Что значит раскрыть статическую неопределимость

iSopromat.ru

Статически неопределимыми называют системы, в которых для определения опорных реакций либо внутренних усилий одних только уравнений статики недостаточно.

Статическая неопределимость возникает из-за наличия дополнительных или «лишних» связей.

Здесь под словом «лишние» понимаются дополнительные опоры (связи) добавление которых не влияет на геометрическую неизменяемость системы в целом.

Дополнительные опоры увеличивают прочность и жесткость систем, что позволяет делать их более экономичными.

Степень статической неопределимости систем

Степень статической неопределимости n определяется по формуле:

где,
k – количество неизвестных усилий (реакций связи),
m – количество уравнений равновесия которые можно составить для данной системы.

Системы, для которых n=1 называют однажды статически неопределимыми, n=2 – дважды СН и т.д.

Примеры статически неопределимых систем

В качестве примера рассмотрим следующий случай:

Консольная балка, закрепленная только в жесткой заделке – статически определима, так как в опоре данной схемы могут иметь место не более трех опорных реакций (вертикальная и горизонтальная силы и момент).

Как известно из курса теоретической механики для плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия. Трех уравнений для определения трех неизвестных вполне достаточно.

Теперь, если добавим к рассматриваемой схеме еще одну опору, например шарнирно-подвижную, то балка становится статически неопределимой, так как количество неизвестных связей увеличилось до четырех, а уравнений равновесия по-прежнему можно составить только три.

В данном случае для расчета опорных реакций не хватает еще одного уравнения, т.е. система один раз (однажды) статически неопределима.

Если к данной системе последовательно добавлять опоры, то степень неопределимости также будет возрастать.

В таких случаях для расчета величины и направления неизвестных усилий потребуются дополнительные уравнения.

Другие примеры СНС

Примеры однажды статически неопределимых систем (n=1):

Статически неопределимая стержневая система

Раскрытие статической неопределимости

Расчет усилий в лишних связях называется раскрытием статической неопределимости системы.

Существует несколько способов раскрытия статической неопределимости, принцип которых основан на:

Наиболее универсальным из них является метод сил.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

iSopromat.ru

Статически неопределимыми называют балки, для которых при определении опорных реакций и внутренних силовых факторов недостаточно одних только уравнений равновесия.

Другими словами, СН балки имеют «лишние» опоры, которые дают дополнительные связи, сверх необходимых для удержания системы в равновесии.

Для раскрытия статической неопределимости таких балок требуются дополнительные уравнения, получаемые из условия отсутствия или совместности перемещений некоторых сечений.

Примеры статически неопределимых балок

Для удержания балки в геометрически неизменяемом, статичном положении (в равновесии) требуется одна заделка (рис. 1 а) либо две шарнирные опоры (рис. 1 б) одна из которых подвижная другая неподвижная.

Добавление еще одной опоры (Рис. 2) упрочнит балку, но при этом она станет статически неопределимой.

Усилия в дополнительных опорах являются лишними неизвестными при решении систем уравнений статики.

Степень статической неопределимости балки

Количество дополнительных связей показывает степень статической неопределимости балки, которую можно определить по формуле:

где m – общее количество неизвестных реакций связи балки,
n – количество возможных уравнений равновесия которые можно составить для данной системы (для плоской – 3, пространственной – 6).

Балки с одной дополнительной связью называют однажды (один раз) неопределимыми, с двумя – дважды неопределимыми и т.д.

Раскрытие статической неопределимости

Расчет величины и направления лишних связей называют раскрытием статической неопределимости.

Так как для статически неопределимых балок возможных уравнений равновесия всегда меньше чем неизвестных усилий для их расчета требуются дополнительные зависимости.

В качестве таковых используются условия отсутствия соответствующих линейных и/или угловых перемещений на опорах.

Существуют теоретические и практические методы раскрытия статической неопределимости.

Раскрыть статическую неопределимость балки можно с помощью метода начальных параметров или методом сил.

Практический метод определения лишней опорной реакции подробно рассмотрен здесь.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Статически неопределимые балки и рамы (метод сил)

Метод сил

Статически неопределимые — это такие балки и рамы, в которых для определения всех опорных реакций и внутренних усилий уравнений статики не хватает, то есть это система с «лишними» связями. «Лишние» (избыточные) связи бывают внешними, бывают и внутренними. А их количество называют «степенью статической неопределимости». Как ее определить?

