Что значит разделить в математике

Деление

В этом разделе познакомимся с делением и узнаем, что деление – это математическая операция, обратная умножению.

Умножение – это последовательное сложение чисел, а деление – это последовательное вычитание чисел.

Как ёжикам поделить между собой яблоки поровну?

Нужно воспользоваться действием деления и узнать, сколько раз по 3 содержится в 6.

Любой пример на умножение можно представить двумя примерами на деление.

Например, для выражения 6 • 4 = 24 есть два обратных выражения:

24 : 4 = 6 — нужно из 24 вычесть число 4 ровно 6 раз.

24 : 6 = 4 — нужно из 24 вычесть число 6 ровно 4 раз.

Числа при делении

При делении, как и при другом математическом действии, каждое число имеет свое название.

Число, которое делят, называется делимое.

Число, на которое делят, называется делитель.

Результат деления называется частное.

Чтение числовых выражений

Этот пример можно прочитать по-разному.

Деление на 1

Деление на 0

Деление числа само на себя

Связь деления и умножения

Чётные и нечётные числа

Числа, которые делятся на 2 без остатка, назы­ваются чётными, а числа, которые не делятся на 2 без остатка, называются нечётными.

Чётные: 6, 22 44, 60, 74, 82, 96

Нечётные: 7, 13, 21, 37, 45, 97

В несколько раз меньше

Для примера решим задачу:

В магазине было 8 котят, а лисичек в 4 раза меньше. Сколько было лисичек?

Значит, чтобы узнать, сколько было лисичек, нужно 8 : 4 = 2 (л.)

Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?

Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички. Во сколько раз котят было больше, чем лисичек? Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят?

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?

Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Математика

Определить, сколько раз нужно взять слагаемым меньшее число 2, чтобы получить большее число 6, значит определить, сколько раз число 2 содержится в 6, или сколько раз число 6 содержит 2.

Число 2 содержится в 6 три раза, ибо, чтобы получить 6, нужно взять сумму трех равных слагаемых:

Найти, сколько раз число 2 содержится в 6, значит разделить 6 на 2.

Определение. Деление есть такое действие, в котором по двум данным числам определяют, сколько раз одно число содержится в другом.

Данные числа в делении называются делимым и делителем, искомое называется частным.

Делимое есть то число, которое содержит другое.

Делитель есть то число, которое содержится в другом.

Частное показывает, сколько раз делитель содержится в делимом.

В данном примере делимое есть 6, делитель 2, частное 3.

Разделить 6 на 2 значит также разбить 6 на 2 равных слагаемых и отыскать их величину. Число 6 представится при помощи двух равных слагаемых в виде:

Каждое из равных слагаемых называется частью делимого.

Посредством деления целых чисел также узнается, как велико каждое слагаемое, если делимое разобьется на столько равных слагаемых, сколько в делителе единиц.

В этом случае делимое есть то число, которое делится или разбивается на равные части. Делитель показывает, на сколько равных частей делится делимое. Частное показывает, сколько приходится на каждую часть.

Способы деления

Имея два числа 12 и 4, мы можем разделить 12 на 4 различными способами.

С помощью сложения мы можем определить, сколько раз нужно взять 4 слагаемым для того, чтобы получить в сумме 12. Так, взяв 4 слагаемым 3 раза, находим в сумме:

следовательно, 4 содержится в 12 три раза.

С помощью вычитания определяем, сколько раз можно из большего числа 12 вычесть меньшее 4. При этом мы вычитаем делитель до тех пор, пока это возможно. Так, вычитая последовательно из 12 по 4, имеем:

Отсюда находим, что можно вычесть 4 из 12 ровно три раза.

Деление есть сокращенное вычитание равных вычитаемых.

Наконец, посредством умножения, мы можем определить, на какое число нужно помножить 4, чтобы получить 12. Умножая последовательно 4 на 1, 2, 3, находим, что для того, чтобы получить 12, нужно 4 помножить на 3.

Различные случаи при делении

При делении целых чисел бывают два случая:

Разделяя 12 на 4, мы находим в частном 3. Делитель 4 содержится ровно 3 раза в делимом 12. Вычитая последовательно из 12 по 4, мы могли вычесть число 4 ровно три раза и не получили никакого остатка. В этом случае говорят, что деление совершилось нацело или без остатка. Умножив частное 3 на делитель 4, получаем делимое 12.

