Что значит сформулировать условие на геометрическом языке
Конструирование приёмов составления геометрических задач на основе задачного текста
Конструирование приёмов составления геометрических задач на основе задачного текста
КОНСТРУИРОВАНИЕ ПРИЁМОВ СОСТАВЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ ЗАДАЧНОГО ТЕКСТА
классифицирует задачи в зависимости от количества неизвестных компонентов, выделяя задачи: 1) обучающие задачи с одним неизвестным компонентом: а) XCRB, б) AXRB, в) ACXB, г) ACRX; 2) поисковые задачи с двумя неизвестными компонентами: а) AXYB, б) XCRY, в) XYRB, г) ACXY, д) AXRY, е) XCYB; 3) проблемные задачи с тремя неизвестными компонентами: а) XYZB, б) AXYZ, в) XCYZ, г) XYRZ; 4) задачи с четырьмя неизвестными компонентами – творческая деятельность учёного [5, 60]. Решение задачи сводится к нахождению неизвестных компонентов.
Для геометрической задачи компоненты специализируются следующим образом:
1) условие (Д) – включает известные геометрические фигуры и величины, связанные отношениями: равенство, параллельность, перпендикулярность, подобие;
2) решение (Р) – процесс нахождения неизвестных величин или математических отношений между геометрическими фигурами на основе условия в соответствии с определёнными схемами дедуктивных рассуждений – правилами перевода;
3) обоснование решения (О) – есть перечень истинных высказываний: определений понятий, аксиом, теорем, выражающих свойства и признаки геометрических фигур;
4) требование (Т) – содержит неизвестные геометрические величины, фигуры, связанные неизвестными математическими отношениями, которые требуется найти в процессе решения.
Таким образом, геометрические задачи в нашем исследовании имеют структуру: ДxyТ, ДxОТ, ДРxТ, где x, y, z – неизвестные компоненты. Для всех остальных структур в нашей работе используется термин «проблемный задачный текст», и исследуется процесс перехода от проблемного задачного текста к геометрической задаче – процесс составления геометрических задач. Приведём примеры проблемных задачных текстов.
Пример 1. Задачный текст вида Дxyz (один известный компонент – условие): ABCD – прямоугольник, M, N, K и L – середины сторон прямоугольника.
Пример 2. Задачный текст вида xРyz (один известный компонент – решение):
Пример 3. Задачный текст вида xyОz (один известный компонент – обоснование решения):
…1) …(по свойству ромба); 2) … (по признаку ромба) => … (по признаку равенства прямоугольных треугольников) => …(как соответствующие элементы равных треугольников), что и требовалось доказать.
Пример 4. Задачный текст вида xyzТ (один известный компонент – требование): «Найдите углы трапеции».
Задачный текст должен соответствовать следующим требованиям:
формализация текста – означает, что он сформулирован на геометрическом языке, т. е. содержит математические отношения (равенство, параллельность, перпендикулярность, подобие) между геометрическими объектами, определяющие смысл данного текста, на основе которых можно составить задачу; понятность текста – обеспечивает учащемуся возможность приступить к составлению задачи и побуждает ученика к исследованию отношений между геометрическими фигурами; интеллектуализация текста – обеспечивает активную мыслительную деятельность, посредством использования познавательных логических УУД в процессе решения учебных задач.
На основе комбинирования числа известных и неизвестных компонентов в задачном тексте получено одиннадцать их видов (таблица 1). Они служат основой для конструирования приёмов составления геометрических задач.
Виды геометрических проблемных задачных текстов
Количество известных компонентов
Структура задачного текста
в контексте интеллектуального воспитания учащихся при обучении геометрии, систематизированы и разработаны приёмы составления задач [3]. Это следующие приёмы: 1) составление задач на доказательство по готовому чертежу; 2) составление задач на доказательство (вычисление) по данному условию; 3) составление задач на доказательство (вычисление, построение) по данному требованию; 4) составление задач на доказательство (вычисление) по неполному условию и требованию; 5) составление обратных задач для данной задачи; 6) составление задач с использованием метрической определённости фигур.
