Что значит система неопределенна
Основные понятия. Системы линейных уравнений
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЛЕКЦИЯ 4
Системы линейных уравнений. Основные понятия: совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы. Метод Гаусса. Общее решение. Теорема Кронекера-Капелли. Исследование на совместность систем линейных уравнений. Однородные системы и свойства их решений. Фундаментальная система решений.
Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений
Решением системы называется такая совокупность n чисел 1,a2. an>, которая при подстановке в данную систему на место не известных x1,x2. xn преобразует все уравнения в тождества. Задача теории систем линейных уравнений состоит в том, чтобы найти все решения системы. При этом возможны три случая.
1) Система вообще не имеет решений. Системы линейных уравнений, не имеющие ни одного решения, называются несовместными. Например, система уравнений
несовместна. С геометрической точки зрения, это соответствует двум параллельным несовпадающим прямым плоскости xOy.
2) Если система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Совместные системы могут иметь либо одно решение, либо бесконечно много решений. Системы, имеющие только одно решение, называются определенными. Например,
С геометрической точки зрения, это соответствует двум пересекающимся прямым плоскости xOy.
3) Система, имеющая бесконечно много решений, называется неопределенной. Например,
С геометрической точки зрения, это соответствует двум совпадающим прямым плоскости xOy.
Историческая справка. В трактатах до XIX в. рассматривались только квадратные системы линейных уравнений, т.е. системы, у которых число неизвестных равно числу уравнений. В случае несовместных или неопределенных систем довольствовались замечанием о некорректно поставленной задаче. В 1849 г. К. Гаусс (1777-1855) исследовал алгоритм последовательного исключения неизвестных для решения произвольных систем линейных уравнений, который с различными модификациями применяется до сих пор в практических вычислениях. Введение 1877 г. Г. Фробениусом (1849-1897) понятия ранга матрицы, позволило явно выразить условие совместности и определенности систем линейных уравнений через ее коэффициенты (теорема Кронекера-Капелли). Эта теорема содержалась в лекциях, прочитанных Л. Кронекером (1823-1891) в 1883-91 гг. А. Капелли (1858-1892) впервые дал формулировку теоремы с использованием термина «ранг» (1892 г.). К концу XIX в. усилиями К. Вейерштрасса (1815-1897), М. Жордана (1838-1922), Г. Фробениуса, Ш. Эрмита (1822-1901) и др. было завершено построение общей теории систем линейных уравнений.
Что значит система неопределенна
– перестановка строк матрицы;
– умножение строк матрицы на действительное отличное от руля число;
– поэлементное сложение строк матрицы;
– вычеркивание нулевой строки;
– транспонирование матрицы (в этом случае преобразования производятся по столбцам).
Элементарные преобразования приводят первоначальную систему к системе, ей эквивалентной. Системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Элементарные преобразования ранга матрицы не меняют.
На вопрос о наличии решений у неоднородной системы линейных уравнений отвечает следующая теорема.
Теорема 1.3 (теорема Кронекера-Капелли). Неоднородная система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу ее главной матрицы, то есть
Обозначим количество строк, оставшихся в матрице после метода Гаусса, через r (соответственно, в системе остается r уравнений). Эти строки матрицы называются базисными.
Если r n (количество переменных в системе больше количеств а уравнений), матрица элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду. Такая система имеет множество решений и является совместной неопределенной. В данном случае для нахождения решений системы необходимо выполнить ряд операций.
1. Оставить в левых частях уравнений системы r неизвестных (базисные переменные), остальные n — r неизвестных перенести в правые части (свободные переменные). После разделения переменных на базисные и свободные система принимает вид:
2. Из коэффициентов при базисных переменных составить минор (базисный минор), который должен быть отличен от нуля.
3. Если базисный минор системы (1.10) равен нулю, то одну из базисных переменных следует заменить на свободную; полученный базисный минор снова проверить на отличие от нуля.