В балках, а также и в простых рамах, то есть в рамах, не содержащих в своем составе так называемых замкнутых контуров, степень статической неопределимости можно найти по формуле:

n=ΣR—Ш-3,где: ΣR – количество всех возможных опорных реакций (в жесткой заделке реакций может быть три, в шарнирно-неподвижной опоре две, а в шарнирно-подвижной опоре — одна),

Ш – число простых шарниров, то есть таких, которые соединяют лишь два элемента, не больше

Если в узле сходится более двух элементов, то Ш=m-1, где m – количество сходящихся в узле стержней. Например,

3 (три) – число уравнений статики.

В сложных рамах применима другая формула:

где К – число замкнутых контуров

В методе сил расчет строится так, что в первую очередь определяются «лишние» неизвестные. Для этого составляют и решают канонические (стандартные) уравнения в количестве, равном степени статической неопределимости.

Здесь обозначено: Х₁, Х₂ – «лишние» неизвестные силы или усилия,

δ₁₁, δ₁₂, δ₂₁, δ₂₂ – главные и побочные коэффициенты,

Все коэффициенты по физическому смыслу являются перемещениями в так называемой основной системе по направлению лишних неизвестных: δ₁₁, δ₁₂, Δ_1F – по направлению Х₁, а δ₂₁, δ₂₂, Δ_2F – по направлению Х₂. Все эти перемещения определяются методом Мора с помощью «перемножения» эпюр изгибающих моментов, построенных в основной системе отдельно от каждой лишней неизвестной силы, равной единице (эп. от Х₁=1; эп. от Х₂=1), а также отдельно от всей заданной нагрузки (эпюра М_F):

После определения значений «лишних» неизвестных окончательную эпюру моментов можно построить по формуле:

Источник

Пособие по статически неопределимым системам

Загрузить всю книгу

Титульный лист

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Тольяттинский государственный университет

Кафедра «Материаловедение и механика материалов»

«Расчеты статически неопределимых систем в условиях изгиба»

Авторы–составители: доцент Е.П.Гордиенко, старший преподаватель И.Т.Каратеева, старший преподаватель И.В.Котова

Под общей редакцией к.т.н., доцента Гавриловой Т.Ф.

Расчеты статически неопределимых систем в условиях изгиба: /Лабораторный практикум/ Составители: Е.П.Гордиенко, И.Т.Каратеева, И.В.Котова/под ред. к.т.н., доцента Гавриловой Т.Ф. Тольятти: ТГУ, 2005.–48 с.

Пособие предназначено для изучения студентами темы «расчеты статически неопределимых систем в условиях изгиба» в курсе сопротивления материалов и охватывает цикл из четырех лабораторно-практических работ. Теоретическая часть методического пособия кроме общих сведений содержит примеры по расчету статически неопределимых систем, схемы которых аналогичны лабораторным установкам. Пособие содержит методику проведения лабораторных работ, порядок обработки результатов испытаний и сравнения их с аналитически рассчитанными значениями для оценки адекватности расчетных формул. В приложение к пособию включены необходимые справочные сведения, краткий перечень основных терминов и понятий, карточка тестового контроля. Для подготовки к отчету по данному циклу лабораторно-практических работ приводятся контрольные вопросы и библиографический список.

Утверждено научно-методическим советом Тольяттинского государственного университета

© Тольяттинский государственный университет, 2005

Источник

Алгоритм раскрытия статической неопределимости

Определение реакций в дополнительных связях называют рас­крытием статической неопределимости. Выполняется оно по единому алгоритму, который состоит из следующих шагов.

1. Определение степени статической неопределимости.

2. Выбор основной системы (ОС).

3. Переход к эквивалентной системе (ЭС).

4. Составление системы канонических уравнений.

5. Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных чле­нов уравнений. Решение системы канонических уравнений.

6. Построение суммарных эпюр внутренних силовых факторов.

7. Проверка правильности раскры­тия статической неопределимости.

Рассмотрим содержание этих шагов.

