Что значит сформулировать признаки делимости

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

Источник

Признаки делимости чисел

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Что такое «признак делимости»

Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.

Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.

Однозначные, двузначные и трехзначные числа

Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.

Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).

Чётные и нечётные числа

Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.

Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.

Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Источник

Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

В этой статье – необходимая теория для решения задачи 18 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.

Любое натуральное число можно разложить на простые множители.

Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.

Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.

Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.

последняя цифра числа четная;

сумма цифр числа делится на 3;

число заканчивается на 0 или на 5;

сумма цифр числа делится на 9;

последняя цифра числа равна 0;

суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.

Источник

Какие признаки делимости чисел существуют

Признаки делимости чисел в математике — объяснение

Признаки делимости чисел — это условия, правила, по которым можно определить, делится ли число на заданное нам значение, т.е. кратно ли число делителю.

Делителем является число, на которое делится заданное число без остатка — нацело.

Термин «кратно» — синоним слову «делится».

Правила с доказательствами, определение

Любое натуральное число, которое оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, нужно отбросить нуль.

Если запись натурального числа заканчивается нулем, то число делится на 10 нацело.

Если запись натурального числа заканчивается любой другой цифрой, то число не делится нацело на 10.

Но 378 не делится без остатка на 10, потому что получим неполное частное: 378 : 10 = 37 (остаток 8 ).

На конце числа 378 стоит цифра 8 — она и будет остатком при делении на 10. Значит, 378 не делится нацело на 10.

Применение признака позволяет не производить расчеты, а сразу отвечать на вопрос, делится ли заданное число на десять.

Тогда число 5 является делителем числа 20, т. е. 20 делится на пять нацело, без остатка.

Тогда число 5 является делителем числа 15, т. е. 15 делится на 5 нацело.

В разрядах единиц 20 и 15 стоят 0 и 5 соответственно.

Разряд — это место цифры в числе.

Если запись натурального числа заканчивается цифрами 0 или 5, то такое число делится нацело на 5.

Можно перефразировать признак:

Если в разряде единиц заданного числа стоит 0 или 5, то число делится на 5.

Если запись натурального числа заканчивается цифрой, отличной от нуля и пяти, то число на 5 нацело не делится.

Числа 645 и 760 делятся на 5, так как они заканчиваются 5 и 0 соответственно.

344 не делится нацело на 5 по признаку делимости:

Если число делится нацело на 2, то его называют четным. Если число не делится нацело на 2, то его называют нечетным.

Цифры 0, 2, 4, 6, 8 — четные, а 1, 3, 5, 7, 9 — нечетные. Тогда любое число будет четным, если в разряде единиц у него стоит четная цифра, а нечетным — в разряде единиц стоит нечетная цифра.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то число делится на 2 нацело.

Если натуральное число оканчивается нечетной цифрой, то не делится нацело на 2.

Числа 14 и 56 делятся нацело на 2, так как они заканчиваются четными цифрами — 4 и 6.

Число 13 не делится нацело на 2, так как запись натурального числа заканчивается нечетной цифрой 3.

Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

Рассмотрим, делится ли 98 на 9.

Сумма цифр числа: 9+8=17.

17 не делится нацело на 9, тогда число 98 не делится нацело на 9.

Проверяем: 98 : 9 = 10 (остаток 8 ).

18 делится нацело на 9, значит, 468 делится нацело на 9:

Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на три.

Число 27 делится нацело на 3, так как сумма цифр делится на 3 нацело.

И, соответственно, 27:3=9.

Число 261 делится на 3 по признаку делимости:

Девять делится на 3 нацело, значит, число 261 делится на 3 нацело.

Дополнительные признаки делимости:

Натуральное число делится на 4 нацело в том случае, когда запись числа заканчивается двумя нулями или две последние цифры делятся на 4.

Например, по этому признаку число 144 делится на 4, так как 44 — две последние цифры — делится нацело на 4.

Натуральное число делится на 6 нацело тогда, когда число делится нацело и на 2, и на 3.

Значит, признак делимости на 6 включает в себя применения признака делимости на два и признака делимости на три.

Например, число 438 делится на 6 нацело.

Используя признак делимости на 6, поочередно применяем признаки делимости на 2 и 3.

Если число заканчивается четной цифрой, то оно делится на 2: число 438 заканчивается четной цифрой 8.

Значит, число делится и на 2, и на 3. Тогда 438 делится на 6 нацело.

Натуральное число делится на 8 нацело, если запись числа заканчивается тремя нулями либо если три последние цифры образуют число, которое делится на 8.

