Что значит сложить числовые неравенства

Урок по теме «Сложение и умножение числовых неравенств»

Презентация к уроку

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Цель: рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств; сформировать навыки применения их к решению простейших задач на оценку выражений; закрепить свойства неравенств.

Оборудование: проектор, учительский компьютер, интерактивная доска, компьютеры для учеников.

1. Организационный момент

2. Проверка домащнего задания

Решение показывается на интерактивной доске с помощью проектора и компьютера. (слайды № 3-5)

3. Устная работа

Оцените значение выражений и заполните пропуски, напишите знаки сравнения.

1. Если x > – 3, то (слайд 6)

4. Изучение нового материала

Теперь давайте рассмотрим теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств. (слайд № 8)

Теорема 5. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

если a > b и c > d, то a + c > b + d;
если a > b, c > d и a, b, c, d – положительные числа, то ac > bd;
если a > b и a, b – положительные числа, то , где n – натуральное число.

Вообще, если известны значения границ величин, то, используя свойства числовых неравенств, можно найти границы значения выражения, содержащего эти величины, т. е. оценить его значение.

5. Физкультминутка (видеофизкультминутка)

6. Закрепление изученного материала

Обучающиеся решают на доске с комментариями.
Задания из дидактического материала: С-34, стр.84

1. Сложите почленно неравенства:

3. Перемножьте почленно неравенства:

7. Самостоятельная работа (с выставлением оценки) (слайд №10)

Самостоятельна работа проводится в виде сопоставления правильных решений с заданием в программе MyTestX за компьютером. (Приложение 1)

8. Итоги урока (слайд №11)

9. Домашнее задание

Д.м. С-34, стр.35: №№1, 2, учебник: №769.(слайд № 12)

10. Рефлексия

Ученикам предлагается закончить предложения: (слайд №13)

Источник

Числовые неравенства и их свойства

С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними.

Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры.

Числовые неравенства: определение, примеры

Числовым неравенством называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения.

Свойства числовых неравенств

Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше».

Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что

Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств.

Основные свойства

Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков и > характерно при свойствах:

Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами.

Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности.

Доказательство производится аналогичным образом.

Другие важные свойства числовых неравенств

Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств.

Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования.

Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств:

Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей.

Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам.

Свойства числовых неравенств

Рассмотрим ниже свойства числовых неравенств.

Источник

Виды числовых неравенств и их решение

Числовые неравенства — что это в математике

Ранее на уроках алгебры математическая модель в разных реальных ситуациях представлялась в виде уравнения или системы уравнений. Однако нередко при решении задач можно столкнуться с понятием числовых неравенств. Объяснение этого термина заключается в том, что:

при а > b значение выражения (а−b) является положительным;

если а Определение 1

Закономерности сравнения чисел и числовых выражений:

Примеры сравнения чисел:

123 > 118, так как 123–118=5, a 5 > 0;

–15 > –65, так как –15–(–65)= –15+65=50, а 50 > 0

Числовые неравенства обладают рядом ключевых свойств:

Разберем несколько примеров, наглядно демонстрирующих действие перечисленных свойств числовых неравенств:

Запишем некое неравенство:

Умножим левую и правую части неравенства на число 10, которое является положительным, получим верное неравенство:

Рассмотрим следующее неравенство:

В результате получается верное неравенство:

Данное неравенство является верным. В качестве доказательства можно вспомнить третье свойство числовых неравенств.

Виды числовых неравенств

В зависимости от состава неравенства бывают:

Виды числовых неравенств:

Верное числовое неравенство:

Типы неравенств с переменными:

Неравенства также могут быть:

Действия с неравенствами, сложение и умножение

Неравенства одного знака или неравенства одинакового смысла являются математическими выражениями, которые соединены идентичными знаками неравенства.

Примеры неравенств одного знака:

Неравенства противоположных знаков или неравенства противоположных смыслов являются математическими выражениями, которые соединены неодинаковыми знаками неравенств.