Разделяя 26 на 8, мы при последовательном вычитании получаем:

Далее нельзя продолжать вычитания, потому что из 2 нельзя вычесть делитель 8. Число 2 называют остатком.

Остаток всегда меньше делителя. В этом случае говорят, что деление не совершается нацело или деление совершается с остатком.

Разделяя 26 на 8, мы могли вычесть делитель 8 три раза, и у нас получился остаток 2. Число 3 мы будем называть целым частным. Целое частное есть не полное частное, ибо оно не выражает вполне, сколько раз меньшее число содержится в большем. Число 8 не содержится в 26 ровно 3 раза. В этом случае говорят: число 8 содержится в 26 три раза и еще получается остаток. Умножив делитель 8 на целое частное 3, мы не получим делимого 26, а число 24 — меньшее делимого. Чтобы получить делимое, нужно к этому произведению прибавить еще остаток 2.

Целое частное иногда называют просто частным.

Итак, при делении мы имеем два случая:

Деление нацело или без остатка. Когда делитель содержится в делимом ровное число раз, тогда деление совершается нацело или без остатка. Частное выражает, сколько раз делитель содержится в делимом. Делимое равно делителю, умноженному на частное. В этом случае деление есть действие в котором по данному произведению и одному из производителей находится другой производитель.

Если дается произведение и множимое, отыскивают множитель, то есть число равных слагаемых; если дается произведение и множитель, отыскивают множимое, то есть величину равных слагаемых.

Деление с остатком. Когда делитель не содержится в делимом ровное число раз, тогда деление не совершается нацело, или деление совершается с остатком. Остаток всегда меньше делителя и делимое равно произведению делителя на целое частное, сложенное с остатком.

При делении целых чисел делимое всегда уменьшается во столько раз, сколько в делителе единиц, поэтому деление есть действие, обратное умножению.

Знак деления

Действие деления изображается знаком двоеточия ÷, который ставится между делимым и делителем.

Деление числа 6 на 2 изображают письменно:

Действие деления обозначается также начертанием |–, где вертикальная черта отделяет делимое, а горизонтальная делитель от частного.

В данном примере имеем:

В нашем примере деление изображается письменно:

Знак деления прешел к нам от древних математиков.

Основные приемы при делении

Делить значит последовательно вычитать делитель из делимого, пока это возможно. Этот способ деления можно считать общим. Прием этот, однако, приводит к длинным вычислениям, если делимое очень велико, поэтому существуют различные сокращенные приемы деления.

Чтобы определить частное в том случае, когда оно выражается одной цифрой, прибегают к таблице умножения.

Чтобы разделить 27 на 3 мы пишем

Для частного выбираем такое число, чтобы, умножив делитель на частное, получить делимое. Чтобы найти цифру частного, мы пробуем умножать делитель на разные числа или, как обыкновенно говорят, задаемся разными числами, и сравниваем произвдение делителя на частное с делимым.

Разделяя 27 на 3 и перебирая в уме все произведения 3 на разные числа, содержащиеся в таблице умножения, находим, что произведение 3 × 9 составляет 27 и потому пишем в частном 9. Вычитая произведение делителя на частное из делимого, получаем в остатке нуль.

Само вычисление выражают письменно:

Деление совершилось нацело.

Иногда делитель не содержится в делимом ровное число раз; так, разделяя 27 на 4, мы не находим в таблице целого числа, которое, будучи помножено на 4, дало бы 27; тогда деление не совершается нацело.

Отыскивая целое частно, мы имеем при этом три случая:

Или мы задаемся очень малым числом; так, для данного примера, задавшись в частном 5 и умножив 4 на 5, имеем 20. Подписав произведение 20 под делимым и вычитая из 27, имеем:

в остатке число 7 больше делителя 4. Это показывает, что частное 5 мало и его нужно увеличить.

Или, взяв для частного 7 и умножив его на делителя 4, получаем произведение 28 больше делимого, что показывает, что мы задались в частно очень большим числом. В таком случае нужно уменьшить цифру частного 7.

Взяв для частного 6, мы ход вычисления выражаем письменно:

словесно: 4 в 27 содержится 6 раз, 4 * 6 = 24, подписываем 24 под делимым, вычитаем и получаем остаток 3. Остаток 3 меньше делителя, следовательно, цифра частного верна. Отсюда выводим следующее:

Правило определения частного:

Если при делении остаток более или равен делителю, цифра частного мала и ее нужно увеличить.

