Что значит сократить дробь

Как сокращать дроби: простые примеры с подробными решениями

Содержание:

В этой статье коротко предоставим информацию о том, как сокращать дроби. Сначала приведем немного теоретической части, а затем подкрепим ее решением практических задач.

Что означает сократить дробь

Как сокращаются дроби

Как привести дробь к несократимому виду

Обычно алгебраическое решение любой задачи по сокращению дробей сводится к получению равной дроби, но в несокращаемом виде. Чтобы получить несократимую дробь, ее делят на определенное число, которое называется наибольший общий делитель (сокращенно НОД):

Практически рассмотрим, используя дробь \frac < 6 > < 12 >. Ее можно сократить на НОД, который равняется 6. Тогда 6 : 6 = 1 и 12 : 6 = 2. Следовательно:

Последняя дробь является несократимой.

Следует обратить внимание, что в большинстве случаев если требуется выполнить сокращение дробей, то это значит выполнить до получения несократимой дроби.

Как сократить большую дробь

В качестве нового примера возьмем дробь 144192. Сначала найдем наибольший общий делитель для чисел 144 и 192. Для этого можно применить метод разложения на простые множители:

144 : 2 = 72 192 : 2 = 96

72 : 2 = 36 96 : 2 = 48

36 : 2 = 18 48 : 2 = 24

18 : 2 = 9 24 : 2 = 12

Тогда наибольшим общим множителем для данных чисел будет число 48 = 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2.

Разделив исходную дробь на 48 получим несократимую дробь:

Разберем еще один способ, который позволяет сокращать числитель и знаменатель дроби последовательно на делитель, который без труда определяется по простейшим математическим признакам. Если требуется сократить дробь типа 40008 800, то можно сразу же определить, что здесь присутствует общий множитель 100, который можно вынести за скобку:

Далее невооруженным глазом заметно, что оба числа делятся на 2, а результат опять на 2 и т. д. В конечном итоге получаем несократимую дробь \frac < 5 > < 11 >= \frac < 4000 > < 8800 >. Теперь можно сказать, что наибольшим общим делителем для данной дроби было число 800.

В заключении заметим, что если знаменатель дроби представляет собой числитель, возведенный в квадрат, то такая дробь в несокращаемом виде всегда будет представлять собой: 1 – в числителе + число, значившееся числителем до сокращения, в знаменателе:

Источник

Сокращение дробей: правила и примеры

Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

Что такое «сокращение дробей»

В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

Приведение дробей к несократимому виду

Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

Приведение дроби к несократимому виду

Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

Правило сокращения дробей

Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

Правило сокращения дробей

Чтобы сократить дробь нужно:

Рассмотрим практические примеры.

Пример 1. Сократим дробь.

Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

Пример 2. Сократим дробь

Для этого представим исходную дробь в виде:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

Пример 3. Сократим дробь

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:

Источник

Сокращение обыкновенных дробей

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Что такое «сокращение дробей»

Математика любит точность и краткость: лохматыми громоздкими числами ее расположение не заслужить. Поэтому, следуя негласному правилу, сокращайте все, что можно сократить.

Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Общий делитель должен быть положительным и не равен нулю и единице.

В результате сокращения вы получаете новую дробь, равную исходной дроби. Такие дроби равны по основному свойству:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится дробь, равная данной.

С основным свойством дроби знакомятся в 5 классе, но встречаться оно будет до самого окончания школы. Поэтому запоминаем, как выглядит основное свойство дроби в виде буквенных выражений:

=

=

где a, b, m — натуральные числа.

Графически сокращение дробей обычно записывается вот так:

Числитель и знаменатель зачеркиваются черточками. В этом примере числитель — 8, знаменатель — 36. Справа над ними записывают результаты деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Общий делить 8 и 36 — 4. Это число не нужно записывать.

Больше наглядных примеров и понятных объяснений — на курсах обучения математике в онлайн-школе Skysmart.

Пример 1. Сократим обыкновенную дробь

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 3.

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 2. Сократим обыкновенную дробь

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 2.

= =

Сокращение выполнено: =

Приведение дробей к несократимому виду

Смысл сокращения дробей в том, чтобы в результате сокращения в числителе и знаменателе оказались наименьшие из возможных чисел.

Так, в результате сокращения в примере 2, мы из дроби получили дробь

Выходит, что дробь выдержит еще одно сокращение и придет к виду

Сокращая дробь, стремитесь в итоге получить несократимую дробь.

Разделите числитель и знаменатель дроби на их НОД (наибольший общий делитель). Так вы приведете дробь к несократимому виду.

— несократимая дробь, так как по свойствам НОД мы знаем, что:

a : НОД(a, b) и b : НОД(a, b) — взаимно простые числа.

Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, НОД(a, b) = 1.

Пример 3. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 12

Найдем частное: 12 : 12 = 1

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 4. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 5

Найдем частное: 15 : 5 = 3

= =

Сокращение выполнено: =

Правило сокращения дробей

Чтобы без труда сокращать любую обыкновенную дробь, запомните правило.

Выполняйте сокращение дробей по следующему алгоритму:

В 6 классе каждая вторая задачка — с дробями. Чтобы легко управляться с ними и уметь сокращать любые числа, нужно хорошо потренироваться. Давайте разберем еще несколько примеров сокращения обыкновенных дробей.

Чтобы легко сокращать дроби, нужно уметь быстро находить НОД числителя и знаменателя. Для этого неплохо бы знать таблицу умножения и уметь раскладывать числа на простые множители.

Чтобы найти НОД числителя и знаменателя, разложим числа на простые множители.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
84 = 2 * 2 * 3 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 = 12.
НОД 36 и 84 = 12.

