем. Их равенство — часть доказательств равенства и подобия треугольников. В свою очередь, используя признаки подобных и равных треугольников, можно обосновывать доказательства сложных теорем, находить решения сложных задач, править возможные ошибки.

Доказательство подобия треугольников

Существует три признака, по которым могут быть определены подобные треугольники. Во-первых, подобие подтверждается пропорциональностью всех трех сторон треугольников. Во-вторых, подобными считаются треугольники, имеющие две пропорциональные стороны, угловая величина между которыми равна соответствующему элементу второго треугольника. В-третьих, подобие подтверждается, когда имеет место равенство двух углов обоих треугольников.

Рассмотрим доказательство этого признака, в ходе которого применяется свойство тождественности соответственных угловых объектов:

Подобного рода рассуждения и доказательства, учитывающие свойства соответственных угловых фигур, учитываются при решении разного рода задач.

В сложных планиметрических фигурах в качестве секущей, формирующей этот тип геометрических объектов, может выступать медиана, биссектриса треугольника или какие-либо другие линии. Для решения таких задач требуется хорошее знание базовых понятий, признаков, свойств, аксиом, позволяющее заметить определенные соотношения и закономерности в том или ином задании.

Источник

Смысл слова «соответствующий» в доказательстве теорем?

Для просмотра формул ваш браузер должен поддерживать MathML.

Объявления		Последний пост
	Работодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий	26.03.2008 03:07
	Запущен новый раздел «Задачки и головоломки»	29.08.2019 00:42
	Преподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award	28.07.2020 01:04

Мне непонятен смысл этого слова.
Два треугольника называются равными если у них соответствующие стороны.
Слово «соответствующие» лишнее.
Без него доказательства в геометрии (и в базовой и в высшей) нисколько не страдают. Зачем тогда это слово кочует из одного учебника в другой?
Преподы заставляют зубрить, отказываясь объяснять такие «мелочи».
Плиз объясните, кто не сочтет за мелочь.
А лучше, конечно, докажите, если это слово и впрямь необходимо.

Думаю так. Употребляя эпитет «соответствующие», в данной ситуации подразумевают существование соответствия (взаимно однозначного, конечно) между какими-то объектами.

Попробую объяснить на примере третьего признака равенства треугольников. Предпосылку теоремы формулируют примерно так: три стороны первого треугольника равны соответствующим сторонам второго треугольника.

Понимать следует так: существует такое взаимно однозначное соответствие между сторонами первого треугольника и сторонами второго треугольника, при котором соответствующие стороны равны. Другими словами, стороны первого треугольника можно так взаимно однозначно сопоставить сторонам второго треугольника, что сопоставляемые стороны будут равны.

Контрпример: AB=30, BC=30, AC=20, а A’B’=30, B’C’=20, A’C’=20. В каком-то смысле стороны первого равны сторонам второго, но нет взаимно однозначного соответствия, и третий признак применить нельзя.

egor
Пасибки!
Действительно. Теперь смысл и необходимость употребления слов «соответствующий», «соответственно» появился.
Контрпример класный!
Не знаю только, можно ли теперь контрпример обобщить?
Тоесть, распространить его, если не на все случаи употребления, то, хотябы на первые две теоремы.
Я при помощи вашего примера проанализировал два первых признака равенства треугольников. Но такая же логика не получается.
Например, по первому признаку:

В треуголнике ABC: [AB]=30, [AC=20], угол A равен 30 градусам.
А в другом треугольнике A`B`C`уже нельзя помыслить НЕсоответствие.

Какие бы две стороны И угол между ними мы не взяли в треугольнике A`B`C` cо значениями двух сторон И угла между ними треугольника ABC, это всегда будет автоматически взаимно однозначное соответствие.
Также и со вторым признаком.

Тоесть у меня по аналогии с вашим примером не получается придумать контрпример в случае с другими признаками.
Значит, можно сказать есть случаи, когда употребление слова «соответствующий»будет тавтологией.

Тогда можно просто сказать:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.

И во втором признаке тоже:
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника.

В третьем же признаке да, появляется неоднозначная ситуация.
Вот здесь и употребим слово «соответствующий».

Вообще, это даже, наверное не геометрическая поблема, а ответственность авторов учебников, педагогов, дидактов.
Я пока два учебника посмотрел-Погорелова и Шарыгина.
Хотя способ доказательства у Шарыгина идет через наложение треугольников, слово «соответствующий» он употребляет также, как Погорелов.
Ну что за слово! Я прямо зациклился на нем! :))))
Может в высшей математике открывается его какой-то другой смысл.
Оттого это слово и вводят в базовых школьных курсах геометрии.
Чтобы дети привыкали к его использованию.
Может в этом смысл?