Например, 58000 делится на 8 по признаку делимости, так как число заканчивается тремя нулями.

Остальные признаки делимости можно вывести самостоятельно.

Где применяется в жизни

В жизни признаки делимости удобно применять тогда, когда под рукой нет гаджетов. И процесс определения делимости чисел значительно упрощается. При этом не нужно даже высчитывать результат непосредственного деления, если в задаче необходимо просто определить, делится ли одно число на другое.

Области применения признаков делимости:

Примеры решения задач

Назовите 3 числа, которые делятся на 2.

Вспоминаем признак делимости на 2:

Если число заканчивается четной цифрой, то оно делится на 2.

Тогда искомыми числами могут быть, например: 456, 768, 800.

Цифры 6, 8, 0 — четные: значит, числа 456, 768, 800 делятся на 2.

Какие из чисел 234, 450, 400, 3400, 35, 900, 235 000 делятся на 100?

Мы знаем признак делимости на 10:

Если число заканчивается 0, то число делится на 10.

Когда нужно определить, делится ли число на 100, действуем аналогично признаку делимости на 10. Только в этом случае нужно искать те числа, которые заканчиваются двумя нулями.

Тогда в ответе будут числа: 400, 3400, 900, 235 000.

Аналогично действуем тогда, когда нужно найти числа, которые делятся на 1000, 1000 и так далее. Ищем числа по количеству нулей после единицы в делителе.

Какие из чисел 100, 35, 450, 5680, 20 делятся и на 5, и на 10.

Число делится на 5, если заканчивается 0 или 5.

Число делится на 10, если заканчивается 0.

Тогда, чтобы число делилось и на 5, и на 10, нужно найти в признаках что-то общее. Общим будет окончание чисел на 0.

По признакам делимости на 5, и на 10 получаем в ответе числа: 100, 450, 5680 и 20.

Найдите три числа, которые делятся на 2 и на 9.

Чтобы число делилось и на 2, и на 9, должны выполняться условия обоих признаков.

Число делится на 2 тогда, когда оканчивается четной цифрой. Четные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8.

Число делится на 9 тогда, когда сумма цифр числа делится на 9.

Тогда искомыми числами могут быть: 18, 396 и 468.

В разряде единиц в 18, 396 и 468 стоят 8, 6 и 8 соответственно — четные цифры, значит числа 18, 396 и 468 делятся на 2.

Осталось проверить, делятся ли они на 9. Считаем сумму цифр в числах.

Значит, числа 18, 396 и 468 делятся на 9.

Числа удовлетворяют условиям.

Ответ: 18, 396 и 468.

Какие из чисел 456, 567, 3453, 768 и 34500 кратны 3?

Слово «кратно» является синонимом «делится». Тогда нужно найти числа, которые делятся на 3.

По признаку делимости искомыми будут числа, сумма цифр которых делится на три нацело.

Выбираем те числа, сумма которых делится на 3:

456, так как сумма цифр равна 15, а 15 делится на 3 нацело;

567, потому что сумма цифр равна 18, а 18 делится на 3 нацело;

3453 — сумма цифр равна 18, значит, число делится на 3;

768 — сумма цифр равна 21, значит, число делится на 3.

Источник

Признаки делимости

Как правило, признаки делимости применяются при ручном счёте и для чисел, представленных в конкретной позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Содержание

Понятия делимости, равноделимости и равноостаточности

Если для двух целых чисел и существует такое целое число что

то говорят, что число делится на

Два целых числа и равноостаточны при делении на натуральное число (или сравнимы по модулю ), если при делении на они дают одинаковые остатки, то есть существует такие целые числа что

Общие принципы построения

Пусть требуется определить, делится ли некоторое натуральное число на другое натуральное число Для этого будем строить последовательность натуральных чисел:

Тогда если последний член этой последовательности равен нулю, то делится на в противном случае на не делится.

Способ (алгоритм) построения такой последовательности и будет искомым признаком делимости на Математически он может быть описан с помощью функции определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

удовлетворяющей следующим условиям:

Если требование равноделимости для всех членов последовательности заменить на более строгое требование равноостаточности, то последний член этой последовательности будет являться остатком от деления на а способ (алгоритм) построения такой последовательности будет признаком равноостаточности на В силу того, что из равенства остатка при делении на нулю следует делимость на , любой признак равноостаточности может применяться как признак делимости. Математически признак равноостаточности тоже может быть описан с помощью функции определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

удовлетворяющей следующим условиям:

Примером такой функции, определяющей признак равноостаточности (и, соответственно, признак делимости), может быть функция

а последовательность, построенная с её помощью будет иметь вид:

По сути применение признака равноостаточности на базе этой функции эквивалентно делению при помощи вычитания.

