Что значит решить задачу в общем виде
Решение математических задач
Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи получаем то, что требуется найти – ответ.
Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический метод, а так же комбинированный.
Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами. Одну и туже задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений в процессе решения задачи.
Решить задачу алгебраическим методом – значит найти ответ на требование задачи путем составления и решения уравнения или системы уравнений.
Текстовые задачи алгебраическим методом решают по следующей схеме:
1) выделяют величины, о которых идет речь в тексте задачи, и устанавливают зависимость между ними;
2) вводят переменные (обозначают буквами неизвестные величины);
3) с помощью введенных переменных и данных задачи составляют уравнение или систему уравнений;
4) решают полученное уравнение или систему;
5) проверяют найденные значения по условию задачи и записывают ответ.
Комбинированный метод решения включает как арифметический, так и алгебраический способы решения.
В начальной школе задачи делят по количеству действий при решении на простые и составные. Задачи, в которых для ответа на вопрос нужно выполнить только одно действие, называют простыми. Если для ответа на вопрос задачи нужно выполнить два и более действий, то такие задачи называют составными.
Составную задачу, тек же как и простую, можно решить, используя различные способы.
Задача. Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные – щуки. Сколько щук поймал рыбак?
Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим пойманных рыб.
Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойманных щук соответствует не обозначенным кругам – их три.
1) 3+4=7(р) – пойманные рыбы;
2) 10 – 7 = 3(р) – пойманные щуки.
Пусть х – пойманные щуки. Тогда количество всех рыб можно записать выражением: 3 + 4 + х. По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб. Значит: 3 + 4 + х = 10. Решив это уравнение, получим х = 3 и тем самым ответим на вопрос задачи.
Этот способ, так же как и практический, позволят ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий.
В математике общепринято следующее деление процесса решения задач:
1) анализ текста задачи, схематическая запись задачи, исследование задачи;
2) поиск способа решения задачи и составление плана решения;
3) осуществление найденного плана;
4) анализ найденного решения задачи, проверка.
Методы поиска решения задачи можно назвать следующие:
1) Анализ: а) когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи; б) когда целое расчленяют на части;
2) Синтез: а) когда двигаются от данных задачи к искомым;
б) когда элементы объединяют в целое;
3) Переформулировка задачи (четко формулировать промежуточные задания, возникающие по ходу поиска решения);
4) Индуктивный метод решения задачи: на основе точного чертежа усмотреть свойства фигуры, сделать выводы и доказать их;
5) Применение аналогии (вспомнить аналогичную задачу);
6) Прогнозирование – предвидение тех результатов, к которым может привести поиск.
Рассмотрим более подробно процесс решения задачи:
Задача на движение. Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 ч, а обратно – за 8ч. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?
Анализ задачи. В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет собственную скорость, а плот и река, по которой плывут лодка и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь по течению реки за меньшее время (6ч), чем против течения (8ч). Но эти скорости в задаче не даны, так же как неизвестно и расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные, а время, за которое плот проплывет это расстояние.
Лодка 6 ч 
А В
плот лодка
Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В. Для того, чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они неизвестны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой S (км),а скорость течения а км/ч.Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи, нужно знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, она равна V км/ч. Отсюда возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.
Осуществление решения задачи. Пусть расстояние равно S (км), скорость течения реки а км/ч, собственная скорость лодки V км/ч, а искомое время движения плота равно х ч.
Тогда скорость лодки по течению реки равна (V+а) км/ч. За 6ч лодка, идя с этой скоростью, прошла расстояние в S (км). Следовательно, 6(V + а) = S (1). Против течения эта лодка идет со скоростью (V – а) км/ч и данный путь она проходит за 8 ч, поэтому 8(V – а) = S (2). Плот, плывя со 
скоростью течения реки а км/ч, проплыл расстояние S (км) за х ч, следовательно, ах = S (3).
Полученные уравнения образуют систему уравнений относительно неизвестных а, х, S, V. Так как требуется найти лишь х, то остальные 
неизвестные постараемся исключить. 
Проверка решения. Мы нашли, что плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч. Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна 
. Скорость же лодки по течению реки равна 
км/ч, а против течения 
км/ч. Для того, чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами: 
+ 
и
– 
. Произведя вычисления, получим верное равенство: 
= 
. Значит, задача решена правильно.
Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48 часов.
