Определение: Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
т. е. пара чисел (4; 1,5) не является решением уравнения.
Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения или не имеющие их.
1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак.
2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.
Выразить одну переменную через другую:
1) 2х +у = 5 2) 3)
График линейного уравнения с двумя переменными
Определение: График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
1. Пример: 3х + 2у = 6, где а=3, b=2, c=6
План1) Выразить переменную у
у =
2) Составить таблицу значений х и у
3) Построить график
2. Частные случаи построения графика ax + by = c
у =
x =
х = 2
Графика не существует
График – вся координатная плоскость
Решение систем уравнений с двумя переменными. Графический способ.
Определение: Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение.
Определение: Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное равенство.
Если х=7, у=5, то , , верно,
т. е. (7; 5) – решение системы уравнений.
Определение: Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
План решения системы уравнений графическим способом
1. Выразить переменную у в первом уравнении.
2. Выразить переменную у во втором уравнении.
3. В одной системе построить графики данных функций.
4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие уравнения
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
Линейное уравнение выглядит так
ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.
А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.
Пример 5. Решить:
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
С линейными уравнениями с двумя переменными мы имеем дело в 7, 8 классах и в более старших.
Линейное уравнение с двумя переменными определение
Определение линейного уравнения с двумя переменными
Здесь a, b и c – числа, x и y – переменные.
Линейное уравнение с двумя переменными пример
Пример линейного уравнения с двумя переменными
В этом уравнении две переменные x и y, a = 8, b = 4, c = 5.
Линейное уравнение с двумя переменными
Решением линейного уравнения с двумя переменными является пара значений переменных, при подстановке которых в уравнение оно обращается в истинное равенство.
Решите линейное уравнение с двумя переменными
Как решать линейные уравнения с двумя переменными?
Пример. Решите уравнение
Выразим переменную игрек через переменную икс.
Для этого перенесем 8x в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный
Разделим обе части уравнения на четыре
Выбираем произвольное значение икса, пусть это будет 7.
Подставляем 7 вместо икса и находим значение игрека
Теперь у нас есть пара значений переменных x = 7 и y = −12,75, обычно эту пару чисел записывают в скобках (7; −12,75), при подстановке которых в уравнение оно обращается в верное равенство.
Таким образом решением нашего уравнения является пара чисел (7; −12,75).
Есть ли другие решения уравнения?
Есть и их бесконечно много. Выбирая произвольно значения икса мы расчитываем соответствующее значение игрека и получаем очередное решение уравнения.
Например, если взять x = 2, то
Мы получили новую пару чисел (2; −2,75), которая является решенеием уравнения.
Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)
Разделы: Математика
Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.
Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.
В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.
Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.
Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.
Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.
Урок 1.
Ход урока.
1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.
Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
Методом подбора можно найти решение
3) Составим уравнение:
Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174
Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.
Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала
Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Линейное уравнение с двумя переменными»
· повторить что такое линейное уравнение с одной переменной и сколько решений может иметь такое уравнение;
· ввести понятия «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «равносильные уравнения».
Ранее мы с вами рассматривали линейное уравнение с одной переменной.
Сегодня на уроке мы познакомимся с линейным уравнением, но уже с двумя неизвестными.
Давайте рассмотрим ситуацию
Полученное равенство содержит две переменные. А поэтому такие равенства называют уравнениями с двумя переменными (или с двумя неизвестными).
Посмотрите на примеры уравнений с двумя переменными
Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида:
То есть пара значений переменных (x= 60, y= 110) является решением этого уравнения. Отметим, что эти корни были найдены методом подбора, причём это не единственная пара чисел, удовлетворяющих нашему уравнению.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.
Вспомним, что при изучении уравнений с одной переменной, мы говорили о равносильных уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют одни и те же корни.
Аналогично можем сказать, что уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Причем уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также являются равносильными.
Равносильные уравнения обладают следующими свойствами:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнения, равносильное данному;
Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Снова вернёмся к нашему уравнению
Но здесь важно знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой – на втором. Так в нашем случае сначала записано значение переменной x, а затем переменной y.
И давайте рассмотрим ещё одну задачу.
Решение уравнений в целых числах, то есть когда надо найти только целые значения переменных, подробно рассматривал древнегреческий математик Диофант.
Поэтому уравнения с несколькими переменными, которые надо решить в целых числах, называют диофантовыми уравнениями. То есть уравнение, составленное в предыдущей задаче, является диофантовым, так как для него мы отыскивали только натуральные решения.
И давайте рассмотрим примеры.
Итак, на этом уроке мы рассмотрели линейное уравнение с двумя переменными и один из способов решения таких уравнений.
2х +у = 5 2) 
3)
х = 2
, 
, верно,
Z k
0
где (
; 
) – какое-либо решение уравнения (1), t 
где m 
, где n 
=> 
=> 
=> 
=> 