Определение степени статической неопределимости.Разность между общим числом внешних и внутренних связей, наложенных на систему (С_о), и числом связей, необходимых для ее равновесия (С_н), называется степенью статической неопределимо­сти (L)

Иными словами, L равна числу дополнительных связей, наложенных на систему.

При определении С_о плоской стержневой системы необходимо учитывать, что:

— бесшарнирный контур, включенный в систему, дает три дополни­тельные связи;

* Формула введена автором

— шарнир, соединяющий два стержня (одиночный шарнир), снижает степень статической неопределимости на единицу (устраняет одну связь);

— шарнир, в котором сходится n стержней, устраняет n-1 связей, т.е. заменяет собой n-1 одиночных шарниров.

Число связей, необходимых для равновесия системы (С_н), равно:

— 1 для линейной системы, т.е. системы, у которой все стержни и все нагрузки находятся на одной линии;

— 3 для плоской системы, т.е. системы, у которой все стержни и все нагрузки находятся в одной плоскости;

— 6 для пространственной системы, т.е. системы, у которой стержни и нагрузки произвольным образом расположены в про­странстве.

В некоторых учебниках по дисциплине «Сопротивление материалов» для определения степени статической неопределимости плоской сис­темы дается формула типа

где К – общее число замкнутых контуров; Ш – общее число шарниров в пересчете на одиночные.

Выбор основной системы.Основной называется статически определимая, геометрически и кинематически неизменяемая система, полученная из заданной ста­тически неопределимой системы путем освобождения ее от дополни­тельных связей и заданной нагрузки.

Внешние дополнительные связи, как правило, убирают, а для освобождения от внутренних вводят шарниры или производят раз­резы. Для обеспечения кинематической неизменяемости необходимо, чтобы направления всех связей, оставленных в качестве необходимых, не пересекались в одной точке или не были параллельны.

Следует иметь в виду, что для любой статически неопределимой системы можно выбрать несколько основных (как минимум две). Из всех возможных ОС для расчета рекомендуется выбирать наиболее рациональную. Рациональность ОС определяется трудоемкостью решения с ее использованием. Чем проще строить эпюры внутренних силовых факторов, чем на меньшем числе участков они располага­ются, тем рациональней ОС. Использование свойств симметричных расчетных схем позволяет уменьшить число канонических уравне­ний, использовать в качестве ОС половину, а иногда и меньшую часть расчетной схемы.

Переход к эквивалентной системе. Эквивалентной называется система, полученная из основной пу­тем нагружения ее заданной нагрузкой и неизвестными усилиями (реакциями) Х_i взамен отброшенных дополнительных связей. В тех точках, где были запрещены линейные перемещения, прикладывают сосредоточенные силы, а там, где были запрещены угловые переме­щения, – сосредоточенные моменты. Усилия Х_i прикладывают по на­правлению отброшенных связей.

Запись системы канонических уравнений.Общая форма записи таких уравнений следующая:

.

(3.11)

Система уравнений (3.11) записывается в соответствии со сле­дующими правилами (канонами, поэтому и называется канонической). В каждом уравнении все члены его имеют одинаковый первый ин­декс и располагаются в порядке возрастания второго индекса у коэф­фициентов d_{i j}, последним записывается свободный член . Уравне­ния в системе располагаются в порядке возрастания первого индекса членов уравнений.

Для системы, один раз статически неопределимой, записывается одно уравнение, которое имеет вид

.

Для системы, два раза статически неопределимой, уравнения имеют вид

.

Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных чле­нов канонических уравнений.Поскольку коэффициенты d_{i j} и свободные члены есть пере­мещения по направлению неизвестных сил, то для их вычисления можно применять любые методы вычисления перемещений, однако чаще всего применяется метод Мора.

Для вычисления коэффициентов канонических уравнений пере­множают эпюры с индексами, совпадающими с индексами вычис­ляемого коэффициента. Так, вычисляя свободный член , пе­ремножают грузовые эпюры (с индексами p) на единичные с индек­сами 2. Вычисляя коэффициент d₂₁, перемножают единичные эпюры с индексами 2 на единичные эпюры с индексами 1. При использова­нии формул (3.1а)…(3.4а) или (3.5, 3.7) эпюры с индексами 2 считаются гру­зовыми, а эпюры с индексами 1 – единичными, или наоборот. При вычислении коэффициента d₂₂ эпюры с индексом 2 перемножаются «сами на себя», каждая из этих эпюр считается одновременно как грузовая и как единичная и т.д.