Дело в том, что фразу
«стороны тр. ABC равны сторонам тр. A’B’C'»
можно понять так:
«каждая из сторон тр. ABC равна какой-то из сторон тр. A’B’C'».
Например, [AB]=[AC]=30, [A’B’]=30, [A’C’]=20.

В высшей математике, чтобы меньше возиться со словом «соответствующий», для обсуждения этих вопросов используют краткую «объектно-ориентированную» терминологию. Используют разные термины для наборов в зависимости от того, как собираются их сравнивать.

1. Кортеж (упорядоченный набор). Обозначают круглыми или угловыми скобками.
(20,40,30) =/= (40,20,30).

2. Множество. Обозначают фигурными скобками.
<20,30,40,20,30>= <40,30,20>.

3. Мультимножество (для каждого элемента учитывается кратность). Обозначу квадратными скобками.
[20,30,30] = [30,20,30], но [20,30,30] =/= [20,20,30].

Цитата:
///Дело в том, что фразу
«стороны тр. ABC равны сторонам тр. A’B’C'»
можно понять так:
«каждая из сторон тр. ABC равна какой-то из сторон тр. A’B’C'».
Например, [AB]=[AC]=30, [A’B’]=30, [A’C’]=20.///

Я согласен. Но согласен, если изначально формулируется: «стороны тр. ABC равны сторонам тр. A’B’C’»! Если формулировать именно так (как предложили вы), не больше и не меньше, тогда с этой фразы конечно же следует предложенное вами понимание (вывод):
«каждая из сторон тр. ABC равна КАКОЙ-ТО из сторон тр. A’B’C’»
И такое понимание вы как раз привели в контрпримере в первом ответе.

Но в том то и дело, что в школьном учебнике, первый признак формулируется с указанием двух сторон И угла между ними.
Мы имеем не фразу «стороны тр. ABC равны сторонам тр. A’B’C’», а условие:
«две стороны и угол между ними тр.АВС равны двум сторонам и углу между ними тр.A’B’C”

Я понимаю, что в фразе «стороны тр. ABC равны сторонам тр. A’B’C’» вы обобщили употребление слова «соответственно» в трех признаках.
Но как вы уже доказали в первом ответе, необходимость употребить слово «соответсвенно» доказывается лишь для третьего признака равенства треугольников.
А для первых двух я по-прежнему не вижу этой необходимости.

Возвращаюсь к вашему примеру: Например, [AB]=[AC]=30, [A’B’]=30, [A’C’]=20.
Согласитесь, что такое понимание не следует из предложения «если две стороны и угол между ними…». Оно конечно же следует если бы первый признак звучал вроде:
«если две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого треугольника». Сразу дезориентирует, правда? Какие стороны и углы? Возникает путаница и возможность контрпримеров. Ученик может в самом деле сравнивать две стороны одного треугольника с одной стороной другого: [AB]=[AC]=30, [A’B’]=30, а третью с другой: [BC]= [A’C’]=20.
Тоесть не будет ситуации взаимно однозначного соответствия.

Но, повторюсь, это-в случае формулировок, отличающихся от данных в учебнике.

А ведь сказано в учебнике ( что я пытаюсь доказать) исчерпывающе так, что, обойдясь в первых двух признаках без всякого слова «соответственно», не возникнет двусмысленностей. Не возникнет не просто потому, что ученик не продумает теорему, а как раз наоборот, продумав, не сможет придумать контрпримера, как сделали вы, и с чем я согласился в случае третьего признака равенства треугольников.
Раз невозможен контрпример (в случае двух первых признаков), значит и невозможна на практике ситуация несоответственного отнесения школьником сторон и углов при решении задач.

Цитата:
///Конечно, можно заранее запретить такое понимание…///
Нет. Я как раз за тщательное продумывание контрпримеров.
Но, продумывая первые два признака, примера с несоответствующим соотнесением сторон или углов двух треугольников не получается.

Ошибка возможно лишь в третьем признаке (ваш контрпример: ///AB=30, BC=30, AC=20, а A’B’=30, B’C’=20, A’C’=20. В каком-то смысле стороны первого равны сторонам второго, но нет взаимно однозначного соответствия, и третий признак применить нельзя.///)

Цитата:
///Но для полного разъяснения всё равно придётся прибегать к взаимно однозначным соответствиям. Кроме того, в самом доказательстве используем именно взаимно однозначное соответствие сторон!///

Я бы согласился, если бы уже после доказательства трех теорем, были приведены некие рассуждения по поводу соответствия и несоответствия. С тем, чтобы учащиеся дополнительно осознали факт того, что при доказательстве имеет место использование взаимнооднозначного соответствия. Но использование слова в определении первых двух теорем, приводит к путанице и ощущению тавтологии.

