Что значит симметричные отрезки

Что такое симметрия и асимметрия?

Симметрия ассоциируется с гармонией и порядком. И не зря. Потому что на вопрос, что такое симметрия, есть ответ в виде дословного перевода с древнегреческого. И получается, что она означает соразмерность и неизменность. А что может быть упорядоченней, чем строгое определение местоположения? И что можно назвать более гармоничным, чем то, что строго соответствует размерам?

Что означает симметрия в разных науках?

Биология. В ней важной составляющей симметрии является то, что животные и растения имеют закономерно расположенные части. Причем в этой науке не существует строгой симметрии. Всегда наблюдается некоторая асимметрия. Она допускает то, что части целого не совпадают с абсолютной точностью.

Физика. Система тел и изменения в ней описываются с помощью уравнений. В них оказываются симметричные составляющие, что позволяет упростить все решение. Это выполняется благодаря поиску сохраняющихся величин.

Математика. Именно в ней в основном и дается разъяснение, что такое симметрия. Причем большее значение ей уделяется в геометрии. Здесь симметрия — это способность к отображению у фигур и тел. В узком смысле она сводится просто к зеркальному отображению.

Как определяют симметрию разные словари?

На вопрос, что такое симметрия, словарь Ожегова уже говорит об одинаковости в положении частей относительно точки, прямой или плоскости.

В словаре Ушакова упоминается еще и пропорциональность, а также полное соответствие двух частей целого друг другу.

Когда говорят об асимметрии?

Приставка «а» отрицает смысл основного существительного. Поэтому асимметрия означает то, что расположение элементов не поддается определенной закономерности. В ней отсутствует всякая неизменность.

В живой природе асимметрия играет важную роль. Причем она может быть как полезной, так и вредной. К примеру, сердце помещается в левую половину груди. За счет этого левое легкое существенно меньшего размера. Но это необходимо.

О центральной и осевой симметрии

В математике выделяют такие ее виды:

Что такое ось и центр симметрии? Это точка или прямая, относительно которой любой точке тела найдется другая. Причем такая, чтобы расстояние от исходной до получившейся делилось пополам осью или центром симметрии. Во время движения этих точек они описывают одинаковые траектории.

В ситуациях, когда необходимо найти центр симметрии, нужно поступать следующим образом. Если фигур две, то найти у них одинаковые точки и соединить их отрезком. Потом разделить пополам. Когда фигура одна, то помочь может знание ее свойств. Часто этот центр совпадает с точкой пересечения диагоналей или высот.

Какие фигуры являются симметричными?

Геометрические фигуры могут обладать осевой или центральной симметрией. Но это не обязательное условие, существует множество объектов, которые не обладают ею вовсе. К примеру, параллелограмм обладает центральной, но у него нет осевой. А неравнобедренные трапеции и треугольники не имеют симметрии совсем.

Если рассматривается центральная симметрия, фигур, обладающих ею, оказывается довольно много. Это отрезок и круг, параллелограмм и все правильные многоугольники с числом сторон, которое делится на два.

Центром симметрии отрезка (также круга) является его центр, а у параллелограмма он совпадает с пересечением диагоналей. В то время как у правильных многоугольников эта точка тоже совпадает с центром фигуры.

Если в фигуре можно провести прямую, вдоль которой ее можно сложить, и две половинки совпадут, то она (прямая) будет являться осью симметрии. Интересно то, сколько осей симметрии имеют разные фигуры.

К примеру, острый или тупой угол имеет только одну ось, которой является его биссектриса.

Если нужно найти ось в равнобедренном треугольнике, то нужно провести высоту к его основанию. Линия и будет осью симметрии. И всего одной. А в равностороннем их будет сразу три. К тому же, треугольник обладает еще и центральной симметрией относительно точки пересечения высот.

У круга может быть бесконечное число осей симметрии. Любая прямая, которая проходит через его центр, может исполнить эту роль.

Прямоугольник и ромб обладают двумя осями симметрии. У первого они проходят через середины сторон, а у второго совпадают с диагоналями.

