Что значит решить уравнение относительно переменной
6.5.1. Линейное уравнение с одной переменной
У очень многих школьников возникает вопрос — как решить уравнение с x. Что значит решить уравнение и как найти корень уравнения. Давайте рассмотрим основную схему решения обычного уравнения, называемого линейным, с одной переменной.
Правила и определения
Основные правила и определения для линейного уравнения с одной переменной.
Примеры. Решить уравнение.
Уравнение 1
Ответ: 5.
Уравнение 2
3∙(2х-9) = 4∙(х-4).
Ответ: 5,5.
Уравнение 3
Уравнение 4
Ответ: 13.
Уравнения для самостоятельного решения
Решить самостоятельно уравнения:
а) 3-2,6х = 5х+1,48;
б) 1,6 · (х+5) = 4 · (4,5-0,6х);
в) 9х- (6х+2,5) = — (х-5,5);
Важные выводы
Итак, для того, чтобы решить уравнение — надо определить его переменную, перенести неизвестную переменную в левую часть уравнения, а известные — в праву. При необходимости упростить левую и правую части и затем найти корень уравнения.
Метод решения относительно одной переменной
Методы решения нелинейных уравнений и неравенств в целых числах
При решении нелинейных уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:
1. Метод разложения на множители;
2. Метод решения относительно одной переменной;
6. Метод доказательства от противного;
7. Метод параметризации уравнения;
8. Функционально-графический метод.
Метод разложения на множители
· Вынесение общих множителей за скобку.
Задание 1. Решить в целых числах уравнение 2х 3 +ху-7=0
Решение: Приведем уравнение к виду: х(2х 2 +у)=7. Так как 
, то рассмотрим четыре системы уравнений: 
Из каждой системы получаем решения.
· Применение формул сокращенного умножения.
Задание 2. Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.
. Из каждой системы получаем решения
Задание 3. Решить в целых числах уравнение ху+3х-у=6..
Задание 3. Решить в целых числах уравнение ху+3х-у=6.
Решение: Запишем уравнение в виде х(у+3)-(у+3)=3 или (х-1)(у+3)=3. Так как 
, то рассмотрим четыре системы 
Из каждой системы получаем решения.
Разложение квадратного трехчлена.
Метод решения относительно одной переменной
· Выделение целой части.
Задание 6 (МГУ, 1997). Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению 3ху+14х+17у+71=0
Замечание: в данном примере суть выделения целой части состоит в избавлении переменной х из числителя. В решении был использован прием домножения обеих частей равенства на коэффициент при х в знаменателе. Этот прием домножения также удобно использовать при решении уравнений методом разложения на множители.
· Использование дискриминанта (неотрицательность).
Задание 7: Решить в целых числах уравнение 3(х 2 +ху+у 2 )=х+8у
· Использование дискриминанта (полный квадрат).
1. Если t 2 =0, то уравнение 3(у-1) 2 =4 не имеет целого решения у.
Метод оценки
· Использование известных неравенств.
Задание 8: Решить в натуральных числах уравнение 
Решение: Пусть для определенности 
. Проведем перебор для первых значений неизвестной х.
1. Если х=1, то получаем неверное равенство 1+ 
, так как 1+ 
при любых натуральных у.
2. Если х=2, то получаем неверное равенство 
+ , так как + 
при любых натуральных у.
3. Если х=3, то получаем 
+ ; 
, у=6.
4. Если х=4, то получаем 
+ ; 
, у=4.
5. Если х=5, то получаем 
+ ; 
, у= 
— не натуральное
6. Пусть 
. По условию 
, следовательно, 
. Тогда 
, а значит, 
. Таким образом, при 
исходное уравнение решений не имеет.
Заметим, что в уравнении неизвестные х и у равноправны, поэтому снимая условие 
имеем еще одно решение (6;3). Кроме того, можно сделать вывод, что при 
исходное уравнение не имеет решений.
Задание 9: Решить в целых числах уравнение 
Решение: Можно найти вначале решения только в натуральных числах, так как если (х0; у0; z0) – решение, то, изменив знак у любых двух чисел этой тройки, снова получим решение. Данное уравнение умножим на 2xyz и воспользуемся неравенством 
,
· Приведение к сумме неотрицательных выражений
Решение: приведем уравнение к виду (х-1) 2 +(у-1) 2 +(х-у) 2 =2. Так как (х-1) 2 
2, то имеем (х-1) 2 =0 или (х-1) 2 =1. Отсюда получаем три значения х: 1, 0, 2. Подставляя эти значения в исходное уравнение, найдем значения у.
Уравнения с одной переменной
Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
Содержание:
Определение уравнения. Корни уравнения
Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Пример 1.
Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.
Пример 2.
Пример 3.
Уравнение 
не имеет действительных корней.
Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение 
имеет два мнимых корня: 
(см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.
Равносильность уравнений
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения 
— ни одно из них не имеет корней.
В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.
Теорема 1.
Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение 
равносильно уравнению 
Теорема 2.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение 
равносильно уравнению 
(обе части первого уравнения мы умножили на 3).
Линейные уравнения
Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида
где 
— действительные числа; 
называют коэффициентом при переменной, 
— свободным членом.
Для линейного уравнения 
могут представиться три случая:
1) 
; в этом случае корень уравнения равен 
;
2) 
; в этом случае уравнение принимает вид 
, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;
3) 
; в этом случае уравнение принимает вид 
, оно не имеет корней.
Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению 
. Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение 
. Итак, 
— корень уравнения.
Пример 2.