Пример 5. Сократите дробь

Разложим числа в числителе и знаменателе на множители.
135 = 9 * 3 * 5
180 = 9 * 2 * 2 * 5

Мысленно убираем все общие множители и перемножаем оставшиеся.

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 6. Сократите обыкновенную дробь

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 9

= =

Сокращение выполнено: =

Дробь можно сократить, последовательно сокращая числитель и знаменатель на общий делитель. Такой способ подходит, если в числителе и знаменателе стоят крупные числа, и вы не уверены в подобранном НОД.

Пример 6. Сократите дробь:

= = =

Сокращение выполнено: =

Пример 7. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7

240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 2 * 3 = 24

НОД 168 и 240 равен 24

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 168 : 24 = 7

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 8. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5

540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180

НОД 360 и 540 равен 180

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 360 : 180 = 2

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 8. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7

2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 420

НОД 420 и 2520 равен 420

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 420 : 420 = 1

= =

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =

Пример 9. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

1575 = 3 * 3 * 5 * 5 * 7

3450 = 2 * 3 * 5 * 5 * 23

Перемножаем все общие множители между собой 3 * 5 * 5 = 75

НОД 1575 и 3450 равен 72

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 1575 : 75 = 21

= =

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =

Иногда разложение на простые множители занимает немало времени, особенно если раскладываемые числа большие, как в двух предыдущих примерах. Чтобы быстро разложить любое число на простые множители, можно обратиться к онлайн-калькулятору — в интернете их много. Воспользуйтесь одним из них.

Если времени совсем не хватает — можно использовать онлайн-калькулятор и для нахождения НОД. Однако не стоит постоянно прибегать к калькулятору для решения задач, пока вы не научитесь уверенно и быстро вычислять сами.

Источник

Как правильно сокращать дроби — объяснение на примерах

Смысл сокращения алгебраической дроби

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой состоят из многочленов с буквенными множителями.

В алгебре принято считать, что обыкновенные дроби — частный случай алгебраических.

Из курса по обыкновенным дробям (математика за 3 — 5 классы) известно, что сокращение — это деление числителя и знаменателя на общий множитель. Это объяснение справедливо не только для обыкновенных дробей, но и для алгебраических. Разница заключается в том, что при сокращении алгебраической дроби общим делителем может быть не только число, но и переменная или выражение.

Часто алгебраическая дробь является сложной математической конструкцией. Сокращение позволяет упростить дальнейшие операции с дробью: сложение, умножение, сравнение и т. д.

Правило сокращения алгебраических дробей

При сокращении дроби руководствуются следующим правилом: числитель и знаменатель можно делить на одинаковое число, одноименные буквы или на одинаковые множители — многочлены.

Нельзя сокращать дробь на разноименные буквенные обозначения. Также нельзя делить числитель и знаменатель на переменную или цифру, входящую в многочлен, если ее нельзя вынести как общий множитель выражения.

Приведем пример правильного сокращения дроби:

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

Если числитель и знаменатель представляют собой многочлены, то при сокращении дробей общий множитель удобнее вынести за скобки, после чего разделить на него числитель и знаменатель.

Вынесение общего множителя — это запись выражения F в виде произведения PQ, где P — общий множитель, Q — результат деления выражения F на P.

Отметим, что общим делителем может быть как число или переменная, так и целое выражение.

Если при сокращении необходимо изменить знаки в выражении на противоположные, выносят (-1).

Сокращение алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

На практике часто встречаются дроби, в числителе и знаменателе которых имеются выражения в различной степени, например, квадратные, кубические.

Для таких выражений используют формулы сокращенного умножения.

Приведем упомянутые тождества:

Квадрат суммы: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Куб суммы: ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Сокращение алгебраической дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены, сводится к вынесению общего делителя в числителе и знаменателе. При работе с такими дробями используют один (или комбинируют оба) из представленных выше способов:

Однако не все многочлены можно преобразовать по формулам сокращенного умножения или поделить на общий множитель. Если дробь нельзя упростить, то говорят, что дробь несократима.

Пояснение на примерах

Рассмотрим решения нескольких контрольных примеров по упрощению дробей. В качестве подготовки можно попробовать решить предлагаемые примеры самостоятельно.

Тренажер. Соедините соответствующие карточки с формулами сокращенного умножения.

Упростить дробь: 5 a + 25 b + 10 a + 5 b + 2

Общий множитель выражения в числителе — число 5. Вынесем его за скобки: 5 ( a + 5 b + 2 ) a + 5 b + 2

Получили одинаковый трехчлен в числителе и знаменателе. Сократим дробь на общий делитель.

Обратим внимание на числитель. Под корнем находится выражение, которое можно преобразовать в квадрат суммы. В знаменателе в множителе (9x+6y) можно вынести за скобку число 3. Выполним перечисленные операции:

Вынесем квадрат суммы из-под корня, получим:

Теперь у числителя и знаменателя есть общий делитель (3x+2y), сократим на него дробь.

Начнем с преобразования числителя. Из первого выражения в скобках можно получить формулу квадрата разности. Для этого вынесем (-1) за скобку и поменяем знаки на противоположные. Из второго выражения можно вынести общий множитель — число 5. Перепишем дробь в виде:

В числителе получили два одинаковых выражения, при их умножении показатели степени складываются, то есть:

Теперь преобразуем знаменатель. Вынесем общий множитель выражения в скобках — переменную b:

Теперь многочлен в скобках представляет собой формулу куба разности. Перепишем дробь:

У числителя и знаменателя два общих делителя: число 5 и куб разности. Сократим дробь на общие множители.

В числителе и знаменателе нет формул сокращенного умножения, также у числителя и знаменателя нет общего делителя. Дальнейшие преобразования невозможны.

Источник