Примечание. Полезно помнить, что коэффициенты при неизвестных, имеющие одинаковые индексы (главные коэффици­енты), например d₁₁, d₂₂ и т.д., всегда положительны, а коэффициенты, имеющие одинаковый набор индексов, равны между собой, например d₁₂=d₂₁, d₂₃=d₃₂ и т.д.

Если статически неопределимая система имеет криволинейные участки, то на них применять способ Верещагина для вычисления ин­тегралов Мора нельзя. На таких участках интегралы Мора вычисляют прямым интегрированием (см. п. 3.2.1).

Решение системы канонических уравнений.После вычисления всех коэффициентов и свободных членов их, если это возможно, сокращают на общие множители и подставляют в исходную систему уравнений.

Затем решают систему уравнений. Для этого могут применяться лю­бые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Для небольших систем уравнений наименее трудоемким является ме­тод Гаусса. Систему из двух уравнений можно решить методом Кра­мера. Из решения системы канонических уравнений определяют ре­акции в дополнительных связях (неизвестные усилия X_i).

Примечание. Если из решения X_i получена со знаком минус, то это означает, что в действительности она направлена в сто­рону, противоположную ее направлению на эквива­лентной системе.

На этом заканчивается собственно раскрытие статической неоп­ределимости. Дальнейший расчет на проч­ность и (или) жесткость ведут для статически определимой системы, нагруженной заданной нагрузкой и найденными реакциями в дополнительных связях. Обычным образом определяют реакции в необходимых связях, строят эпюры, производят необходимые расчеты.

Для выполнения таких расчетов необ­ходимы эпюры внутренних силовых факторов для заданной системы от суммарного действия приложенной нагрузки и реакций в дополни­тельных связях, поэтому построение этих (суммарных) эпюр включают в алгоритм раскрытия статической неопределимости.

Построение суммарных эпюр.Суммарные эпюры можно построить двумя способами.

1 способ (традиционный)

Основную систему нагружают заданной нагрузкой и найден­ными реакциями в дополнительных связях (X_i). Если из решения X_i получена со знаком «минус», то ее изображают в направлении противо­положном, изображенному на эквивалентной системе. Далее тради­ционным способом строят необходимые эпюры.

2 способ (способ сложения эпюр)

Ординаты суммарной эпюры в любом сечении могут быть полу­чены по следующей схеме:

,*

(3.12)

Ординаты эпюр M_p и M_i подставляют в формулу (3.12) с учетом знаков. Правило знаков выбирается студентом, например так, как показано на рис. 5. X_i подставляют с теми знаками, с которыми они получены из решения. Для построения суммарных эпюр достаточно вычислить ординаты M_c на границах участков и в экстремальных точках. Полученные ординаты M_c откладывают от базовой линии, ру­ководствуясь принятым правилом знаков. Полученные точки соеди­няют линиями, которыми ограничена эпюра M_p.

* Формула введена автором

Проверка правильности раскрытия статической неопреде­лимости.После того как построены суммарные эпюры, появляется воз­можность надежно проверить правильность выполненного реше­ния. Как отмечалось, перемещения точек приложения связей по на­правлению этих связей в заданной статически неопределимой сис­теме при беззазорном соединении равны нулю, при наличии за­зора – величине зазора. Для проверки правильности решения опреде­ляют перемещение в точке приложения одной из связей по направле­нию этой связи (выполняют деформационную проверку). Если оно окажется равным нулю или величине зазора (при наличии зазора), то все действия по раскрытию статической не­определимости выпол­нены правильно. В противном случае в решении имеются ошибки, которые необходимо найти, устранить и вновь выполнить деформа­ционную проверку.

Для выполнения деформационной проверки суммарные эпюры перемножают на единичные, построенные от действия единичного силового фактора, приложенного к основной системе в точке, где от­брошена дополнительная связь по направлению этой связи. Для по­строения единичных эпюр рекомендуется выбирать иную основную систему, чем та, с использованием которой выполнялось решение.

Источник