В соответствии с проведённой классификацией эти приёмы делятся на две группы: I группа – используются структуры, которые в нашем исследовании относятся к геометрическим задачам: 1) составление задач на доказательство по готовому чертежу – ДxyТ; 2) составление обратных задач для данной задачи – ДxyТ; II группа – используются задачные тексты: 1) составление задач на доказательство (вычисление) по данному условию – Дxyz; 2) составление задач на доказательство (вычисление, построение) по данному требованию – xyzТ. 3) составление задач на доказательство (вычисление) по неполному условию и требованию – ДxyzN, где Дx – неполное условие. Таким образом, указанные приёмы сконструированы на основе использования задачного текста с одним известным компонентом.
Нами разработаны приёмы составления геометрических задач на основе остальных задачных текстов. Например, на основе задачного текста с одним известным компонентом вида xРyz разработан приём составления задачи по решению, а вида xyОz – приём составления задачи на вычисление по обоснованию и приём составления задачи на доказательство по обоснованию.
Приём составления задачи по данному решению
(задачный текст вида: xРyz):
из анализа умозаключений определить первоначальные, промежуточные и искомые данные:
– если данные входят в посылки умозаключений, но не входят в заключения, то это первоначальные данные, входящие в условие задачи;
– если данные входят в заключения умозаключений и используются в последующем решении, то это промежуточные данные;
– если данные входят в заключения умозаключений и не используются в последующем решении, то это искомые данные, входящие в требование задачи;
из анализа умозаключений, содержащих первоначальные и промежуточные данные, определить, какая фигура является основной, изобразить геометрическую фигуру или её элементы в соответствии с выявленными данными; составить условие, используя первоначальные данные; из анализа умозаключений, содержащих искомые данные, выяснить, что требовалось найти (доказать, построить) и сформулировать требование, используя искомые данные; сформулировать задачу в соответствии с п. 3 и 4; выполнить проверку составленной задачи на соответствие данному решению.
Приём составления задачи на вычисление по обоснованию
(задачный текст вида: xyОz):
из анализа обоснования вывода последнего умозаключения решения выяснить значение каких величин можно найти в соответствии с данным обоснованием; выяснить, с какой геометрической фигурой связаны эти величины, и изобразить данную фигуру; определить по таблице метрической определённости геометрических фигур на плоскости количество необходимых величин для задания метрически определённой фигуры; составить варианты необходимых величин в соответствии с обоснованием; принять одну из необходимых величин за неизвестную и сформулировать возможное требование; сформулировать возможное условие, содержащее известные необходимые величины; сформулировать задачу в соответствии с п. 5 и 6; проверить составленную задачу на соответствие данному обоснованию решением.
Приём составления задачи на доказательство по обоснованию
(задачный текст xyОz):
из анализа обоснования вывода последнего умозаключения решения выяснить, какое математическое отношение обосновывается; на основании выявленного отношения определить, что может быть доказано; определить, какие геометрические фигуры связаны данным математическим отношением; на основе поисковой области понятий, связанных выявленным отношением построить возможную конфигурацию; повторить п. 1–3 с обоснованиями утверждений, входящих в доказательство, уточняя конфигурацию и дополняя недостающими данными; сформулировать возможное требование в соответствии с п. 2; сформулировать возможное условие в соответствии с п. 3–5; сформулировать задачу, используя п. 6 и 7; проверить составленную задачу решением, контролируя данные обоснования утверждений.
Разработка новых приёмов составления геометрических задач на основе различных видов задачного текста расширяет количество приёмов составления задач, что позволяет организовать процесс обучения составлению геометрических задач с наибольшей эффективностью.
Геометрическая и алгебраическая интерпретация математических понятий
Описание разработки
Софии Жермен: «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах».