Анализ решения. Мы свели решение этой задачи к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти надо было одно неизвестное. Поэтому возникает мысль, что данное решение не самое удачное, хотя и простое. Можно предложить другое решение.
Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 6ч, а против – за 8ч, найдем, что в 1ч лодка, идя по течению реки проходит 
часть этого расстояния, а против течения 
. Тогда разность между ними 
– 
= 
есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1ч. Значит. Плот за 1ч проплывет 
часть расстояния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 ч.
При таком решении нам не понадобилось составлять систему уравнений. Однако это решение сложнее приведенного выше (не всякий догадается найти разность скоростей лодки по течению и против течения реки).
Упражнения для самостоятельной работы
1. Турист, проплыв по течению реки на плоту 12 км, обратно возвратился на лодке, скорость которой в стоячей воде равна 5 км/ч, затратив на все путешествие 10 ч. Найдите скорость течения реки.
2. Одна мастерская должна сшить 810 костюмов, другая за этот же срок – 900 костюмов. Первая закончила выполнение заказов за 3 дня, а вторая за 6 дней до срока. Сколько костюмов в день шила каждая мастерская, если вторая шила в день на 4 костюма больше первой?
3. Два поезда выехали навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми равно 400 км. Через 4 часа расстояние между ними сократилось до 40 км. Если бы один из поездов вышел на 1 час раньше другого, то их встреча произошла бы на середине пути. Определите скорости поездов.
4. На одном складе 500 т угля, а на другом – 600 т. Первый склад ежедневно отпускает 9 т, а второй – 11 т угля. Через сколько дней угля на складах станет поровну?
5. Вкладчик взял из сбербанка 25 % своих денег, а потом 64 000рублей. После чего осталось на счету 35 % всех денег. Какой был вклад?
6. Произведение двузначного числа и его суммы цифр равно 144. Найдите это число, если в нем вторая цифра больше первой на 2.
7. Решите следующие задачи арифметическим методом:
а) На путь по течению реки моторная лодка затратила 6 ч, а на обратный путь – 10 ч. Скорость лодки в стоячей воде 16 км/ч. Какова скорость течения реки?
в) Длина прямоугольного поля 1536 м, а ширина 625 м. Один тракторист может вспахать это поле за 16 дней, а другой за 12 дней. Какую площадь вспашут оба тракториста, работая в течении 5 дней?
Стоит ли решать все задачи «в общем виде»?
Основными требованиями при решении количественных задач по физике в школе являются поиск, составление и решение системы уравнений (формул), ответственных за описанное в условии задачи физическое явление (или процесс) в общем виде. Последнее требование обязательно для участников всевозможных олимпиад и абитуриентов (а также на вступительных экзаменах или при выполнении заданий КИМ ЕГЭ из серии С). Однако при организации практикума по решению физических задач, в особенности в классах с углублённым изучением предмета, необходимо обратить внимание и на то, что довольно часто встречаются нестандартные физические задачи, которые в общем виде не могут быть решены в принципе или не могут быть решены учащимися с данной подготовкой. Приведём несколько примеров.
Задача 1 (республиканская олимпиада). Материальная точка движется по дуге окружности радиусом R = 1 м. Скорость точки изменяется по закону 
где 
Найдите ускорение (по модулю) точки М в тот момент, когда угол 
= 60°.
Введём систему координат ХY. Проекция скорости на ось Х:
Отметим, что попытка решения учащимися этой задачи «в общем виде» не увенчалась успехом, потому что такое решение требует применения сложных математических преобразований и привлечения понятия «скорость как производная перемещения по времени». Простое решение получается только из-за того, что зависимость скорости 
от угла именно 
и, следовательно, тело вдоль оси Х движется равномерно. Естественно, решили задачу только те, кто догадался построить величину проекции скорости х = const.
Задача 2 (ЗФТШ при МФТИ). Автомобиль массой 1 т пытается въехать без разгона на гору с углом наклона = 30°. Коэффициент трения между шинами автомобиля и поверхностью горки 
= 0,1. С каким ускорением будет двигаться автомобиль? Считать все колеса ведущими.
Максимальная сила трения покоя (колёс относительно поверхности горки):
Составляющая силы тяжести, препятствующая движению автомобиля:
Видим, что Fтяж.х > Fтр.п.maх, т.е. при любой силе тяги мотора машина не сможет въехать в гору, колёса будут пробуксовывать. Таким образом, ускорение автомобиля будет а = 0.
