Что значит растянуть или сжать график функции
Растяжение и сжатие графиков функций
Список функций, изученных в 7 и 8 классе
Растяжение и сжатие графика по оси OX
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$y_2 = y_1 при x_2 = \frac<1> <2>x_1$
График сжимается в 2 раза по оси OX
График сжимается в 2 раза по оси OX
$y_2=y_1 при x_2 = \frac<1> <2>x_1$
График сжимается в 2 раза по оси OX
Теперь сравним пары функций с делением на p:
$ y_2 = f \left(\frac
$y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$
График растягивается в 2 раза по оси OX
$y_2 = f \left(\frac
$ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$
График растягивается в 2 раза по оси OX
$y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$
График растягивается в 2 раза по оси OX
При сравнении графиков двух функций
график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Растяжение и сжатие графика по оси OY
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$
График растягивается в 2 раза по оси OY
$ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$
График растягивается в 2 раза по оси OY
$y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$
График растягивается в 2 раза по оси OY
Теперь сравним пары функций с делением на A:
$y_2 = \frac<1><2>y_1 при x_2 = x_1$
График сжимается в 2 раза по оси OY
$ y_2 = \frac<1><2>y_1 при x_2 = x_1$
График сжимается в 2 раза по оси OY
$y_2 = \frac<1><2>y_1 при x_2 = x_1$
График сжимается в 2 раза по оси OY
При сравнении графиков двух функций
график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Примеры
Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
Преобразования графиков тригонометрических функций
Общие принципы преобразования графиков функций изучались нами в главе 8, (см. §47, §48, §50 справочника для 8 класса). В этом параграфе мы рассмотрим особенности тригонометрических функций при использовании этих преобразований.
п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OX
Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OX:
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются периодическими: синус и косинус с периодом 2π, тангенс и котангенс – с периодом π. Получаем следствие общих принципов:
п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OY
Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OY:
Общий принцип сжатия графиков:
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Т.к. для графиков синуса и косинуса (синусоиды) характерна амплитуда колебаний, то также говорят, что:
п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OX
Общие принципы переноса по оси OX:
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
При этом параметр x называют начальной фазой колебаний.
При сравнении двух тригонометрических функций \(y_1=f(x)\) и \(y_2=f(x\pm a)\) говорят, что у второй функции сдвиг по фазе равен \(\pm a\).
п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OY
Общие принципы переноса по оси OY:
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
п.5. Общее уравнение синусоиды
График \(y(x)=Acos(cx+d)+B\) также называют синусоидой. Термин «косинусоида» употребляется относительно редко.
Поскольку график косинуса получается из графика синуса сдвигом по фазе на π/2 влево, вводить термин «косинусоида» излишне.
Построим график \(g(x)=3sin\left(2x+\frac\pi2\right)-1\)
По сравнению с \(f(x)=sinx\):
п.6. Общее уравнение тангенцоиды
График \(y(x)=Actg(cx+d)+B\) также называют тангенцоидой.
Построим график \(g(x)=\frac12 tg\left(\frac
По сравнению с \(f(x)=tgx\):
п.7. Примеры
Пример 2. Найдите наименьшие положительные периоды функций:
a) \(y=sin5x\)
Период синуса \(2\pi\) уменьшается в 5 раз. Получаем: \(T=\frac<2\pi><5>\)
б) \(y=cos\pi x\)
Период косинуса \(2\pi\) уменьшается в \(\pi\) раз. Получаем: \(T=\frac<2\pi><\pi>=2\)
в) \(y=tg\frac
Период тангенса \(\pi\) увеличивается в 4 раза. Получаем: \(T=4\pi\)
г) \(y=tg\left(2x+\frac<\pi><3>\right)\)
Период тангенса \(\pi\) уменьшается в 2 раза. Получаем: \(T=\frac\pi2\)
Пример 4. Определите графически, сколько корней имеет уравнение на отрезке: a) \(sinx=sin2x\) при \(0\leq x\leq 3\pi\)
Ответ: 7 корней
б) \(cos\frac
Ответ: 7 корней
Преобразования графиков функций с примерами решения и образцами выполнения
Параллельный перенос, сжатие и растяжение графиков. Построение графиков с модулями.
Графики многих функций можно получить из ранее рассмотренных с помощью элементарных геометрических преобразований: параллельного переноса, сжатия, растяжения, симметричного отображения. Рассмотрим некоторые из этих преобразований. Для каждого из элементарных преобразований предлагается два способа построения графика: с помощью преобразования графика и с помощью преобразования системы координат. Обучающийся должен выбрать тот, который кажется ему проще и овладеть им. В каждом случае считается известным график функции у = f(х).