Другим примером может служить общеизвестный признак делимости (а также равноостаточности) на 10.

Если последняя цифра в десятичной записи числа равна нулю, то это число делится на 10; кроме того, последняя цифра будет являться отстатком от деления исходного числа на 10.

Математически этот признак равноостаточности может быть сформулирован следующим образом. Пусть надо выяснить остаток от деления на 10 натурального числа представленного в виде

Тогда остатком от деления на 10 будет . Функция, описывающая это признак равноостаточности будет выглядеть как

Легко доказать, что эта функция удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Причём последовательность, построенная с её помощью, будет содержать всего один или два члена.

Также легко видеть, что такой признак ориентирован именно на десятичное представление числа — так, например, если применять его на компьютере, использующем двоичную запись числа, то чтобы выяснить , программе пришлось бы сначала поделить на 10.

Для построения признаков равноостаточности и делимости чаще всего используется следующие теоремы:

Продемонстрируем применение этих теорем на примере признаков делимости и равноостаточности на

Пусть дано целое число

Тогда из первой теоремы полагая будет следовать, что будет равноостаточно при делении на 7 с числом

Запишем функцию признака равноостаточности в виде:

И, наконец, остаётся найти такое , при котором для любого выполняется условие В данном случае и функция приобретает окончательный вид:

А из второй теоремы полагая и взаимно простое с 7, будет следовать, что будет равноделимы на 7 с числом

Учитывая, что числа и равноделимы на 7, запишем функцию признака делимости в виде:

И, наконец, остаётся найти такое , при котором для любого выполняется условие В данном случае и функция приобретает окончательный вид:

Признаки делимости в десятичной системе счисления

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Соответствующая признаку функция (см. раздел «Общие принципы построения»):

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 154, и равноостаточны при делении на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4. Например, число 12342 не делится на 4, так как не делится на 4.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, и равноостаточны при делении на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 73, и равноостаточны при делении на 6.

Признак делимости на 7

Признак 1: число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится Другой пример — число 1001 делится на 7, так как на 7 делятся

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, и равноостаточны при делении на 7.

Признак 2: число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа десятков и удвоенного числа единиц, взятая по модулю, делится на 7. Например, 364 делится на 7, так как на 7 делится

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 3. число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138689257 делится на 7, так как на 7 делится

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 567, и равноостаточны при делении на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например, 12345678 делится на 9, то есть на 9 делится

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 345, и равноостаточны при делении на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 11

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11. Например, 9163627 делится на 11, так как делится на 11. Другой пример — 99077 делится на 11, так как делится на 11.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся и

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, и равноостаточны при делении на 11.

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда модуль разности числа единиц и удвоеного числа десятков делится на 12. Например: 1236 делится на 12, так как делится на 12.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13. Например 845 делится 13, так как на 13 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как делится на 17.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованое двумя последними цифрами, делится на 20.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 23

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованое двумя последними цифрами, делится на 25.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 27

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимость на 29

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29. Например, 261 делится на 29, так как делится на 29.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Признак делимости на 31

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как делится на 31.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 37

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроеного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Соответствующая признаку функция:

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Соответствующая признаку функция:

Признак делимости на 41

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41. Например, 369 делится на 41, так как делится на 41.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 50

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 59

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 79

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся .

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 99

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, и равноостаточны при делении на 99.

Признак делимости на 101

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится

Соответствующая этому признаку функция:

Общие признаки делимости

Признак делимости на делитель степени основания системы счисления

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноостаточно с числом, образованным младшими его цифрами. Это свойство позволяет построить признак делимости и равноостаточности на делитель степени основания системы счисления.

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 и т. д.

Признак делимости на делитель

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноделимо с суммой чисел, образованных разбиением на группы по цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 и т. д.

Признак делимости на делитель

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноделимо с модулем знакопеременной суммы чисел, образованных разбиением на группы по цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 и т. д.

Признаки делимости в других системах счисления

Признаки делимости в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления (числа записаны в той системе, в которой мы работаем в данный момент):

Если основание системы счисления равно k, то любое число делится на k-1 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на k-1 без остатка. В частности:

Если основание системы счисления равно k, то любое число делится на k+1 тогда и только тогда, когда сумма цифр, занимающих нечётные места, отличается от суммы цифр на чётных местах на число, делящееся на k+1. В частности:

Если основание системы счисления делится на некоторое число k, то любое число делится на k тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на k. В частности:

Источник