Что значит сократимая дробь
Как сокращать дроби: простые примеры с подробными решениями
Содержание:
В этой статье коротко предоставим информацию о том, как сокращать дроби. Сначала приведем немного теоретической части, а затем подкрепим ее решением практических задач.
Что означает сократить дробь
Как сокращаются дроби
Как привести дробь к несократимому виду
Обычно алгебраическое решение любой задачи по сокращению дробей сводится к получению равной дроби, но в несокращаемом виде. Чтобы получить несократимую дробь, ее делят на определенное число, которое называется наибольший общий делитель (сокращенно НОД):
Практически рассмотрим, используя дробь \frac < 6 > < 12 >. Ее можно сократить на НОД, который равняется 6. Тогда 6 : 6 = 1 и 12 : 6 = 2. Следовательно:
Последняя дробь является несократимой.
Следует обратить внимание, что в большинстве случаев если требуется выполнить сокращение дробей, то это значит выполнить до получения несократимой дроби.
Как сократить большую дробь
В качестве нового примера возьмем дробь 144192. Сначала найдем наибольший общий делитель для чисел 144 и 192. Для этого можно применить метод разложения на простые множители:
144 : 2 = 72 192 : 2 = 96
72 : 2 = 36 96 : 2 = 48
36 : 2 = 18 48 : 2 = 24
18 : 2 = 9 24 : 2 = 12
Тогда наибольшим общим множителем для данных чисел будет число 48 = 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2.
Разделив исходную дробь на 48 получим несократимую дробь:
Разберем еще один способ, который позволяет сокращать числитель и знаменатель дроби последовательно на делитель, который без труда определяется по простейшим математическим признакам. Если требуется сократить дробь типа 40008 800, то можно сразу же определить, что здесь присутствует общий множитель 100, который можно вынести за скобку:
Далее невооруженным глазом заметно, что оба числа делятся на 2, а результат опять на 2 и т. д. В конечном итоге получаем несократимую дробь \frac < 5 > < 11 >= \frac < 4000 > < 8800 >. Теперь можно сказать, что наибольшим общим делителем для данной дроби было число 800.
В заключении заметим, что если знаменатель дроби представляет собой числитель, возведенный в квадрат, то такая дробь в несокращаемом виде всегда будет представлять собой: 1 – в числителе + число, значившееся числителем до сокращения, в знаменателе:
Сократимые и несократимые дроби, определения, примеры.
В этой статье мы разберем сократимые и несократимые дроби. Здесь мы дадим определения и приведем примеры сократимых и несократимых дробей, а также рассмотрим способ, позволяющий выяснить, является ли данная дробь сократимой или нет.
Навигация по странице.
Сократимые и несократимые дроби, определения, примеры
Все обыкновенные дроби подразделяются на сократимые дроби и несократимые дроби. Такое разделение дробей связано с наличием или отсутствием отличных от единицы положительных общих делителей их числителя и знаменателя.
Дадим определения сократимых и несократимых дробей, чтобы все стало понятно.
Сократимая обыкновенная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют положительный общий делитель, отличный от единицы.
Несократимая обыкновенная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют единственный общий положительный делитель – единицу, то есть, являются взаимно простыми числами.
Сократима ли данная дробь?
Определения сократимой и несократимой дроби, приведенные в предыдущем пункте, не позволяют в общем случае с первого взгляда на дробь ответить на вопрос: «Данная дробь сократимая или несократимая»?
Несомненно, в самых простых случаях признаки делимости позволяют сразу увидеть положительный общий делитель числителя и знаменателя, отличный от единицы, откуда можно делать вывод о сократимости данной дроби.
Разберем применение этого правила при решении примера.
В заключение заметим, если в результате каких-либо вычислений получилась дробь, то ее принято записывать в несократимом виде. Иными словами, если получилась сократимая дробь, то нужно провести сокращение дроби.
Сокращение дробей: правила и примеры
Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.
Что такое «сокращение дробей»
В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.
Приведение дробей к несократимому виду
Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.
Приведение дроби к несократимому виду
Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.
Правило сокращения дробей
Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.
Правило сокращения дробей
Чтобы сократить дробь нужно:
Рассмотрим практические примеры.
Пример 1. Сократим дробь.
Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.
Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.