Параллельный перенос графиков
График функции у = /(x) + Ь получается из графика функции у = f(х) с помощью его переноса на вектор b = (0; b). Действительно, в этом случае ко всем ординатам графика у = f(х) прибавляется величина b, что означает сдвиг графика вдоль оси Оу. Если b > 0, то график функции у = f(х) переносится вверх параллельно оси Oy на b, если b 0 — вниз, если b 
Рис. 49. Построение графика функции у = f(x) + b
Пример:
График функции у = x² — 1 (рис. 50) смещен на 1 вниз параллельно оси Oy относительно графика функции у = х².
Рис. 50. Построение графика функции у = x² — 1
График функции у = f(x+a) получается с помощью переноса графика функции у = f(x) на вектор а = (—а;0). Действительно, перейдя к новым координатам X = х + α, Y = у параллельным переносом вдоль оси Ox на —а, заметим, что относительно новых координат получится исходный график функции Y = f(X). Если а > 0, то старые координаты получаются из новых сдвигом направо вдоль оси Ox на α, т.к. х = X — а. Если же сдвигать график, а не систему координат, то его нужно двигать в противоположном направлении — налево. Итак, если а > 0, то график функции у = f(x) переносится налево параллельно оси Ox на а, если а 0 — вправо, если α 
Рис. 51. Построение графика функции у = f(x + а) 
Рис. 52. Построение графика функции у = (х — 2)²
Сжатие и растяжение графиков
График функции у = kf(x), где к ∈ R, получается с помощью ’’растяжения” графика функции у = f(x) в к раз в направлении от оси Ох. ’’Растяжение” здесь понимается как умножение на к ординат всех точек графика у = f(x)∙ При k > 1 это будет действительно растяжение в к раз от оси Ox вдоль оси Оу. При 0 0 можно исправить значения по оси Оу, умножив их на k. При k 
Рис. 53. Построение графика функции у = — 3 sin х
При k > 1 график функции у = f(x) сжимается в k раз к оси Oy вдоль оси Ох; при 0 0 можно исправить значения по оси Ох, поделив их на k. При k 
Рис. 54. Построение трафика функции у = ln(-х)
Пользуясь изложенными методами, приведем последовательность преобразований при построении графика функции у = f(kx + b), если дан график функции у = f(x):
Пример:
Написать последовательность преобразований и построить график функции у = 
.
Решение:
Построение графика показано на рис. 55
Замечание:
Теперь понятно, что если функция у = f(x) периодическая с периодом Т, то функция у = К ∙ f(kx + b) + а тоже периодическая с периодом T₁ = 
. (п. 3.5 лекции 3). Действительно, график последней функции получается из исходного сдвигом вдоль оси Ох, что не меняет период, последующим “сжатием“ вдоль оси Ох, что “уменьшает» период в |k| раз (период T делится на |k|), и окончательным умножением всех ординат на К с последующим прибавлением а, что также не изменяет получившийся период T₁ =
Построение графиков с модулями
График функции у = ∣f(x)∣ получается из графика функции у = f(x) следующим образом (рис. 56)
Действительно, по определению модуля действительного числа имеем:
(5.1) 
Таким образом, те участки исходного графика, которые лежат не ниже оси Ox (f(x) ≥ 0), менять не нужно, а для тех участков, которые лежат ниже оси Ох, нужно построить функцию у = —f(x). В соответствии с п. 5.2 это получается симметричным отображением исходного графика относительно оси Ох. Заметим, что полученный график лежит не ниже оси Ох, что естественно, т.к. |f(x)| ≥ 0 для ∀x ∈ D(f).
Рис. 55. Построение графика функции у = 
Рис. 56. Построение графика функции у = |f(x)|
Пример:
Построение графика функции у = |х² — 1| показано на рис. 57.
График функции у = f (|x|) получается из графика функции у = f(х) следующим образом (рис. 58):
Действительно, по определению модуля действительного числа имеем:
(5.2) 
Рис. 57. Построение графика функции у = |x² — 1|
Таким образом, не нужно изменять те участки исходного графика, для которых х ≥ 0, а для х 
Рис. 58. Построение графика функции у = f(|x|)
Пример:
Построение графика функции у = (|x| — 2)² показано на рис. 59
Элементарными методами можно строить эскизы графиков более сложных функций.