Решение задачи требует предварительной оценки величины трения покоя колёс о поверхность горки.
Задача 3 (старые издания задачника А.П.Рымкевича или задачник Г.Н.Степановой). Какова сила трения, действующая на брусок массой m, с каким ускорением движутся грузы и какова сила натяжения нити, если h = 60 cм, l = 1 м, m = 0,5 кг, = 0,25? Решите задачу при значениях массы M: 0,1 кг; 0,25 кг; 0,3 кг; 0,35 кг; 0,5 кг. Блок считать идеальным.
Пояснение. Отметим, что именно здесь проявляются основные трудности решения задач на динамику тел с учётом сил трения. Естественно, такую задачу без выяснения состояния тел – покой или движение, направление движения – невозможно решить в общем виде. Сначала необходимо для каждого значения массы M оценить численные значения и направления всех сил, действующих на каждое из связанных тел. Очевидно, что силой тяги, действующей на тело массой m, является сила, численно равная весу второго тела массой М. В дальнейшем следует сопоставить все силы, действующие на тело, находящееся на наклонной плоскости, и установить, движется ли оно и в каком направлении. Далее можно оценить ускорение движения тела для данного случая из условия задачи. Проведём анализ, например, для М = 0,25 кг.
Условие задачи не позволяет заранее выяснить конечное состояние термодинамической системы (ТДС) в общем виде: после смешивания двух ТДС в различных состояниях (с различными фазами, температурами) устанавливается некоторое равновесие общей системы, термодинамические параметры которой неизвестны, а часто неизвестно и агрегатное состояние. В таких случаях полезно провести предварительную оценку.
Сначала для наглядности приведём графики зависимости температуры t° системы от времени t теплообмена с окружением (другой ТДС):
а) график с выделением тепла (охлаждение ТДС), при этом возможны фазовые превращения;
б) график с поглощением теплоты (нагревание ТДС), тоже возможны фазовые превращения.
Нетрудно догадаться, что при смешивании двух ТДС, находящихся в различных фазовых состояниях и имеющих различные температуры, можно получить любое равновесное состояние. Фазовое состояние новой ТДС и его температура определяются массами m и термодинамическими характеристиками смешиваемых систем (теплоёмкостью с фазового состояния систем до и после их смешивания и удельной теплотой фазовых превращений 
, L).
Некоторые возможные процессы установления равновесного состояния могут быть показаны графически (для случая смешивания одного и того же вещества в различных фазах: твёрдое–жидкое, жидкое–пар). Заметим, что многие методисты по оси абсцисс откладывают количество теплоты Q, которым данная ТДС обменивается с окружением, т.е. с другой, смешивающейся с ней, ТДС. Думаем, что здесь никаких противоречий нет, – процесс теплообмена идёт во времени.
При смешивании ТДС 1 и 2 устанавливается равновесие системы 1 с новой системой 2, причём изменение состояния системы 2 идёт за счёт только охлаждения системы 1; выделенное количество теплоты идёт на нагревание системы 2 в начальной фазе, на фазовый переход и на нагревание новой фазы этой системы. Уравнение теплового баланса в этом случае запишется так:
где первый индекс обозначает номер системы, второй – номер процесса, причём индекс «0» относится к фазовому переходу, с – удельная теплоёмкость, q – удельная теплота фазового перехода, 
– конечная температура смеси.
Процесс опять идёт за счёт только охлаждения системы 1, при этом только часть системы 2 переходит в новую фазу. Уравнение теплового баланса имеет вид:
где 
– масса части системы 2, перешедшей в новую фазу.
Часть системы 1 переходит в новую фазу. Процесс сопровождается нагреванием системы 2 за счёт охлаждения системы 1 и выделения ею теплоты фазового перехода. Уравнение теплового баланса:
где 
= t0, 
– масса части системы 1, перешедшей в новую фазу.
Система 1, охлаждаясь, переходит целиком в новую фазу и охлаждается далее до равновесного состояния, а система 2 только нагревается до этой температуры. Уравнение теплового баланса имеет вид:
Следует заметить, что наклоны приведённых на рисунке графиков определяются массой и удельной теплоёмкостью соответствующей фазы ТДС, а длина горизонтальной линии фазового перехода (время фазового превращения) – массами смешиваемых веществ. Встречаются задачи, в которых равновесие может наступать после нескольких фазовых переходов одного и того же вещества типа пар 
жидкость твёрдая фаза, или наоборот. Возможны задачи о тепловом контакте систем, представляющих собой вещества различной природы с различными температурами фазового перехода.
Подводя итог, отметим, что такого типа задачи в общем виде решить невозможно. Необходимо предварительно оценить, какое равновесное состояние должно установиться при смешивании систем, какое из четырёх уравнений теплового баланса следует выбрать при решении задачи. Поэтому, естественно, нужна предварительная количественная оценка тепловых эффектов наблюдаемых процессов. Возможно, придётся учитывать роль калориметра, где происходит перемешивание. Нетрудно догадаться, что задачи этого типа требуют логических рассуждений, предварительных оценок и могут быть решены подготовленными учащимися.
Для решения задачи 4 сделаем предварительные оценки:
При охлаждении пара до точки конденсации (100 °С) выделяется количество теплоты
Qп = спmп
t°п = 44 кДж.
При конденсации пара выделяется количество теплоты
Для нагревания льда до 0 °С необходимо количество теплоты
Qнл = слmлt°л = 84 кДж.
Для плавления льда необходимо количество теплоты
Qпл = 
mл = 320 кДж.
Для нагревания воды (лёд растаял) от 0 до 100 °С необходимо количество теплоты
Qн = свmлt°в = 420 кДж.
Сравнение оценённых значений количеств теплоты показывает, что
Таким образом, общее сопротивление i = k звеньев Zk будет отличаться (можно это заметить) от предыдущего сопротивления Zk–1 специфическим коэффициентом в скобках:
Такого типа дроби в курсе математики классифицируются как цепные. В таблице справа приведён результат решения этой задачи с помощью ЭВМ для двух «коэффициентов деления».
Как видно, при R2 = 10R добавление в электрическую схему новых звеньев, начиная с 8-го, не влияет на величину общего сопротивления Zk с точностью до 11-й цифры после запятой (ЭВМ даёт Z20 
1,9512492197R = Z8). А если точность оценки уменьшить до 4-й цифры, то достаточно четырёх звеньев.
При R2 = 2R совпадение до 4-й цифры начнётся лишь с 5-го звена, при R2 = R – с 7-го звена. Составители Соросовской задачи предложили задачу с R2 = 10R, когда добавление 3-го звена уже практически не меняет результат, и на этом решение задачи можно прекратить.
| R2 = 10R | R2 = 2R | |
| i = 1 | Z1= 2R | Z1 = 2R |
| i = 2 | Z2 1,9523809524R | Z2 1,8000000000R |
| i = 3 | Z3 1,9512761021R | Z3 1,7826086957R |
| i = 4 | Z4 1,9512498586R | Z4 1,7809523810R |
| i = 5 | Z5 1,9512492349R | Z5 1,7807933194R |
| i = 6 | Z6 1,9512492201R | Z6 1,7807780320R |
| i = 7 | Z7 1,9512492197R | Z7 1,7807765627R |
| i = 8 | Z8 1,9512492197R Z7 | Z8 1,7807764214R |
| i = 9 | Z9 1,7807764078R | |
| i = 10 | Z10 1,7807764065R | |
| i = 11 | Z11 1,7807764064R | |
| i = 12 | Z12 1,7807764064R Z11 |
Шамиль Габдинурович Зиятдинов – выпускник Бирского ГПИ 1972 г. После службы в Советской Армии работал в школе учителем физики. В 1980 г., окончив аспирантуру МГПИ под руководством проф. И.В.Разумовской, защитил кандидатскую диссертацию и вернулся в Бирск, где со дня открытия лицея при Бирском ГПИ преподаёт физику в физико-математических классах, совмещая эту работу с преподаванием в ГПИ. Многие его выпускники поступили в вузы физико-математического и технического направления. Сыновья продолжили дело отца: поступили на физфак МГУ им. М.В.Ломоносова. Старший уже окончил и сейчас учится в аспирантуре в Ридгерсовском университете (США). Супруга преподает французский язык в Бирском пединституте. Награждён знаком «Почётный работник высшего профессионального образования РФ». Автор более 150 научных и научно-методических работ. Область научных интересов — методика преподавания физики в инновационных школах, организация практикума по решению физических задач повышенной трудности, физические аспекты экологических проблем современности, экологические проблемы энергетики, радиационная экология.