Если произведение делителя на частное больше делимого, цифра частно велика и ее нужно уменьшить.

Если остаток меньше делителя, цифра частного верна.

Это правило показывает, что при делении нужно для частного выбирать такое число, чтобы остаток был меньше делителя. Задаваться так, значит задаваться наибольшим целым числом.

В данном примере 27 не делится нацело на 4, а получается остаток 3; число 6 есть целое частное и

27 = 4 × 6 + 3 = 24 + 3

Делимое 27 равно произведению делителя 4 на целое частное 6, сложенному с остатком 3.

Деление многозначного числа на однозначное

Частное от деления многозначного числа на однозначное иногда выражается числом, состоящим также из нескольких цифр. В этом случае деление распадается на несколько отдельных действий.

Разделим 702 на 3. Частное содержит три цифры. Оно больше 100 и меньше 1000, ибо делимое больше 300 (3 × 100) и меньше 3000 (3 × 1000). Включая три цифры, частное содержит сотни, десятки и единицы. В данном случае разбиваем деление на три отдельных действия, то есть отыскиваем последовательно сотни, потом десятки и, наконец, единицы частного. Самое действие начинаем с сотен.

Отыскиваем сотни частного. Цифра сотен частного может происходить от деления сотен делимого на делитель 3. Десятки и единицы делимого не имеют никакого влияния на сотни частного, поэтому на них пока не обращаем внимания. Наибольшее число сотен в частном есть 2, ибо 3 содержится в 7 сотнях 2 сотни раз; пишем в частном 200. Умножая 200 на 3 и вычитая произведение 600 из делимого, получаем первый остаток 132.

Отыскиваем единицы частного. Разделив 12 на 3, находим для единиц частного 4. Умножая 4 на 3 и вычитая произведение 12, получаем в остатке 0.

Если не писать каждый раз лишних нулей и принимать в соображение только те цифры делимого, которые имеют влияние на частное, деление изобразится письменно:

Сносим 3 — следующую цифру делимого; 3 в 13 содержится 4 раза, 3-жды 4 составляет 12; вычитая 12 из 13, получаем в остатке 1.

Сносим 2 следующую цифру делимого; 3 в 12 содержится 4 раза, пишем в частном 4; 3-жды 4 составляет 12. Вычитая 12, получаем в остатке нуль и в частном 244.

Пример. Разделить 2417 на 3. Ход вычисления выразится письменно:

Деление многозначного числа на многозначное

При делении многозначного числа на многозначное поступаем точно так же, как поступали при делении многозначного числа на однозначное.

Разделяя число 37207 на 47, мы прежде всего определяем, из скольких цифр состоит частное. Частное меньше 1000 и больше 100, ибо 37207 меньше 47000 (47 × 1000) и больше 4700 (47 × 100), следовательно, частное состоит из сотен, десятков и единиц. Начиная с сотен, мы определяем каждую цифру частного отдельно:

Определяем сотни частного:

Делимое 37207 имеет 372 сотни. Десятки и единицы делимого не имеют влияния на цифру сотен частного. В частном может быть только 7 сотен, ибо 47 содержится в 372 семь раз; пишем в частном 700.

Умножая делитель на частное и вычитая из делимого, получаем первый остаток 4307.

Определяем десятки частного:

Остаток 4307 содержит 430 десятков. Единицы не имеют влияния на цифру десятков частного. Делитель 47 содержится в 430 девять раз; пишем в частном 90.

Умножая 90 на частное 47 и вычитая произведение 4330, получаем в остатке 77.

Определяем единицы частного:

47 содержится в 77 один раз. Пишем в частном 1 и, вычитая из 77 произведение единицы на делитель, получаем в остатке 30.

Итак, после деления имеем в целом частном 791 и в остатке 30.

Если не писать каждый раз лишних нулей и принимать в соображение только те цифры делимого, которые имеют влияние на частное, ход вычисления изобразится письменно:

Отделяем в делимом от левой руки к правой столько цифр, чтобы делитель мог содержаться в отделенной части делимого. В данном случае отделяем 3 цифры, 47 содержится в 372 семь раз; умножаем делитель 47 на 7, цифру частного, и, вычитая произведение 47 × 7 = 329 из 372, получаем в остатке 43.

К остатку 43 сносим 0, следующую цифру делимого; 47 содержится в 430 девять раз, пишем в частном 9. Умножая 47 на 9 и вычитая произведение 423 из 430, получаем остаток 7.