Существуют способы решения алгебраических задач методами,
История математики свидетельствует о том, что оба метода, алгебраический и геометрический развивались в тесной взаимосвязи. В классическую греческую эпоху геометрия занимала привилегированное положение. Она являлась именно той наукой, в которой проявлялся дедуктивный характер рассуждения, искусство доказательства. Первые элементы алгебры появились сразу в интерпретациях: геометрический и буквенно-символической. Систематизация алгебраических сведений построение алгебры как особой части математики проходило также в двух равносильных и равноправных интерпретациях. Этот набор методов было принято называть геометрической алгеброй. Благодаря взаимосвязи алгебраического и геометрического методов были сделаны многие открытия в математике.
Геометрический метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением. Основное
преимущество геометрического метода в его наглядности. Он позволяет увидеть то, что в алгебраическом методе скрыто за аналитическими выкладками. Кроме того, выполненный рисунок позволяет рассуждать, делать выводы. Недаром еще великий Р. Декарт в своем труде «Правила для руководства ума» специально выделял правило о том, что «полезно чертить фигуры и преподносить их внешним чувствам, для того,
чтобы таким образом нам было легче сосредоточивать внимание нашего ума».
Цели данной работы:
1. Показать, что преимущество геометрического решения алгебраических задач в его наглядности, так как геометрический подход допускает изящное решение.
2. Выявить связи между, казалось бы, совершенно разнородными темами школьного курса математики.
Рассмотреть ряд приёмов решения нестандартных и конкурсных
Практическая помощь учителям математики.
Между алгебраическими и геометрическими задачами, между языком алгебры (языком формул) и языком геометрии (языком расстояний) существует неразрывная связь, ставшая со времен Декарта очевидной даже тем, кто не слишком искушен в математике. В самом деле, решение многих геометрических задач может быть сведено к решению систем алгебраических уравнений и требует умения применять соответствующий алгебраический инструмент.
Алгебраический язык (язык формул)
Геометрический язык (язык расстояний)
Расстояния до координатных осей (координаты)
Модуль разности двух чисел
Расстояние между двумя точками координатной прямой
Сумма квадратов двух чисел
Квадрат расстояния между двумя точками координатной плоскости
2. Геометрический метод алгебраических задач
2.1. Решение уравнений и неравенств с модулем.
Аналогично решается уравнение |f(x)|=g(x). Действительно, если g(x) 0, то f(x)=g(x); f(x)=-g(x).
Другой способ решения состоит в рассмотрении двух случаев при освобождении от знака модуля: |f(x|=f(x) при f(x) > 0, |f(x|—f(x) при f(x)
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования
Кемеровский профессионально-технический техникум
Геометрическая и алгебраическая интерпретация математических понятий
Выполнил преподаватель математики:
Коровина Нина Анатольевна.
Математические утверждения 4
2. Геометрический метод алгебраических задач 4
2.1. Решение уравнений и неравенств с модулем 4
2.2. Решение систем неравенств 7
2.3. Решение квадратных уравнений 8
2.4. Решение иррациональных уравнений и неравенств 9
2.5. Решение текстовых задач 11
2.6. Решение задач на наибольшее и наименьшее значения функции 12
2.7. Решение задач на нахождение площади фигуры, заданной на координатной плоскости 14
Геометрия. Урок 6. Анализ геометрических высказываний
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Для того, чтобы найти нужное утверждение, воспользуйтесь поиском по сайту (вверху страницы) или сочетанием клавиш Ctrl+F.
Задание 20 из ОГЭ. Анализ геометрических высказываний
В данном уроке мы вспомним различные определения, теоремы и свойства из курса геометрии. Очень многие девятиклассники допускают ошибки именно в 13 задании ОГЭ “Анализ геометрических высказываний”. Здесь мы рассмотрим различные утверждения, которые встречаются в ОГЭ и разберём, какие из них являются верными, а какие нет и почему.
Для удобства, утверждения расклассифицированы по темам: Аксиомы, Углы, Треугольники, Четырехугольники, Окружности, Симметрия.