Примеры неравенств противоположных знаков:

При решении задач допускается складывать неравенства почленно в том случае, когда выражения являются неравенствами одного знака:

В качестве примера попробуем найти сумму двух неравенств:

Согласно ранее записанному правилу, получим:

Примеры решения задач

Найти корни неравенства:

Выполним перенос слагаемых влево:

— ( x – 2 ) ( 3 x + 5 ) 0 ⇒ ( x – 2 ) ( 3 x + 5 ) > 0

При решении методом интервалов получим:

Необходимо решить следующее неравенство:

Воспользуемся формулой квадрата суммы:

x 2 + 34 x + 289 = ( x + 17 ) 2

Используя метод интервалов, найдем корни:

Дано неравенство, которое нужно решить:

Воспользуемся формулой квадрата разности:

С помощью метода интервалов определим:

Найти сумму двух неравенств:

Выполним сложение неравенств одного знака почленно:

Найти сумму двух неравенств:

Даны верные неравенства, произведение которых нужно найти:

Источник

Свойства неравенств

Понятие числового неравенства и неравенства с одной переменной

Каждая из сторон числового неравенства является числом или числовым выражением.

Каждая из сторон неравенства с одной переменной является алгебраическим выражением с этой переменной.

Понятие «больше», «меньше», «равно» для двух выражений a и b связано с отношением разности этих двух выражений и нуля:

Свойства неравенства

Три основные свойства неравенства

Антирефлексивность для строгого неравенства

Рефлексивность для нестрогого неравенства

$a \gt a, a \lt a$ – ложные неравенства

$ <\left\< \begin a \gt b \\ b \gt c \end \right.> \Rightarrow a \gt c, <\left\< \begin a \lt b \\ b \lt c \end \right.> \Rightarrow a \lt c$

Свойства неравенства по отношению к основным математическим операциям

Сохранение знака при сложении

$ a \lt b \Rightarrow a+c \lt b+c$

Сохранение знака при вычитании

$ a \lt b \Rightarrow a-c \lt b-c$

Сохранение знака при умножении на положительное число

$ <\left\< \begin a \lt b \\ k \gt 0 \end \right.> \Rightarrow ka \lt kb$

Изменение знака при умножении на отрицательное число

$ <\left\< \begin a \lt b \\ k \lt 0 \end \right.> \Rightarrow ka \gt kb$

Сохранение знака при делении на положительное число

Изменение знака при умножении на отрицательное число

Изменение знака для чисел обратных данным положительным числам

Сложение и умножение неравенств

При сложении любого конечного числа неравенств с одним знаком этот знак сохраняется.

$<\left\< \begin a \lt b \\ c \lt d \\ \cdots \\ k \lt m \end \right.> \Rightarrow a+c+ \cdots +k \lt b+d+ \cdots +m$

При умножении любого конечного числа неравенств с одним знаком и положительными числами этот знак сохраняется.

$<\left\< \begin a \lt b \\ a,b \gt d \end \right.> \Rightarrow a^n \lt b^n, n \in \Bbb N$

Примеры

Пример 1. Расположите в порядке возрастания числа:

Пример 2. Число a положительное или отрицательное, если известно:

Умножение на отрицательное число, знак меняется

Деление на положительное число, знак не меняется

Деление на отрицательное число, знак меняется

Умножение на положительное число, знак не меняется

Оцените площадь квадрата.

Периметр квадрата: P = 4a. Получаем оценку для стороны квадрата:

По свойству неравенств при возведении в квадрат его положительных сторон знак не меняется:

Источник

Математика

Урок 1: Числовые неравенства и их свойства. Сложение и умножение числовых неравенств

Числовые неравенства и их свойства. Сложение и умножение числовых неравенств.

Пример 2. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675.

В зависимости от вида числа мы использовали тот или иной способ сравнения. Но есть универсальный способ сравнения, который охватывает все случаи.

Число а больше числа b, если разность а-b – положительное число; число а меньше числа b, если разность a-b – отрицательное число. Если разность а-b = 0, то числа а и b равны.

На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее.

Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.

Действительно, если разность a-b – положительное число, то разность b-a – отрицательное число, и наоборот.

Представим разность ас-bc в виде произведения: ас-bc = с(а-b).

Так как a 0, то произведение с(а-b) отрицательно, и, следовательно, ас bc.

Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Приведем пример использования рассмотренных свойств неравенств.

Пример 5. Оценим периметр равностороннего треугольника со стороной а мм, если известно, что 54,2

Доказанные свойства используют для оценки суммы, разности, произведения и частного.

Источник