Сносим к остатку следующую цифру частного 7; 47 содержится в 77 один раз. Пишем единицу в частном.

Умножая ею делитель и вычитая 47 из 77, получаем в остатке 30 и в целом частно 791.

Пример. Разделить 671064 на 335. Деление изобразится письменно:

Отделяем 671 в делимом; 335 содержится в 671 два раза, пишем в частном 2. Умножая 335 на 2 и вычитая произведение 670, получим в остатке 1.

Из предложенных примеров выводим следующее правило:

Чтобы разделить многозначное число на однозначное или многозначное, нужно отделить в делимом от левой руки к правой столько цифр, сколько их находится в делителе. Если делитель не содержится, отделяют в делимом одной цифрой больше. Разделив отделенное число на делитель, получают первую цифру частного, умножают ей делитель и полученное произведение вычитают из отделенной части делимого.

К остатку сносят следующую цифру делимого и снова задаются.

Если при этом получается число меньше делителя, пишут в частном нуль, сносят следующую цифру и снова задаются.

Получив новую цифру частного, поступают с нею так же, как и с первой цифрой.

Деление продолжают до тех пор, пока не снесут всех цифр делимого и не получат таким образом всех цифр частного.

Всякий раз, когда приходится делить, нужно задаваться в частном такою цифрой, чтобы остаток был меньше делителя. Чтобы легче найти такую цифру частного, при делении многозначного числа на многозначное обращают внимание на одну или две старшие цифры делителя и задаются только ими в соответствующей части делимого. При этом в делимом и в делителе отделяют от правой руки к левой одинаковое число цифр. Так, определяя, сколько раз содержится 6373 в 27302, мы задаемся четырьмя, ибо 6 в 27 содержится 4 раза.

Полученная при этом цифра частного будет или равна или больше действительной. В последнем случае ее нужно уменьшить.

Иногда при делении не подписывают произведение цифры частного на делитель, а, подразумевая его в уме, подписывают один остаток. Сокращая таким образом деление, изображают его письменно:

8 в 43 содержится 5 раз; 5-ю 8 — сорок. Вычитая 40 из 43, получаем в остатке 3.

Сносим 2; 8 в 32 содержится 4 раза; 4-жды 8 составляет 32. Вычитая 32, получим в остатке нуль.

Сносим 8; 8 в 8-ми содержится 1 раз, 1-жды 8 составляет 8. Вычитая 8, получаем в остатке нуль и в частном 541.

Деление на 10, 100, 1000 и т. д.

Разделяя число на 10, мы десятки делимого обращаем в единицы, сотни в десятки, тысячи в сотни, вообще понижаем на единицу все порядки делимого. Этого мы достигаем, отделяя запятою цифру единиц. Число до запятой будет выражать частное, а после запятой — остаток.

Разделяя на 100, мы понижаем все порядки делимого на две единицы, для чего отделяем запятою от правой руки к левой две цифры и т. д. Отсюда правило:

Чтобы разделить какое-нибудь число на единицу с нулями, нужно от правой руки к левой отделить столько цифр, сколько нулей в делителе; тогда число до запятой выражает целое частное, а после запятой — остаток.

Пример. Разделяя 30207 на 100. Отделяя справа 2 цифры, находим 302,07. Целое частное будет 302, а остаток 7.

Деление на число, оканчивающееся нулями

Разделяя число 27057 на 400 и поступая при этом по общему правилу

мы замечаем, что две последние цифры делимого не оказывают никакого влияния на частное. Они являются в остатке без всякой перемены. Откуда правило:

Если делитель оканчивается нулями, отделяют в делимом запятою от правой руки к левой столько цифр, сколько зачеркнуто нулей в делителе, и делят часть делимого до запятой на значащие цифры делителя. Отделенные цифры делимого приписывают к остатку.

В данном примере деление представится в виде

f

Если делимое и делитель оканчиваются нулями, их зачеркивают поровну в делимом, делителе и производят деление; зачеркнутые нули делимого приписывают к остатку.

Чтобы разделить 27300 на 4100, делим 273 на 41:

Частное будет 6, а остаток 2700.

Зависимость между данными и искомыми деления

При делении целых чисел мы имеем два случая: а) деление нацело, или без остатка, и б) деление с остатком.

Каждому из этих случаев соответствует особая зависимость между данными и искомыми деления.