4. Применяя формулы (1.6) метода Крамера, считая правые части уравнений их свободными членами, найти выражение базисных переменных через свободные в общем виде. Полученный при этом упорядоченный набор переменных системы является ее общим решением.
5. Придавая свободным переменным в (1.10) произвольные значения, вычислить соответствующие значения базисных переменных. Получаемый при этом упорядоченный набор значений всех переменных называется частным решением системы, соответствующим данным значениям свободных переменных. Система имеет бесконечное множество частных решений.
6. Получить базисное решение системы – частное решение, получаемое при нулевых значениях свободных переменных.
Теорема 1.4. Общее решение неоднородной системы уравнений представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы уравнений
Пример 1.7. Исследовать заданную систему уравнений и найти одно частное решение:
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и применим к ней элементарные преобразования:
По формулам (1.6) имеем
Данное выражение базисных переменных через свободные представляет собой общее решение системы:
Структура общего решения системы уравнений
Однородная система линейных уравнений
Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.
Свойства решений однородной системы уравнений
1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинация также является решением однородной системы.
В самом деле, из равенств следует, что
т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.
Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества линейно независимых решений.
Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец
Следовательно, первая строка матрицы является линейной комбинацией последних строк этой матрицы.
Итак, обратное утверждение доказано.
Алгоритм решения однородной системы уравнений
1-5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса. При этом не требуется выяснять совместность системы, так как любая однородная система имеет решение (пункт 3 метода Гаусса следует пропустить). Получить формулы (5.11) общего решения, которые для однородной системы будут иметь вид (5.13).
6. Найти фундаментальную систему решений однородной системы. Для этого подставить в (5.13) последовательно стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной, равной единице (см. свойство 2 решений однородной системы).
7. Записать общее решение однородной системы по формуле (5.14).
1. В пункте 6 алгоритма вместо стандартного набора значений свободных переменных можно использовать и другие наборы значений, лишь бы они обеспечивали линейную независимость получаемых частных решений однородной системы.
2. Матрица столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы, называется фундаментальной. Используя фундаментальную матрицу, общее решение (5.14) однородной системы можно записать в виде
3. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) однородной системы можно представить в виде блочной матрицы
Тогда блочная матрица размеров является фундаментальной. В этом можно убедиться, используя стандартные наборы значений свободных переменных. Применение блочных матриц может служить вторым способом нахождения фундаментальной системы решений.
Пример 5.4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы
Решение. 1. Составляем расширенную матрицу системы
Пункт 3 метода Гаусса пропускаем.
5. Переменные — базисные, а — свободные. Записываем формулу (5.13) общего решения однородной системы
В результате получили фундаментальную систему решений
7. Записываем общее решение однородной системы по формуле (5.14):
Несмотря на различия, обе формулы задают одно и то же множество решений.
Структура общего решения неоднородной системы уравнений
Ранее была выведена формула (5.11) общего решения системы линейных уравнений. Получим другую форму записи, отражающую структуру множества решений.
Свойства решений неоднородной системы уравнений
1. Разность двух решений и неоднородной системы есть решение однородной системы.
2. Пусть — решение неоднородной системы. Тогда любое решение неоднородной системы можно представить в виде
В самом деле, для любого решения неоднородной системы разность по свойству 1 является решением однородной системы, т.е. — решение однородной системы.
Теорема 5.4 о структуре общего решения неоднородной системы.
Пусть — решение неоднородной системы, а — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Тогда столбец
Говорят, что общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы.
Доказательство теоремы вытекает из свойств 1, 2 и теоремы 5.3.
Алгоритм решения неоднородной системы уравнений
1-5. Выполнить первые 5 пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.11).
6. Найти частное решение неоднородной системы, положив в (5.11) все свободные переменные равными нулю.
7. Записав формулы (5.13) общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему ее решений. Для этого подставить в (5.13) последовательно стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.
8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).
2. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) неоднородной системы можно представить в виде блочной матрицы
Тогда блочная матрица оказывается фундаментальной (см. п.3 замечаний 5.3), а столбец является частным решением неоднородной системы (в этом можно убедиться, подставляя в (5.11) нулевой набор свободных переменных). Используя блочные матрицы, общее решение (5 15) неоднородной системы можно представить в виде
где — столбец произвольных постоянных. Полученную формулу можно считать вторым способом решения неоднородной системы.
Пример 5.5. Найти структуру (5.15) общего решения неоднородной системы
Решение. 1-5. Первые 5 пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера 5.3, где получены формулы общего решения неоднородной системы:
Переменные — базисные, а — свободные.
7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см. пример 5.4):
8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы
Искомая структура множества решений найдена.
Записываем частное решение неоднородной системы
и составляем фундаментальную матрицу:
По формуле (5.16) получаем общее решение неоднородной системы, которое преобразуем к виду (5.15):
Решение систем линейных уравнений. Несовместные системы.
Системы с общим решением. Частные решения
Продолжаем разбираться с системами линейных уравнений. До сих пор я рассматривал системы, которые совместны и имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: методом подстановки («школьным»), по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Однако на практике широко распространены еще два случая:
– Система несовместна (не имеет решений);
– Система совместна и имеет бесконечно много решений.
Примечание: термин «совместность» подразумевает, что у системы существует хоть какое-то решение. В ряде задач требуется предварительно исследовать систему на совместность, как это сделать – см. статью о ранге матриц.
Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса. На самом деле, к ответу приведет и «школьный» способ, но в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных. Те, кто не знаком с алгоритмом метода Гаусса, пожалуйста, сначала изучите урок метод Гаусса для чайников.
Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же, разница будет в концовке решения. Сначала рассмотрим пару примеров, когда система не имеет решений (несовместна).
Решить систему линейных уравнений
Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных, то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить.
Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
(1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1.
(2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5.
(3) После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3.
(4) К третьей строке прибавляем вторую строку.
Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: . Ясно, что так быть не может. Действительно, перепишем полученную матрицу обратно в систему линейных уравнений:
Если в результате элементарных преобразований получена строка вида , где – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений).
Как записать концовку задания? Нарисуем белым мелом: «в результате элементарных преобразований получена строка вида , где » и дадим ответ: система не имеет решений (несовместна).
Если же по условию требуется ИССЛЕДОВАТЬ систему на совместность, тогда необходимо оформить решение в более солидном стиле с привлечением понятия ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли.
Обратите внимание, что здесь нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса – решений нет и находить попросту нечего.
Решить систему линейных уравнений
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Снова напоминаю, что ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, у алгоритма Гаусса нет сильной «жёсткости».
Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же, как только появилась строка вида , где . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица . Матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет никакой необходимости, так как появилась строка вида , где . Следует сразу дать ответ, что система несовместна.
Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия.
Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее.
Решить систему линейных уравнений
Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом его и универсальность.
Начало опять стандартное. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Вот и всё, а вы боялись.
(1) Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –4. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1.
Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1 – именно так!
(2) Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить.
Здесь опять нужно проявить повышенное внимание, а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки (особенно, чайнику) не лишним будет вторую строку умножить на –1, а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них.
В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду:
При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом.
Перепишем соответствующую систему уравнений:
«Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки тоже нет. Значит, это третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений. Иногда по условию нужно исследовать совместность системы (т.е. доказать, что решение вообще существует), об этом можно прочитать в последнем параграфе статьи Как найти ранг матрицы? Но пока разбираем азы:
Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы.
Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса.
Сначала нужно определить, какие переменные у нас являются базисными, а какие переменные свободными. Не обязательно заморачиваться терминами линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные.
Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы.
В данном примере базисными переменными являются и
Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: – свободные переменные.
Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные.
Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх.
Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную :
Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала в него подставляем найденное выражение :
Осталось выразить базисную переменную через свободные переменные :
В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные ( и ) выражены только через свободные переменные :
Собственно, общее решение готово:
Как правильно записать общее решение?
Свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные следует записать на второй и четвертой позиции:
.
Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:
Придавая свободным переменным произвольные значения, можно найти бесконечно много частных решений. Самыми популярными значениями являются нули, поскольку частное решение получается проще всего. Подставим в общее решение:
– частное решение.
Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим в общее решение:
– еще одно частное решение.
Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений (так как свободным переменным мы можем придать любые значения)
Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение и подставьте его в левую часть каждого уравнения исходной системы:
Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись.
Но, строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какое-нибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно.
Поэтому более основательна и надёжна проверка общего решения. Как проверить полученное общее решение ?
Это несложно, но довольно муторно. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы.
В левую часть первого уравнения системы:
Получена правая часть исходного уравнения.
В левую часть второго уравнения системы:
Получена правая часть исходного уравнения.
И далее – в левые части третьего и четвертого уравнение системы. Это дольше, но зато гарантирует стопроцентную правильность общего решения. Кроме того, в некоторых заданиях требуют проверку общего решения.
Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.
Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений. Что важно в самом процессе решения? Внимание, и еще раз внимание. Полное решение и ответ в конце урока.
И еще пара примеров для закрепления материала
Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения
Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
(1) Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.
(2) К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –5. К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –7.
(3) Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем.
Вот такая красота:
Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому – базисные переменные.
Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна:
Обратный ход:
Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Из третьего уравнения:
Рассмотрим второе уравнение и подставим в него найденное выражение :
Рассмотрим первое уравнение и подставим в него найденные выражения и :
Таким образом, общее решение:
Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных , тоже заняли свои порядковые места.
Сразу выполним проверку общего решения. Работа для негров, но она у меня уже выполнена, поэтому ловите =)
Подставляем трех богатырей , , в левую часть каждого уравнения системы:
Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, общее решение найдено верно.
Теперь из найденного общего решения получим два частных решения. Шеф-поваром здесь выступает единственная свободная переменная . Ломать голову не нужно.
Пусть , тогда – частное решение.
Пусть , тогда – еще одно частное решение.
Ответ: Общее решение: , частные решения: , .
Много математики вредно, поэтому похожий заключительный пример для самостоятельного решения.
Найти общее решение системы линейных уравнений.
Проверка общего решения у меня уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, главное, чтобы совпали общие решения.
Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.
Остановлюсь на некоторых особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах.
В общее решение системы иногда может входить константа (или константы), например: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.
Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных. Метод Гаусса работает в самых суровых условиях, следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.
И, конечно, повторюсь в своем совете – чтобы комфортно себя чувствовать при решении системы методом Гаусса, следует набить руку и прорешать хотя бы десяток систем.
Пример 2: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.
Выполненные элементарные преобразования:
(1) Первую и третью строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –6. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –7.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
В результате элементарных преобразований получена строка вида , где , значит, система несовместна.
Ответ: решений нет.
Пример 4: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Выполненные преобразования:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
Для второй ступеньке нет единицы, и преобразование (2) направлено на её получение.
(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –3.
(3) Вторую с третью строки поменяли местами (переставили полученную –1 на вторую ступеньку)
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.
(5)У первых двух строк сменили знак (умножили на –1), третью строку разделили на 14.
Обратный ход.
– базисные переменные (те, которые на ступеньках), – свободные переменные (те, кому не досталось ступеньки).
Выразим базисные переменные через свободные переменные:
Из третьего уравнения:
Рассмотрим второе уравнение:
Подставим в него найденное выражение :
Рассмотрим первое уравнение:
Подставим в него найденные выражения: , :
Общее решение:
Найдем два частных решения
Если , то
Если , то
Ответ: Общее решение: , частные решения: , .
Проверка: подставим найденное решение (выражения базисных переменных , и ) в левую часть каждого уравнения системы:
Получены соответствующие правые части, таким образом, общее решение найдено верно.
Пример 6: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
(1) Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –3.
(2) К третьей строке прибавляем вторую строку. К четвертой строке прибавляем вторую строку.
(3) Третья и четвертая строки пропорциональны, одну из них удаляем.
– базисные переменные, – свободная переменная. Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Ответ: Общее решение:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам