Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
Сходимость функциональной последовательности и ряда.
Сходимость последовательности функций.
Пусть функции \(f_(x)\), \(n \in \mathbb\), определены на множестве \(E\) и пусть \(x_ <0>\in E\). Если числовая последовательность \(\(x_<0>)\>\) сходится, то последовательность функций \(\(x)\>\) сходится в точке \(x_<0>\).
Последовательность \(\(x)\>\), сходящуюся в каждой точке \(x \in E\), называют сходящейся на множестве \(E\). В этом случае на множестве \(E\) определена функция \(f(x)\), значение которой в любой точке \(x \in E\) равно пределу последовательности \(\(x)\>\). Эту функцию называют предельной функцией последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\) и пишут $$ \lim_f_(x) = f(x),\ x \in E,\label $$ или $$ f_(x) \rightarrow f(x),\ x \in E,\nonumber $$ или, короче, $$ f_ \xrightarrow[E]<> f.\nonumber $$
По определению предела запись \eqref означает, что $$ \forall x \in E\ \forall \varepsilon > 0\ \exists N = N_<\varepsilon>(x): \forall n \geq N \rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 1.
Найти предельную функцию \(f(x)\) последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\), если:
Сходимость функционального ряда.
Пусть функции \(u_(x)\), \(n \in \mathbb\), определены на множестве \(E\) и пусть для каждого \(x \in E\) существует конечный предел последовательности \(\(x)\>\), где \(S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x)\). Тогда ряд $$ \sum_^<\infty>u_(x),\label $$ называют сходящимся на множестве \(E\).
Если \(S(x)\) — предельная функция последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\), то есть $$ \lim_S_(x) = S(x),\ x \in E,\nonumber $$ то функцию называют \(S(x)\) суммой ряда \eqref и пишут $$ \sum_^<\infty>u_(x) = S(x),\ x \in E.\nonumber $$ Например, если \(u_(x) = x^\), \(E = (-1,1)\), то \(S_(x) = \displaystyle\frac<1-x^><1-x>\), \(S(x) = \displaystyle\frac<1><1-x>\). Если в каждой точке \(x \in E\) сходится ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>|u_(x)|\), то ряд \eqref называют абсолютно сходящимся на множестве \(E\).
Понятие равномерной сходимости последовательности функций.
Последовательность функций $$ \(x)\>\nonumber $$ называется равномерно сходящейся на множестве \(E\) к функции \(f(x)\), если $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>:\ \forall n \geq N_ <\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 2.
Доказать, что последовательность \(\(x)\>\) равномерно сходится на множестве \(E\), и найти ее предельную функцию \(f(x)\), если:
Чтобы последовательность функций \(\(x)\>\), определенных на множестве \(E\), сходилась равномерно на этом множестве к функции \(f(x)\), необходимо и достаточно, чтобы $$ \lim_ \sup_ |f_(x)-f(x)| = 0.\label $$
\(\circ\) Обозначим \(\sigma_ = \displaystyle\sup_ |f_(x)-f(x)|\). Тогда условие \eqref означает, что $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists n_<\varepsilon>: \forall n \geq n_ <\varepsilon>\rightarrow \sigma_ 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_ <\varepsilon>\rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 3.
Доказать, что последовательность \(\(x)\>\) сходится равномерно на множестве \(E\), и найти предельную функцию \(f(x)\), если:
Так как при \(x \neq 0\) справедливо неравенство \(1 + n^<\alpha>x^ <2>\geq 2n^<\alpha/2>|x|\), причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда \(n^<\alpha>x^ <2>= 1\), то есть \(|x| = n^<-\alpha/2>\), то $$ |f_(x)-f(x)| \leq \frac<2n^<2>|x|><2n^<\alpha/2>|x|> = \frac<1>>,\ x \neq 0.\nonumber $$ Следовательно, \(\displaystyle\sup_ |f_(x)-f(x)| = \frac<1>> \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(\alpha > 4\), и поэтому \(f_(x) \rightrightarrows 0\), \(x \in R\).
Чтобы последовательность функций \(\(x)\>\) сходилась равномерно на множестве \(E\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| Доказательство.
\(\circ\) Необходимость. Пусть \(f_(x) \rightrightarrows f(x)\), \(x \in E\). Тогда по определению равномерной сходимости $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f_(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>.\label $$
Доказать, что последовательность \(\(x)\>\), где \(f_(x) = \displaystyle\frac<\ln nx><\sqrt>\), не является равномерно сходящейся на множестве \(E = (0, 1)\).
\(\vartriangle\) Для любого \(k \in \mathbb\) возьмем \(p = k = n\), \(\tilde = 1/k = 1/n\). Тогда $$ |f_(\tilde)-f_(\tilde)| = \left|f_<2n>(\frac<1>)-f_ (\frac<1>)\right| = \left|\frac<\ln 2><\sqrt<2>>-\ln 1\right| = \frac<\ln 2><\sqrt<2>> = \varepsilon_<0>,\nonumber $$ то есть выполняется условие \eqref, и поэтому последовательность \(\(x)\>\) не является равномерно сходящейся на \(E\). \(\blacktriangle\)
Если существует предельная функция \(f(x)\) последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\), но не выполняется условие \eqref, то есть $$ \exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>,\label $$ то говорят, что последовательность \(\(x)\>\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к функции \(f(x)\).
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве \(E\) последовательность \(\(x)\>\), если:
Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие \eqref не выполняется, то есть $$ \sup_|f_(x)-f(x)| \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label $$ то \(\(x)\>\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к \(f(x)\).
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность \(f_(x) = n^<2>x^<2>e^<-nx>\), \(E = (0, 2)\).
\(\vartriangle\) Предельная функция \(f(x) = 0\), \(x \in E\). Так как уравнение \(f_‘(x) = n^<2>xe^<-nx>(2-xn)\) имеет на интервале (0,2) единственный корень \(x_ = 2/n\), причем \(f_‘(x) > 0\) при \(x \in (0, x_)\) и \(f_‘(x)
Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.
Пусть функции \(u_(x)\), \(n \in \mathbb\), определены на множестве \(E\). Обозначим $$ S_(x) = \sum_^u_(x).\label $$
Ряд $$ \sum_^<\infty>u_(x),\label $$ называется равномерно сходящимся на множестве \(E\), если на этом множестве определена функция \(S(x)\) такая, что $$ S_(x) \rightrightarrows S(x),\ x \in E.\label $$
Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись \eqref означает, что $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |r_(x)| 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |r_(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>,\label $$ или $$ \sup_|r_(x)| \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label $$ то ряд \eqref сходится неравномерно на множестве \(E\).
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)\), если:
(критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для того чтобы ряд \eqref равномерно сходился на множестве \(E\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, то есть $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_^ u_(x)\right| Доказательство.
\(\circ\) По определению равномерная сходимость ряда \eqref на множестве \(E\) означает равномерную сходимость последовательности \(\(x)\>\) на \(E\).
Согласно теореме 2 \(S_(x) \rightrightarrows S(x)\) на \(E\) тогда и только тогда, когда $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S_(x)| 0: \forall m \in \mathbb\ \exists n \geq m\ \exists p \in \mathbb\ \exists\ \tilde \in E: \left|\sum_^ u_(\tilde)\right| \geq \varepsilon_<0>,\label $$ то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве \(E\). В частности, если $$ \exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall n_ <0>\in \mathbb:\ \forall n \geq n_<0>\ \exists\ x_ \in E: |u_(x_)| \geq \varepsilon_<0>,\label $$ то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве \(E\).
Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)\) не является равномерно сходящимся на множестве \(E\), если:
Если для функционального ряда \eqref можно указать такой сходящийся числовой ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), что для всех \(n \geq n_<0>\) и для всех \(x \in E\) выполняется условие $$ |u_(x)| \leq a_,\label $$ то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве \(E\).
\(\circ\) Согласно условию \eqref для любого \(n \geq n_<0>\), любого \(p \in \mathbb\) и для каждого \(x \in E\) выполняется неравенство $$ \left|\sum_^u_(x)\right| \leq \sum_^|u_(x)| \leq \sum_^a_.\label $$ Из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) следует (свойства сходящихся рядов можно посмотреть здесь), что для него выполняется условие Коши, то есть $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \rightarrow \sum_^a_ Следствие.
Если сходится ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), где \(a_ = \sup_|u_(x)|\), то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве \(E\).
Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)\) сходится равномерно на множестве \(E\), если:
Признак Дирихле.
Ряд $$ \sum_^<\infty>a_(x)b_(x),\label $$ сходится равномерно на множестве \(E\), если выполняются условия:
Условие \eqref означает, что $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |a_(x)| Пример 10.
Доказать, что при \(\alpha > 0\) ряд $$ \sum_^<\infty>\frac<\sin nx>>,\label $$ сходится равномерно на множестве \(E = [\delta, 2\pi-\delta]\), где \(0 Решение.
\(\vartriangle\) Если \(\alpha > 1\), то по признаку Вейерштрасса ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на \(\mathbb\), так как \(|\sin x| \leq 1\), а ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1>>\), где \(\alpha > 1\), сходится.
Признак Абеля.
Ряд \eqref сходится равномерно на множестве \(E\), если выполняются условия:
\(\circ\) Обозначим \(B_^<(n)>(x) = \displaystyle\sum_^b_(x)\). Тогда ряд \eqref в силу теоремы 3 удовлетворяет условию Коши, то есть $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_ <\varepsilon>\forall j \in \mathbb\ \rightarrow |B_^<(n)>(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_^a_(x)b_(x)\right|
Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
Если все члены ряда \eqref — непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции, а ряд \eqref сходится равномерно на \([a, b]\), то его сумма \(S(x)\) также непрерывна на отрезке \([a, b]\).
\(\circ\) Пусть \(x_<0>\) — произвольная точка отрезка \([a, b]\). Для определенности будем считать, что \(x_ <0>\in (a, b)\).
Нужно доказать, что функция $$ S(x) = \sum_^<\infty>u_(x)\nonumber $$ непрерывна в точке \(x_<0>\), то есть $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_<\delta>(x_<0>) \rightarrow |S(x)-S(x_<0>)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in [a, b] \rightarrow |S(x)-S_(x)| 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_<\delta>(x_<0>) \subset [a, b] \rightarrow |S_>(x)-S_>(x_<0>)| Замечание 1.
Если последовательность \(\(x)\>\) непрерывных на отрезке \([a, b]\) функций равномерно сходится на \([a, b]\), то ее предельная функция \(S(x)\) также непрерывна на отрезке \([a, b]\).
\(\circ\) Доказательство этого утверждения следует из теоремы 7. \(\bullet\)
Почленное интегрирование функционального ряда.
Если все члены ряда \eqref — непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции, а ряд \eqref сходится равномерно на \([a, b]\), то ряд $$ \sum_^<\infty>\int\limits_a^x u_(t)\ dt,\label $$ также равномерно сходится на \([a, b]\), и если $$ S(x) = \sum_^<\infty>u_(x),\label $$ то $$ \int\limits_a^x S(t)\ dt = \sum_^<\infty>\int\limits_a^x u_(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\label $$ то есть ряд \eqref можно почленно интегрировать.
\(\circ\) По условию ряд \eqref сходится равномерно к \(S(x)\) на отрезке \([a, b]\), то есть \(S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x) \rightrightarrows S(x)\), \(x \in [a, b]\). Это означает, что $$ \forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \in N_<\varepsilon>\ \forall t \in [a, b] \rightarrow |S(t)-S_(t)| Замечание 2.
Равенство \eqref остается в силе, если заменить \(a\) на \(c\), \(x\) на \(d\), где \(a \leq c \leq d \leq b\), то есть ряд \eqref можно при условиях теоремы 9 почленно интегрировать на любом отрезке \([c, d] \subset [a, b]\).
Если \(S_(t) \rightrightarrows S(t)\), \(x \in [a, b]\), а каждая из функций \(S_(t)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то $$ \int\limits_>^x S_(t)\ dt \rightrightarrows \int\limits_>^x S(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\nonumber $$ для любой точки \(x_ <0>\in [a, b]\).
\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 9. \(\bullet\)
Почленное дифференцирование функционального ряда.
Если функции \(u_(x)\), \(n \in \mathbb\), имеют непрерывные производные на отрезке \([a, b]\), ряд $$ \sum_^<\infty>u_‘(x),\label $$ сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), а ряд $$ \sum_^<\infty>u_(x),\label $$ сходится хотя бы в одной точке \(x \in [a, b]\), то есть сходится ряд $$ \sum_^<\infty>u_(x_<0>),\label $$ то ряд \eqref сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), и его можно почленно дифференцировать, то есть $$ S'(x) = \sum_^<\infty>u_‘(x),\label $$ где $$ S(x) = \sum_^<\infty>u_(x),\label $$
\(\circ\) Обозначим через \(\tau(x)\) сумму ряда \eqref, то есть $$ \tau(x) = \sum_^<\infty>u_‘(x),\label $$
По теореме 9 ряд \eqref можно почленно интегрировать, то есть $$ \int\limits_>^x \tau(t)\ dt = \sum_^<\infty>\int\limits_>^x u_‘(t)\ dt,\label $$ где \(x_<0>,\ x \in [a, b]\), причем ряд \eqref сходится равномерно на отрезке \([a, b]\). Так как \(\displaystyle\int\limits_>^x u_‘(t)\ dt = u_(x)-u_(x_<0>)\), то равенство \eqref можно записать в виде $$ \int\limits_>^x \tau(t)\ dt = \sum_^<\infty>v_(x),\label $$ где $$ v_(x) = u_(x)-u_(x_<0>).\label $$ Ряд \eqref сходится равномерно, а ряд \eqref сходится (а значит, и равномерно сходится на отрезке \([a, b]\)). Поэтому ряд \eqref сходится равномерно на \([a, b]\) как разность равномерно сходящихся рядов.
Из равенств \eqref, \eqref и \eqref следует, что $$ \int\limits_>^x \tau(t)\ dt = S(x)-S(x_<0>).\label $$
Так как функция \(\tau(t)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\) по теореме 7, то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть равенства \eqref имеет производную, которая равна \(\tau(x)\). Следовательно, правая часть \eqref — дифференцируемая функция, а ее производная равна \(S'(x)\). Итак, доказано, что \(\tau(x) = S'(x)\), то есть справедливо равенство \eqref для всех \(x \in [a, b]\). \(\bullet\)
При условиях теоремы 11 функция \(S'(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то есть \(S(x)\) — непрерывно дифференцируемая на \([a, b]\) функция.
Если последовательность \(\(x)\>\) непрерывно дифференцируемых на \([a, b]\) функций сходится хотя бы в одной точке \(x_ <0>\in [a, b]\), а последовательность \(\‘(x)\>\) сходится равномерно на \([a, b]\), то последовательность \(\(x)\>\) также сходится равномерно на \([a, b]\) к некоторой функции \(S(x)\) и $$ S'(x) = \lim_S_‘(x),\quad x \in [a, b].\nonumber $$
\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 11. \(\bullet\)
То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция — закон соответствия, который каждому [math]x \in E[/math] сопоставляет некоторое число. При этом, все [math]x[/math] фигурировали изолированно.
Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для [math] f [/math] свойство [math]P[/math] может отсутствовать.
Тогда [math]f[/math] будет разрывна в нуле, свойство непрерывности не сохранилось.
Равномерная сходимость [ править ]
Возникает вопрос: «Что ещё надо потребовать от поточечной сходимости, чтобы в пределе [math]P[/math] сохранилось?»
Классическое требование: равномерная сходимость.
Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как их наиболее удобно использовать в математическом анализе, и вообще это очень круто и популярно.
Критерий Коши равномерной сходимости [ править ]
[math]\Longrightarrow[/math] Пусть ряд равномерно сходится.
[math]\forall x \in E[/math] для [math]\sum\limits_^\infty f_n(x)[/math] выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем [math]E[/math] определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.
По условию критерия Коши, [math]\forall m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_^m f_k(x) \right| \leq \varepsilon[/math]
Значит, определение равномерной сходимости проверено.
[math]\triangleleft[/math]
Признак Вейерштрасса [ править ]
Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)
Можно рассматривать [math]\sum\limits_^\infty |f_n|[/math] и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.
Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.
Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость
Содержание:
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов числовой ряд Если ряд (1) сходится в каждой точке х множества D С Е и расходится в каждой точке, множеству D не принадлежащей, то говорят, что ряд сходится на множестве D, и называют D областью сходимости ряда. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится ряд В случае сходимости ряда (1) на множестве D его сумма S будет являться функцией, определенной на D.
Область сходимости некоторых функциональных рядов можно найти с помощью известных достаточных признаков, установленных для рядов с положительными членами, например, признака Дапамбера, признака Коши. Пример 1. Найти область сходимости ряда М Так как числовой ряд сходится при р > 1 и расходится при р ^ 1, то, полагая р — Igx, получим данный ряд. который будет сходиться при Igx > Ц т.е. если х > 10, и расходиться при Igx ^ 1, т.е. при 0
Равномерная сходимость Среди всех сходящихся функциональных рядов важную роль играют так называемые равномерно сходящиеся ряды. Пусть дан сходящийся на множестве D функциональный ряд сумма которого равна S(x). Возьмем его n-ю частичную сумму Определение. Функциональный ряд ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Область сходимости Равномерная сходимость Признак Вейерштрасса Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов называется равномерно сходящимся на множестве ПС1), если для любого числа е > О найдется число ЛГ > О такое, что неравенство будет выполняться для всех номеров п > N и для всех х из множества fI. Замечание.
Здесь число N является одним и тем же для всех х € Ю, т.е. не зависит от z, однако зависит от выбора числа е, так что пишут N = N(e). Равномерную сходимость функционального ряда £ /п(®) к функции 5(х) на множестве ft часто обозначают так: Определение равномерной сходимости ряда /п(ж) на множестве ft можно за- писать короче с помощью логических символов: Поясним геометрически смысл равномерной сходимости функционального ряда.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Теорема 1 (признак Вейерштрасса):
Пусть для всех х из множества Q члены функционального ряда по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда П=1 с положительными членами, т. е. для всех х € Q. Тогда функциональный ряд (1) на множестве П сходится абсолютно и равномерно. А Тек как по условию теоремы члены ряда (1) удовлетворяют условию (3) на всем множестве Q, то по признаку сравнения ряд 2 \fn(x)\ сходится при любом х € И, и, следовательно, ряд (1) сходится на П абсолютно.
Докажем равномерную сходимость ряда (1).
Пусть на отрезке [а, Ь\ ряд £ fn(x)
равномерно сходится к функции 5(ж), а функ- ция д(х) ограничена, т. е. существует постоянная С > 0 такая, что По определению равномерной сходимости ряда для любого числа е > 0 существует номер N такой, что для всех п > N и для всех х € [а, Ь] будет выполняться неравенство где 5n(ar) — частичная сумма рассматриваемого ряда.
Так как х является произвольной точкой отрезка [а, 6], то 5(ж) непрерывна на |а, 6|. Замечание. Функциональный ряд члены которого непрерывны на отрезке [а, 6), но который сходится на (а, 6] неравномерно, может иметь суммой разрывную функцию. Пример 1. Рассмотрим функциональный ряд на отрезке |0,1). Вычислим его n-ю частичную сумму Поэтому Она разрывна на отрезке [0,1], хотя члены ряда непрерывны на нем.
Пусть все члены fn(x) ряда непрерывны, и ряд сходится равномерно на отрезке [а, Ь] к функции S(x). Тогда справедливо равенство В силу непрерывности функций f„(x) и равномерной сходимости данного ряда на отрезке [а, 6] его сумма 5(ж) непрерывна и, следовательно, интегрируема на [a, ft].
Рассмотрим разность
Из равномерной сходимости ряда на [о, Ь] следует, что для любого е > 0 найдется число N(e) > 0 такое, что для всех номеров п > N(e) и для всех х € [а, 6] будет выполняться неравенство Если ряд fn(0 не является равномерно сходящимся, то его, вообще говоря, нельзя почленно интегрировать, т. е. Теорема 5 (о почленном дифференцировании функционального ряда). Пусть все члены сходящегося ряда 00 имеют непрерывные производные и ряд составленный из этих производных, равномерно сходится на отрезке [а, Ь].
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