Пример 2. Сократим дробь
Для этого представим исходную дробь в виде:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7
Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49
Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.
Пример 3. Сократим дробь
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:
Сокращение дробей. Что значит сократить дробь?
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно основному свойству рациональных чисел.
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac<9><15>\)
Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.
Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac<3><5>\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.
Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.
Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.
Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.
Получите несократимую дробь \(\frac<48><136>\).
Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
Правило сокращения дроби до несократимого вида.
Пример:
Сократите дробь \(\frac<152><168>\).
Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
Ответ: \(\frac<19><21>\) несократимая дробь.
Сокращение неправильной дроби.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.
Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac<44><32>\).
Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.
Сокращение смешанных дробей.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac<30><45>\).
Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.
Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac<100><150>\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
Получили несократимую дробь \(\frac<2><3>\).
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac<100><150>\) на 2.
Получили сократимую дробь \(\frac<50><75>\).
Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac<4><8>\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример:
Сравните две дроби \(\frac<2><3>\) и \(\frac<8><12>\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac<8><12>\):
Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac<90><65>\) б) \(\frac<27><63>\) в) \(\frac<17><100>\) г) \(\frac<100><250>\)
Сокращение дроби.
Мы уже познакомились с основным свойством дроби (см. статью здесь). И знаем, как получить дробь, равную данной. Но сегодня мы поговорим о ДЕЛЕНИИ дроби на одно и то же число.
Деление числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число называется СОКРАЩЕНИЕМ ДРОБИ. Но при этом – дроби остаются РАВНЫМИ.
Как сокращать дроби? Будем разбираться.
Итак, сокращение дроби – это действие перехода к новой дроби, равной заданной, но с меньшими числителем и знаменателем. Сокращение дроби выполняют для того, чтобы ее упростить.
Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, которое будет называться общим делителем.
Например, дана дробь 2/6.
На какие числа можно разделить 2? 2 делится на 1, 2. На какие числа можно разделить 6? 6 делится на 1, 2, 3, 6.
Но, мы знаем, что если дробь разделить на 1, то будет та же самая дробь. Поэтому на 1 не сокращают!
Теперь посмотрим на делители чисел 2 и 6. Сравним их:
Найдем одинаковые делители – это только число 2. Значит, мы можем разделить числитель и знаменатель нашей дроби только на 2.
Дробь 1/3 сократить нельзя.
Посмотрим на дробь 16/44. 16 делится на 2, 4, 8, 16. 44 делится на 2, 4, 11, 44. Одинаковые делители – 2, 4.
Разделим дробь на 2 — 16:2/44:2 = 8/22. Эту дробь можно еще сократить на 2. 8/22 = 8:2/22:2 = 4/11. Это очень долго, поэтому будем сокращать сразу на 4.
Дробь 4/11 сократить нельзя.
Рассмотрим дробь с большими числами: 210/315.
210 делится на 2, 3, 5, 7, 10, 30, 70, 105, 210.
315 делится на 3, 5, 7, 9, 15, 21, 63, 105, 315.
Общие делители: 3, 5, 7, 105. Будем сокращать дробь постепенно:
Мы видим, что если сокращать поочереди на все общие числители, начиная с меньшего, очень долго. Поэтому для удобства принято сокращать дробь сразу на больший числитель. Т.е. 210/315 = 210:105 / 315:105 = 2/3 Полученную дробь 2/3 сократить нельзя.
Наибольший общий делитель называют сокращенно — НОД.
Бывают случаи, когда общего делителя нет. Например, у дробей 3/59, 6/31, 11/23 и т.д. Тогда говорят о том, что эти дроби не подлежат сокращению.
Дроби, которые сократить НЕЛЬЗЯ называются НЕСОКРАТИМЫМИ, а числитель и знаменатель называют ВЗАИМНО-ПРОСТЫМИ.
Т.е. наша задача превратить любую дробь в несократимую. Итак, мы познакомились в двумя способами сокращения дробей:
Проверка: 28/36 – наибольший общий делитель (НОД) = 4, значит 28:4/36:4 = 7/9;
56/28 – НОД = 28, значит, 56:28/28:28 = 2/1 = 2;
114/171 – НОД = 57, значит, 114:57/171:57 = 2/3;
102/153 – НОД = 51, значит, 102:51/153:51 = 2/3.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 75