///В высшей математике, чтобы меньше возиться со словом «соответствующий», для обсуждения этих вопросов используют краткую «объектно-ориентированную» терминологию. Используют разные термины для наборов в зависимости от того, как собираются их сравнивать.///

Спасибо за пример. Вы хорошо сказали: «меньше возиться».
Я уж думал, неужели и вы паритесь с этим «соответственно» 🙂

Согласен. Эту фразу (две стороны и угол между ними тр. ABC равны двум сторонам и углу между ними тр. A’B’C’) вряд ли можно понять в неправильном смысле. Мне теперь тоже кажется, что тут можно обойтись без слова «соответствующим». Можно предположить, что Погорелов и Шарыгин вставили это слово для «пущей определённости». Есть ещё одно соображение, которое трудно чётко сформулировать, но я попытаюсь .

Применяя признаки равенства треугольников, нужно фиксировать порядок вершин. Например, из условий |AB|=|MK|, |BC|=|KN| и ‘угол B = угол K’ следует, что тр. ABC = тр. MKN (а не тр. ABC = тр. NKM), т. е. угол C равен именно углу N и т. д.

Возможно, Погорелов и Шарыгин вставили слово «соответственно», чтобы подчеркнуть, что в признаках равенства мы имеем дело с «упорядоченными» треугольниками.

По аксиоме существует треугольник, равный данному.
Представим себе два таких равных треугольника.
Они еще никак не обозначены.
Только что родились. : )) Имена близняшкам мы дадим потом : ))
Так вот. Треугольники УЖЕ равны.
Они же не перестанут быть равными от того, что мы будем их по-разному называть.

Если два треугольника изначально равны, и о возможности такой ситуации говорит нам аксиома, то, как бы мы не крутили-вертели эти треугольники в смысле называния, САМИ-то они ведь ПО СЕБЕ остаются равными друг другу.

Тем более, если берется один треугольник, как в приведенных выше задачах.
Уже до решения, по смыслу, треугольник остается тождественным самому себе, какие бы другие треугольники с теми же самыми вершинами мы в нем не выделяли.
Согласен с методом фиксации вершин.
Но это просто облегчает задачу понимания того какие именно части одной фигуры равны каким именно частям другой.
Пусть перед вами два чертежа двух треугольников. Треугольники пока не названы.
Я говорю, что треугольники равны.
Будет разница, если я:
1. Не укажу, какие стороны и углы двух треугольников равны.
2. Сделаю такое указание (физически, например, указкой).

В первом случае вам придется самому с линейкой или транспортиром измерять стороны или углы треугольников и соотносить их. Во втором случае, дальнейших разъяснений вам не потребуется.

Но, как бы я не представил вам чертеж двух равных треугольников, они же останутся равными.
Вот туже функцию и выполняет в геометрии (языке) жесткая фиксация порядка перечисления вершин при назывании треугольника. Лишь для удобства демонстрации того, какие именно стороны и вершины равны. Фиксация выполняет функцию указания на соотнесение. На то, что и чему равно или не равно.
Без этого указания понятно было бы лишь что, например: Тр. АВС= тр. MKN
А [ АВ] ли равно [MK] или [ВС], было бы неясным.
Но, при этом, все же было бы ясно, что треугольники равны.
И ситуация разумеется не может меняться когда мы вводим правило фиксации вершин.
Назовем тр. MKN по-другому: KMN. Он что, как то изменил размеры своих сторон или углов? Конечно, нет. Но, возникла неоднозначная ситуация. Что и чему равно уже непонятно.
Какие стороны, как углы равны-неясно.
Упорядочивание вершин выводит из путаницы. Соотносит правильно.
Возникает соответствие. 🙂 )
[АВ] соответствует [МК]. Но в смысле равенства. [АВ] не соответствует [МN]. Опять же в смысле равенства. Тоесть употребить слово «соответственно» в первых двух признаках применительно к сторонам и углам можно только после факта обнаружения равенства этих сторон и углов двух треугольников. А не до сравнения.
Отсюда, опять видим несуразность фразы «если две стороны и угол межу ними одного треугольника РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО…». Сначала «равны», затем «соответственно». Масло масляное. Но и от перестановки дело не поправится. Слово «соответственно» явно лишнее.
В третьем признаке да, сначала нужно правильно взаимно однозначно соотнести, а затем сравнить.
Например, [АВ] равно именно [МК] а не [MN].
А в общем «…три стороны… равны соответственно трем сторонам…». Все правильно.