Решение:
Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим
Квадратные уравнения
где 
— действительные числа, причем 
, называют квадратным уравнением. Если 
, то квадратное уравнение называют приведенным, если 
, то неприведенным. Коэффициенты имеют следующие названия: 
— первый коэффициент, 
— второй коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения 
находят по формуле
Выражение 
называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение 
, можно переписать формулу (2) в виде 
Если 
, то формулу (2) можно упростить:
Формула (3) особенно удобна, если 
— целое число, т. е. коэффициент 
— четное число.
Пример 1.
Решение:
Здесь 
. Имеем:
Так как 
, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):
Итак, 
— корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение 
Решение:
Здесь 
По формуле (3) находим 
т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.
Пример 3.
Решить уравнение 
Решение:
Рациональные уравнения
Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.
Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.
Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:
1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
3) решить полученное целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример:
Решение:
Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители
Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени 
. Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:
, где 
— многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид 
. Если 
— корень уравнения 
а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.
Значит, — корень хотя бы одного из уравнений
Верно и обратное: если 
— корень хотя бы одного из уравнений 
то — корень уравнения 
т. е. уравнения р (х) = 0.
Итак, если 
, где — многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений 
Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем 
откуда 
Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть 
но среди выражений 
есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений 
могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.
Пример 2.
Решить уравнение 
Решение:
Имеем 
; значит, либо 
, либо 
.Из уравнения 
находим х = 0, из уравнения 
находим 
.
Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.
Решение уравнений методом введения новой переменной
Суть этого метода поясним на примерах.
Пример 1.
Решение:
Положив 
, получим уравнение
откуда находим 
. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.
Из второго квадратного уравнения находим 
. Это корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решение:
Положим 
, тогда
и уравнение примет вид
Решив это уравнение (см. п. 145), получим
Но 
. Значит, нам остается решить совокупность уравнений
Из первого уравнения находим 
, 
; из второго уравнения получаем 
Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называют уравнение вида
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив 
, придем к квадратному уравнению 
Пример:
Решить уравнение 
.
Решение:
Положив 
, получим квадратное уравнение , откуда находим 
. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений 
Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим 
Это — корни заданного биквадратного уравнения.
Решение задач с помощью составления уравнений
С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.
1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.
2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).
3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.
4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.
Задача 1.
Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?
Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить 
т груза, а на самом деле грузили 
т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению
Задача 2.
Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.
Решение:
Задача 3.
Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.
Решение:
Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем
Решив это уравнение, найдем 
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.
Задача 4.
Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?
Решение:
Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна 
, а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна 
Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть 
, а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть 
Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение
решив которое, найдем х = 10.
Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.
Задача 5.
Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Решение:
Решив это уравнение, найдем два корня: 
и 
. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.
Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.
Задача 6.
Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?
Решение:
Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было 
. Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению
Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.
Задача 7.
Решение:
Иррациональные уравнения
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения 
Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:
1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) метод введения новых переменных (см. п. 147).
Метод возведения обеих частей уравнения в одну
и ту же степень состоит в следующем:
а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду
б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:
в) учитывая, что 
, получают уравнение
г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Проверка:
Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим 
, т. е. 2 = 2 — верное равенство.
Ответ: 67.
Пример 2.
Решение:
Преобразуем уравнение к виду
и возведем обе части его в квадрат. Получим
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
откуда 
Проверка:
— верное равенство.
Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.
2) При х = 197 имеем 
Таким образом, х = 197 — посторонний корень.
Ответ: 5.
Пример 3.
Решение:
Применим метод введения новой переменной.
Положим 
и мы получаем уравнение 
, откуда находим 
Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений
Уравнение 
не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.
Ответ: 34.
Показательные уравнения
Показательное уравнение вида
где 
равносильно уравнению f(х) = g(x).
Имеются два основных метода решения показательных уравнений:
1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду f(х) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Данное уравнение равносильно уравнению 
откуда находим 
Решив это квадратное уравнение, получим 
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решить уравнение 
Решение:
Применим метод введения новой переменной. Так как 
,то данное уравнение можно переписать в виде
Введем новую переменную, положив 
Получим квадратное уравнение 
с корнями 
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений 
Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как 
при любых значениях х.
Ответ: 2.
Логарифмические уравнения
Чтобы решить логарифмическое уравнение вида
где 
нужно:
1) решить уравнение f(x) = g(x);
2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).
Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:
1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду 
затем к виду f(x) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду
Из последнего уравнения находим 
Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств
Пример 3.
Решение:
Так как 
заданное уравнение можно переписать следующим образом:
Введем новую переменную, положив 
Получим
Но 
; из уравнения 
находим х = 4.
Ответ: 4.
Примеры решения показательно-логарифмических уравнений
Пример 1.
Решение:
Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение
равносильное уравнению (1). Далее имеем 
Полагая 
получим уравнение 
, откуда 
Остается решить совокупность уравнений 
Из этой совокупности получим 
— корни уравнения (1).
Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению
Пример 2.
(2)
Решение:
Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду
Полагая 
, получим уравнение 
корнями которого являются 
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
если 
, то D = 0 и мы получаем 
, т. е. (поскольку ) 
.
Итак, если 
то действительных корней нет; если 
= 1, то 
; если ,то ; если 
и 
, то
Пример 3.
При каких значениях параметра уравнение
имеет два различных отрицательных корня?
Решение:
Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня 
его дискриминант должен быть положительным. Имеем
Значит, должно выполняться неравенство 
По теореме Виета для заданного уравнения имеем
Так как, по условию, 
, то 
и 
В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):
Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) 
; из второго 
; из третьего 
. С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо 
, либо 
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.