Объем утверждений достаточно большой, но есть хорошая новость: если с первого раза вы с утверждением согласны, если для вас оно очевидно, то зубрить его не надо. Стоит серьёзно отнестись к утверждениям, которые с первого раза очевидными не кажутся. Но и их зазубривать тоже не нужно, их надо осмыслить, понять. Сделайте картинку к такому утверждению, подумайте, почему оно верно (или неверно).
Зубрёжка – бесполезное занятие. Любое утверждение можно сформулировать по-разному, поэтому самое главное – это понимание. В любой непонятной ситуации делайте рисунок и размышляйте. Удачи!
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол, противолежащий стороне а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Геометрические задачи и методы их решения с примерами
Содержание:
Логическое построение геометрии
Чтобы отличать геометрические фигуры друг от друга, их свойства описывают в виде утверждения, которое называют определением. Однако, определить вес геометрические фигуры невозможно. Некоторые из них, первоначальные, вынуждены принять без определения. Принимаем их за неопределяемые, начальные (основные) геометрические фигуры. Логическое построение геометрии осуществляют в следующем порядке: 1. Вначале принимают основные (начальные) геометрические фигуры без определения; 2. Принимают основные свойства этих фигур без доказательств;
3. Определяют другие геометрические фигуры через основные фигуры и их свойства, а затем доказывают свойства этих фигур и утверждений, истинность которых устанавливается путем доказательств, опираясь на известные.
Такое построение науки называют аксиоматическим построением. Свойства фигур, принятые без доказательства, называют аксиомами.
В планиметрии, которую мы изучали до сих пор основными геометрическими фигурами были точка и прямая. Их приняли без определения. Но определили отрезок, луч, треугольник и другие геометрические фигуры. Точно так же следующие свойства (утверждения) мы принимаем без доказательств в качестве аксиом:
I. Аксиомы принадлежности
1.1. Какова бы ни была прямая на плоскости, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
II. Аксиомы расположения
2.1. Из трех точек, лежащих на прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Любая прямая делит плоскость на две части: на две полуплоскости.
III. Аксиомы измерения
3.1. Любой отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2. Любой угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера развернутого угла равна 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
IV. Аксиомы откладывания
4.1. На любом луче от его начальной точки можно отложить единственный отрезок, равный данному.
4.2. От любого луча в определенную полуплоскость можно отложить единственный угол, равный данному, не развернутому углу.
4.3. Для любого треугольника существует единственный равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.
V. Аксиома параллельности
5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Древнегреческий ученый Платон отмстил удивительную закономерность в геометрии: из свойств, изученных и доказанных ранее, логически размышляя и обдумывая, можно получить новые свойства. Следовательно, используя эти удивительные возможности, можно формулировать остальные свойства в виде теорем, которые доказывают с помощью логических размышлений, аксиом, а также свойств, доказанных до этого.
В процессе размышления запрещается использование недоказанных свойств, даже если их правильность очевидна.
В формировании геометрии в качестве самостоятельной науки большой вклад внесли древнегреческие ученые. Например, Гиппократ Хиосский дал разъяснения о первых геометрических понятиях. Наибольший вклад в этой области принадлежит великому древнегречеcкому ученому Евклиду (356-300 годы до нашей эры). Его основной труд «Начала» содержит планиметрию, стереометрию и некоторые вопросы теории вероятностей, кроме того, алгебру, основы теории отношений, способы вычисления площадей и объемов и также элементы теории пределов. Евклид в «Началах» собрал все достижения древнегреческих математиков того времени и создал основу для дальнейшего развития математики.
I. Через любые две точки можно провести только одну прямую.
II. Отрезок прямой можно бесконечно продолжить.
III. Из любой точки можно построить окружность произвольныго радиуса.
IV. Все прямые углы равны между собой.
V. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересеченные третьей, образуют внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то при продолжении вышеупомянутых прямых они пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых углов.
Упомянутый труд получил огромную славу и признание. Особенно V постулат стал причиной большой научной дискуссии. Если обозначить внутренние углы в V постулате а и (3 (рис. 1), а прямые а и b, то по смыслу этого постулата а+(3
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.