Пример:
Построить эскиз графика у = 
Решение:
Построение графика показано на рис. 60. Заметим, что график отсутствует там, где sin х 
Рис. 59. Построение графика функции у = (∣x∣ — 2)²
Кроме того, так как √u > и при 0 
Рис. 60. Построение графика функции у = √sinx
Построение графиков функций с примерами
Пример:
C помощью элементарных преобразований постройте график функции: у = x² — х — 2.
Решение:
Выделим полный квадрат из правой части уравнения функции: у = x² — х — 2 ⇔ y = x²-x+ 
⇔ у = 
. График этой функции получается следующей последовательностью элементарных преобразований (рис. 61):
1) y =x²
2) у =
. Сдвиг вправо вдоль Ox на 
.
3) у = . Сдвиг вниз вдоль Oy на 
.
Рис. 61. Построение графика функции у = x² — х — 2
Пример:
Используя сложение, деление функций, постройте график функции: у = х + 
.
Решение:
В одних осях координат нарисуем графики следующих функций (рис. 62):
1) у = х,
2) y=,
3) y = x + .
Рис. 62. Построение графика функции у = х +
Пример:
Постройте график сложной функции у = sin² х.
Решение:
В одних осях координат нарисуем графики функций:
1) y = sin x,
2) y = sin² х.
Учитывая, что квадрат числа меньшего единицы, меньше исходного числа, получим график (рис. 63)
Рис. 63. Построение графика функции у = sin² х
Пример:
Постройте график функции в полярной системе координат: r = 
(прямая линия).
Решение:
Вычислим значения г для некоторых значений 
∈ (0; π) — см. таблицу.
 | 0 |  |  |  |  |
| r | ∞ | 2 |  |  | ∞ |
Рис. 64. График функции r = 
Соединив плавной линией найденные точки, получим линию вдоль оси Ох, проходящую через точку (0;1). Докажем что эта линия — прямая (рис. 64). Действительно: из Δ ОAВ ⇒ cos = 
= 
⇒ r = .
Пример:
Постройте линию, описываемую уравнением, у = 
Решение:
Сначала построим график функции у = 
(рис. 65). Затем, пользуясь определением |x| (2.1), строим график (рис. 66) функции у = 
Наконец, строим линию описываемую уравнением у = (рис. 67):
Рис. 65. График функции у = 
Рис. 66. График функции у = 
Рис. 67. График функции у = 
Пример:
Постройте линию, описываемую уравнением у = 
Решение:
Для построения графика данного примера сначала постройте график функции у =. Затем, в соответствии с определением |х|, сотрите ту часть графика, которая расположена слева от оси Оу, а оставшуюся справа часть, отразите симметрично оси Оу.
Рис. 68. График функции у =
Пример:
Решение:
Для построения графика данного примера сначала постройте график функции у = х² — х — 2. Затем отразите симметрично оси Ox ту часть графика, которая осталась снизу от оси Ох. Затем сотрите ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости.
Рис. 69. График функции у = |х² — х — 2|
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
График функции y=f(kx)
Растяжение и сжатие — один из видов геометрических преобразований, благодаря которому на основе графиков элементарных функций можно легко строить графики многих других функций.
График функции y=f(kx) (где k>1) может быть получен из графика функции y=f(x) сжатием к оси Oy в k раз.
При таком преобразовании каждая точка (x; y) графика функции y=f(x) переходит в точку (x/k; y) графика y=f(kx):
(то есть абсциссу (x) каждой точки начального графика уменьшаем в k раз, а ординату (y) оставляем без изменения. При этом точка, лежащая на оси Oy, остаётся на месте (так как 0:k=0).
1) График функции y=(2x)² можно получить из графика функции y=x ² с помощью сжатия к оси Oy в 2 раза.
На координатной плоскости строим график функции y=x² (можно отметить только его базовые точки). Затем координату x каждой точки делим на 2, а координату y оставляем без изменения. Таким образом, каждая точка нового графика становится ближе в 2 раза к оси Oy, чем точка начального графика (от оси Ox обе точки находятся на одинаковом расстоянии):
График y=(2x)² из графика y=x²
2) График функции y=√(5x) можно получить, сжав график функции y= √ x к оси Oy в 5 раз:
3) График функции y=|4х| может быть получен из графика функции y=|х| сжатием к оси Oy в 4 раза:
Преобразование графиков применяется при решении примеров из различных разделов алгебры.