Квадрат же объединяет предыдущие две фигуры и имеет сразу 4 оси симметрии. Они у него такие же, как у ромба и прямоугольника.

Источник

Учебник Моро 4 класс 1 часть. Страница 63

Упражнения

283. Прочитай на странице 105, как связаны между собой числа при вычитании, и заполни таблицу.

284. Реши уравнения.

285. Вычисли и сделай проверку.

286. В магазин привезли хлеб. За день было продано 176 кг хлеба, после чего в магазине осталось на 145 кг хлеба меньше, чем продали. Сколько килограммов хлеба привезли?

1) 176 — 145 = 31 (кг) — масса оставшегося хлеба.

2) 176 + 31 = 207 (кг) — масса привезенного хлеба.

287. В зале 300 мест. Когда школьники заняли 8 полных рядов, в зале осталось 140 свободных мест. Сколько мест в каждом ряду, если все ряды одинаковые?

1) 300 — 140 = 160 (шт) — мест заняли школьники.

2) 160 : 8 = 20 (шт) — мест в одном ряду.

288. 1) Чему равна третья часть отрезка длиной 48 мм?

2) Начерти отрезов АВ. Начерти симметричный ему отрезок.

Отрезок CD (зелёный) симметричен отрезку AB (синий) относительно оси (красная прерывистая линия).

289. Вырази:

1) в миллиметрах:

9 см = 90 мм
80 см = 800 мм
2 м 25 см = 2 250 мм

2) в минутах:

9 ч = 60 • 9 = 540 мин
180 с = 180 : 60 = 3 мин
2 ч 25 мин = 60 • 2 + 25 = 120 + 25 = 145 мин

290. Реши:

Начерти отрезок, пятая часть которого равна 17 мм.

Длина отрезка составит 17 • 5 = 85 мм.

Задание на полях

1) 40 + 120 = 160 — значение зелёного круга.

2) 380 — 160 = 220 — значение синего треугольника.

Источник

Осевая и центральная симметрия

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Источник

ВИДЫ СИММЕТРИИ

СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ (ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ)

Одна точка называются симметричной другой относительно прямой, если данная прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Прямая называется осью симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно некоторой точки той же фигуры.

зеркальная симметрия

Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S, если для каждой точки этой фигуры может быть найдена другая точка этой же фигуры, так что отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам. Плоскость S называется плоскостью симметрии.

Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова (например, левая перчатка или ботинок не подходит для правой руки или ноги и наоборот). Они называются зеркально равными.

центральная симметрия

Геометрическая фигура (или тело) называется симметричной относительно центра О, если для каждой точки этой фигуры может быть найдена другая точка этой же фигуры, так что отрезок, соединяющий эти точки, проходит через центр О и делится в этой точке пополам. Точка О называется центром симметрии.

поворотная симметрия (симметрия вращения)

При поворотной симметрии переход частей фигуры в новое положение или преобразование исходной фигуры происходит при повороте фигуры на определенный угол вокруг точки, которая называется центром поворота. Поворотная симметрия может рассматриваться на плоскости и в пространстве.

Тело (фигура) обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360°/n (n – целое число, например, 2, 3, 4 и т.д. до бесконечности) вокруг некоторой прямой (оси симметрии) оно полностью совпадает со своим начальным положением. При n = 2 мы имеем осевую симметрию.

симметрия подобия

Представляет собой своеобразный аналог предыдущих симметрий с той лишь разницей, что она связана с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки.

переносная (трансляционная симметрия)

О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние, либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса.

примеры симметрии геометрических фигур

Разными видами симметрии могут обладать и плоские и объемные фигуры. Например, квадрат, прямоугольник, ромб имеют и центр симметрии и оси симметрии.

Окружность и круг имеют центр симметрии и бесконечно много осей симметрии. Объемные фигуры могут иметь центр симметрии, оси симметрии и обладать зеркальной симметрией.

Правильные многогранники своей симметрией с древних времён привлекали к себе внимание учёных, архитекторов, художников. Их по праву называют самыми симметричными из всех многогранников.

Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий учёный Платон. Поэтому их называют телами Платона. Правильным многогранникам посвящена 13 книга “Начал” Евклида.

Очень симметричной фигурой является, например, куб. Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра (6), либо через середины противоположных ребер (3).

Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра (6), либо через середины противоположных ребер (3).

Источник

Центральная симметрия — понятие, свойства и примеры фигур

Центральная симметрия – самая интересная и познавательная тема в геометрии, которую изучают в начальных классах школы и более тщательно — в 8 — 11 классах. Знания по этой теме обязательно пригодятся ученику в жизни.

Что такое центральная симметрия

Начнём с определения: центральная симметрия — одно из свойств определённой геометрической фигуры, при котором точке В соответствует некая точка В1, находящая в таком же пространственном положении относительно точки С. Точка С лежит на середине отрезка ВВ1. Точка С называется центром симметрии. Это определение соответствует курсу планиметрии.

Центральную симметрию можно построить и в пространстве. В пространстве центральной симметрией называется словно зеркальное отображение какой-либо геометрической фигуры. Она представляет собой две одинаковые фигуры, соответственные точки которых попарно симметричны относительно точки пространства О.

Свойства центральной симметрии

Основные свойства следующие:

1. Центральную симметрию называют движением, при котором соответствующие точки также остаются симметричными, то есть расстояние между ними остаётся прежним.

Посмотрим на рисунок. Треугольники АВС и А1В1С1
симметричны в пространстве относительно точки О. При каком либо преобразовании пространства сохраняются условия: АО=А1О, ВО=В1О, СО=С1О. Значит, картинка остаётся той же.

Однако если представить геометрическую фигуру в виде векторов, то при преобразовании пространства эти векторы поменяют свои направления;

2. Центральная симметрия имеет только одну центральную точку, которая является неподвижной при преобразовании пространства;

3. Если прямая проходит через центр симметрии, то она соответствует самой себе, то есть симметрична;

4. Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через центр симметрии, в параллельную ей прямую.

Доказывается это свойство достаточно просто. Для этого нужно построить две параллельные прямые АВ и А1В1 относительно точки О.

Далее соединяем симметричные точки и получаем отрезки АА1 и ВВ1. Далее легко заметить, что отрезки АО и А1О будут равны. Соответственно равны и отрезки ВО и В1О. Углы, которые образуются при пересечении двумя прямыми точки О также равны.

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны углы А,А1 и В,В1. Значит они являются накрест лежащими при секущих АА1 и ВВ1. Задача решена, АВ и А1В1 параллельны;

5. При центральной симметрии отрезки симметричны отрезкам, лучи симметричны лучам, прямые симметричны прямым.

Примеры фигур, обладающих центральной симметрией

Фигур, как имеющих углы, так и без углов, но при этом обладающих центральной симметрией не так уж мало:

различные правильные многоугольники.

Интересные факты о центральной симметрии

Вся окружающая нас природа – сплошная центральная симметрия. Многие растения и насекомые обладают центральной симметрией.

Практически у каждого фрукта есть своя симметрия. Например, кокос в разрезе представляет собой окружность с центром в некоторой точке.

Ещё один очевидный пример – бабочка.

Великолепные узоры на её крылышках – четкая и яркая симметрия.

Каждый знает, что видовое разнообразие морских ракушек бесконечно. Наверняка, вы сможете найти несколько как с осевой, так и центральной симметрией.

Великолепные примеры с элементами центральной симметрии можно наблюдать и в архитектуре. Потолки различных храмов и церквей украшаются орнаментами, основой которых является центральная симметрия.

Собор Парижской Богоматери имеет прекрасный, утончённый узор, основанный на центральной симметрии.

Рукодельницы в своих произведениях искусства применяют симметрию, которая заметна в удивительных и затейливых узорах.

Таким образом, центральная симметрия – основа, которая составляет природу, архитектуру и даже иногда музыку. Именно это проявление так радует человеческий глаз при появлении первых снежинок или при знакомстве с сооружениями архитектуры.

Источник