Деление нацело или без остатка

При делении нацело

Частное равно делимому, разделенному на делитель.

Разделяя 42 на 7, имеем в частном 6; следовательно,

42 ÷ 7 = 6, или 6 = 42 ÷ 7

Делимое равно делителю, умноженному на частное.

Так как делитель и частное — два множителя, произведение которых равно делимому, то делитель равен делимому, разделенному на частное.

Деление с остатком

При делении с остатком

Делимое равно произведению делителя на целое частное, сложенное с остатком.

При делении 47 на 6, имеем в целом частном 7, в остатке 5.

Делимое 47 = 6 × 7 + 5.

Делимое без остатка делится нацело на делитель и на целое частное.

Разность делимого без остатка равна произведению делителя на целое частное, то есть эта разность при делении на делитель дает целое частное, при делении на целое частное дает делитель.

Источник

Деление (математика)

Деле́ние (операция деления) — одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное умножению. Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое. Существует несколько символов, используемых для обозначения оператора деления.

Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторенное сложение, деление заменяет неоднократно повторенное вычитание.

Рассмотрим, например, такой вопрос:

Сколько раз 3 содержится в 14?

Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 «входит» в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2.

Результат деления также называют отношением.

Содержание

Деление натуральных чисел

Кольцо целых чисел не замкнуто относительно деления. Простым языком это означает то, что результат деления одного целого числа на другое может быть не целым. В случае, если всё-таки результат является целым числом, говорят о делении без остатка.

Деление чисел издавна считалось самой трудной из арифметических операций. В Средние века «секрет» деления знало не очень много посвящённых людей. Происходило это потому, что существовавшие алгоритмы деления были очень громоздки, сложны для исполнения и запоминания (например, деление в виде корабля (англ.) ). Появление деления столбиком радикально изменило эту ситуацию — теперь деление входит в раннюю школьную программу по математике наряду с остальными арифметическими действиями. Однако так же, как и в случае с умножением (см. быстрое умножение), в последнее время открыты более эффективные алгоритмы (см. en:Division (digital), применяющиеся в вычислительной технике.

Существуют правила, позволяющие быстро определить, делится ли число на заданный делитель без остатка (признаки делимости). Наиболее известные признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 и их производные, также существует признаки делимости на 7, 13, 1001 и другие числа.

Целое число, на которое одновременно делятся без остатка несколько чисел, называется их общим делителем.

Определение количества делителей натурального числа приводит к двум важным понятиям: составное и простое число. У простого числа есть ровно два различных делителя — 1 и само число. У составных чисел различных делителей больше двух. 1 не является ни составным, ни простым числом.

В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, можно говорить о делении с остатком. Рассмотрение остатков, их сравнение и формализация в виде вычетов привели к целой науке — теории чисел.

Обычно на остаток накладываются следующие ограничения (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён):

, ,

где — делимое, — делитель, — частное и — остаток.

Деление целых чисел

Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть правило знаков.

Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:

.

Деление рациональных чисел

Замыкание множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного целого числа на другое всегда является рациональное число. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).

Правило деления обыкновенных дробей:

Деление вещественных чисел

Деление также замкнуто в поле ненулевых вещественных чисел. Дедекиндово сечение позволяет однозначно определить результат деления.

Деление комплексных чисел

Комплексные числа опять замкнуты относительно операции деления.

Деление в алгебре

В отличие от простейших арифметических случаев на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата.

Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если единичный элемент вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то обратный элемент часто может быть как левым (), так и правым (). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу.

К примеру, отношение матриц определяется через обратную матрицу, при этом даже для квадратных матриц может быть:

.

Отношение тензоров в общем случае не определено.

Деление многочленов

В общих чертах оно повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления:

.

Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо деление столбиком.

Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.

Деление на ноль

По правилам стандартной арифметики деление на число 0 запрещено.

Другое дело — деление на бесконечно малую функцию или последовательность. Деление конечных функций на бесконечно малые приводит к появлению бесконечно больших, а отношение двух бесконечно малых называется неопределённостью 0/0, которую можно преобразовать (см. раскрытие неопределённостей) с тем, чтобы получить определённый результат.

Операции деления ненулевого числа на ноль не соответствует никакое действительное число.

Результат этой операции считается бесконечно большим и равным бесконечности:
, где
Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным a или приближается к нему, то частное неограниченно увеличивается(по модулю).

Источник