Поэтому функцию указания на взаимно однозначное соответствие выполняет правило перечисления вершин при назывании треугольника.
Это правило и вводит «упорядоченный» треугольник, как вы сказали для «применения признаков равенства».
Но тогда именно в правиле и нужно говорить о взаимно однозначном соответствии.

Вот и еще одна (с моей точки зрения) недоработка объяснения необходимости правильного называния вершин треугольника.
Правильно-то называть нужно.
Но, то, как это объяснено у Погорелова, делает возможным вывод учащимся о том, что перечисление вершин треугольника в ином порядке, изменяет треугольник физически.

В принципе, чувствуется, что авторы хотели именно подчеркнуть.
Я почти согласен с этим.
Ну не умнее же я авторов учебника. : ))
И не могли же авторы допустить геометрическую ошибку.
Просто это их подчеркивание на практике у мыслящих учеников приводит к бесплодным поискам смысла слова «соответствующий».

Это нам с вами хорошо оперировать «однозначными соответствиями» и прочим.
А каково ученику пятого класса?
Да и взрослый дядя, решив вдруг сделать для себя из геометрии хобби, немало прольет пота, пытаясь уразуметь это самое соответствие.

Источник

СООТВЕТСТВЕННО

Смотреть что такое «СООТВЕТСТВЕННО» в других словарях:

соответственно — См … Словарь синонимов

Соответственно с — СООТВЕТСТВЕННЫЙ, ая, ое; вен, венна. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

соответственно — (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов

соответственно — предлог, наречие, вводное слово 1. Предлог. Обстоятельственные обороты «соответственно + существительное» могут выделяться знаками препинания (запятыми). Подробнее о факторах, влияющих на расстановку знаков препинания, см. в Приложении 1.… … Словарь-справочник по пунктуации

соответственно — чему и (реже) с чем. Действовать соответственно своему настроению. Поступать соответственно своим убеждениям. Ветер соответственно поворотам то утихал, то налетал в удвоенной силой (Казакевич). Он оглядел меня с ног до головы, прищуривая то один… … Словарь управления

соответственно с — см. соответственно чем. в зн. предлога. Согласно, сообразно чему л., в зависимости от чего л. Поступай соответственно с условиями, с обстоятельствами … Словарь многих выражений

Соответственно Со — предл.; = соответственно с Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

соответственно — соответствующим образом, соответственно устойчивые словосочетания, используемые исключительно для заполнения пустот речи и провалов памяти. (Словарь бизнес сленга компании Schwarzkopf Россия) … Словарь бизнес-сленга

соответственно — I. нареч. 1. Равным образом, в равной мере; тоже, также. Почвы бывают разные, с. различны и способы их обработки. Если ты уедешь завтра, с. уеду и я. 2. Разг. Так, как следует, требуется; надлежащим образом. Узнай решение и поступай с. Будь… … Энциклопедический словарь

соответственно — 1. нареч. 1) Равным образом, в равной мере; тоже, также. Почвы бывают разные, соотве/тственно различны и способы их обработки. Если ты уедешь завтра, соотве/тственно уеду и я. 2) разг. Так, как следует, требуется; надлежащим образом. Узнай… … Словарь многих выражений

Источник

Соответственные углы

Соответственные углы — вид углов, образованный при пересечении двух прямых секущей.

Один из пары соответственных углов лежит во внутренней области между прямыми, другой — во внешней, причем оба угла находятся по одну сторону от секущей.

При пересечении двух прямых секущей образуется четыре пары соответственных углов.

∠1 и ∠5

∠2 и ∠6

∠3 и∠7

∠4 и ∠8

— соответственные углы при прямых a и b и секущей c.

Наибольший интерес в геометрии представляют соответственные углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.

∠1 = ∠2

(как соответственные углы при при a ∥ b и секущей c).

Всего при параллельных прямых и секущей образуется четыре пары равных соответственных углов:

∠1 = ∠5

∠2 = ∠6

∠3 = ∠7

Признак параллельных прямых

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

∠1 = ∠2

А так как эти углы — соответственные при прямых при a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство соответственных углов используется, в частности, для доказательства равенства треугольников и подобия треугольников.

Источник

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник