Что значит простые множители в математике

Что такое множитель и разложение на простые множители

Дадим определение понятию «множитель» и разберемся что такое множитель. Какие множители бывают и почему некоторые из множителей — простые.

Определение множителя

В младших классах вы учили, что множители — это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.

Определения множителя как компонента умножения

Сейчас немного расширим понятие множителя.

Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?

Пример 1

Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения . Значит, согласно определению 5 — это множитель, 3 — это тоже множитель.

Пример 2

Рассмотрим теперь выражение: . Это выражение можно представить в виде произведения . Получаем два множителя — первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).

Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.

Простые множители

Пример 1

Разложите число 65 на простые множители.

Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 — простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число . И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.

Пример 2

Разложите число 270 на простые множители.

Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа — . Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: . Получившееся число опять делится на 3: . И снова число 15 делится на 3: . Получили простое число 5. Делим .

Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева — что получаем:

Разложение числа на простые множители в столбик.

Разложение числа на простые множители в строчку записывается так: .

Про разложение многочлена на множители поговорим в отдельной теме.

Источник

Разложение числа на простые множители

Что значит разложение числа на простые множители

В теории чисел важная роль отводится классу простых чисел.

Простым называется такое число, большее единицы, которое не имеет иных делителей, кроме единицы и самого себя.

Например, к простым числам относят: 2, 7, 11, 13 и т. д.

Любое число может быть представлено в виде произведения простых чисел. Эти простые числа будут делителями заданного числа.

Делитель — это число, на которое делится нацело данное число.

Если число не простое, то его можно последовательно раскладывать на множители, пока все множители не окажутся простыми.

Число, которое отличается от нуля и единицы и не является простым, называют составным.

Например, составными числами являются: 4, 6, 8, 9, 10 и т. д.

Разложить число на простые множители = представить число в виде произведения простых чисел.

При разложении множители могут располагаться в любом порядке, но единственным образом. В этом заключается свойство единственности.

Каждое натуральное число N, которое больше единицы, может быть разложено на простые множители только одним способом.

Основные способы, описание алгоритмов

Составное число можно разложить на простые множители путем представления его в виде произведения меньших составных чисел, которые потом преобразуются в произведения простых чисел.

1 вариант

Больше составных чисел в произведении нет. Значит, разложение на множители закончено.

Вся цепочка разложения: 144 = 12 · 12 = 3 · 4 · 2 · 6 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Здесь есть повторяющиеся числа: двойка встречается 4 раза, тройка — 2 раза.

Тогда разложение можно упростить, представив выражение в виде произведения степеней чисел 2 и 3:

2 вариант

72 можно представить в виде произведения 6 и 12. Эти числа составные, тогда их можно разложить на множители:

В этих разложениях составным числом будет 4. Осталось представить 4 в виде произведения простых множителей:

Все множители в конечном варианте являются простыми, значит, разложение закончено.

Каноническое разложение числа на простые множители

Разложение на простые множители рассматривают как процесс последовательного деления заданного числа на простые числа. Для этого используют признаки делимости.

Алгоритм выполнения заданий на разложение числа на простые множители:

Разложите 18 на простые множители.

Записываем число 18 и проводим справа вертикальную черту.

Подбираем простое число, на которое делится 18. Самое маленькое число, на которое делится 18 — 2.

Записываем 2 справа от черты.

Делим 18 на 2. Результат деления записываем под 18.

Подбираем число, на которое делится 9 нацело. Этим простым числом является 3. Записываем 3 под 2.

Делим 9 на 3. Получаем 3. Подписываем 3 слева от черты под 9.

Подбираем простое число, на которое делится 3 нацело. Это 3. Подписываем 3 справа от черты.

Делим 3 на 3. Получаем 1. Подписываем 1 под 3 слева от черты.

Дошли до единицы в результатах деления, записанных слева от вертикальной черты. Значит, разложение на простые множители закончили.

Простые множители — делители — оказались записаны справа от вертикальной черты.

Использование признаков делимости

При разложении числа на простые множители также используют признаки делимости.

Примеры признаков:

При разложении числа 100 на простые множители воспользуемся признаками делимости. Число оканчивается нулем, значит, по признаку делимости на 10 оно делится нацело на 10.

Числа 2 и 5 являются простыми, тогда разложение можно записать:

Примеры решения задач для 6 класса

Разложить на простые множители число 218.

Чтобы разложить 218 на простые множители, воспользуемся соответствующим алгоритмом.

Пишем число 218 и отделяем его вертикальной чертой справа.

По признаку делимости определяем, что число 218 делится нацело на 2, потому что заканчивается четной цифрой 8. Справа от черты записываем делитель 2:

Теперь делим 218 на 2. Получим 109. Число 109 пишем слева от черты под 218:

Берем число 109. Определим его делитель. 109 — это простое число, поэтому оно делится только на 1 и на 109. Соответственно, пишем справа от черты делитель 109:

При делении 109 на 109 получаем 1.

Когда получили единицу в результате деления, заканчиваем разложение на простые множители.

Представьте в виде произведения простых множителей число 325.

Используем алгоритм разложения на простые множители: ищем самое маленькое простое число, на которое делится 325.

325 не делится нацело ни на 2 — число нечетное, ни на 3 — сумма цифр числа (3+2+5=10) не делится нацело на 3. Следующим простым числом является 5.

По признаку делимости: число 325 заканчивается на пять, значит, делится нацело на 5.

Число 65 делится нацело на 5 по признаку делимости:

Число 13 является простым. Значит, делителем станет само число:

В результате деления получили единицу, значит, разложение на простые множители закончено.

В разложении есть повторяющиеся числа: пять встречается два раза. Поэтому запись можно изменить:

Напишите все однозначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух одинаковых чисел.

Выделим однозначные составные числа: 4, 6, 8, 9.

Разложим каждое на простые множители:

Из них выберем те числа, разложение которых состоит из двух одинаковых чисел: 4 и 9.

Источник

Разложение на множители что значит и как раскладывать на простые множители число, корни, трехчлен, квадратное уравнение, примеры и решения, правило и алгоритм

При решении математических уравнений часто приходится преобразовывать равенства для упрощения выражений. Делается это с помощью разложения на множители. Приводить к простому виду можно как многочлены, так и одночлены, при этом необязательно знать даже формулы. Для решения сложных заданий можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Пользоваться им несложно, главное, иметь чёткое условие задачи и доступ к интернету.

Термины и понятия

Под разложением в математике понимается операция, которую выполняют для превращения сложного неудобного для вычисления примера в простой. В учебниках и литературе такое преобразование выражений называется тождественным, то есть без изменения сути задания.

Из слова «множители» можно понять, что в превращении используется умножение. Зная, как разложить полином на простые числа, можно быстро решать задачи на действия с корнями и сложными дробями. Например, выражение (3*h*y + 9*y — 8*h — 24) * (3*h — 8) после упрощения примет вид: h + 3 — и быстро решается в уме.

В математике все алгебраические выражения могут быть:

Числа часто записывают в так называемом стандартном виде. Например, 296,8 = 2,968 * 102. То есть используется формула приведения: a * 10r, где 1≤а Простое разложение

На уроках математики ученикам предлагают разложить на простые множители числа с помощью столбика (двух колонок). Делается это по следующему алгоритму. Исходное число проверяют на возможность деления без остатка на два. Если делится, то рисуют две колонки, в правую вписывают двойку, а в левую число, получившееся после деления на него исходного. В обратном случае вместо двойки используют цифру три. Далее действия повторяют для числа, находящегося уже в правой колонке. Выполняют деление до тех пор, пока в левой колонке не останется единица. Например, число 1176 можно разложить следующим образом:

1176 | 2 (1176 / 2 = 588).

588 | 2 (588 / 2 = 294).

294 | 2 (294 / 2 = 147).

1176 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 7 = 23 * 3 * 72.

Для того чтобы понять алгоритм, лучше рассмотреть ещё несколько интересных примеров:

Используя метод, можно представить любое число как произведение простых множителей, но с условием, что изначально оно будет кратным двум или трём. В ином же случае простые множители подобрать не получится, как, например, для числа 247, которое можно заменить произведением чисел 13 и 19.

Вынесение коэффициента

Это довольно простой способ разложения многочлена. Выполняют его с помощью перестановки общего множителя за скобку, в которой остаётся сумма выражения. То есть для этого метода необходимо представить искомое в виде произведения нескольких полиномов.

Чтобы выделить общий множитель, следует выполнить:

Например, пусть дано выражение: 3у2 — 3y + 6 r*y. Согласно правилу, необходимо найти число, на которое без остатка можно разделить каждый из трёх коэффициентов многочлена. Для рассматриваемого примера это будет цифра 3.

Затем определить буквенный множитель, имеющийся в каждом члене выражения. Найденную цифру и повторяющееся неизвестное с наименьшей степенью записать за скобкой. Теперь нужно каждый одночлен разделить на вынесенное значение, а полученный результат записать в скобках: 3y * (y — 1 + 2r). Для проверки правильности действий нужно просто раскрыть скобки путём умножения каждого члена на вынесенный множитель.

Формулы умножения

Довольно часто для упрощения расчётов используют формулы сокращённого умножения. Всего существует семь выражений, которые необходимо выучить. Найти их можно в таблицах любого учебника по алгебре за седьмой класс. Смысл этих теорем в следующем:

Все эти формулы умножения можно использовать также в обратную сторону, то есть собирать многочлен. Например, для решения примеров типа: «квадратный трёхчлен разложен на множители, найдите а». Если понять смысл этих формул, то запомнить их наизусть будет довольно легко.

Метод группировки

Пожалуй, самый распространённый способ разложения на множители. Его удобно применять для упрощения квадратных уравнений без поиска корней. Разложение этим методом выполняют в следующей последовательности действий:

Выполнять группировку можно по-разному, но в итоге обязательно должен остаться общий многочлен. Например, выражение 48 * h * e 2 + 32 * h * q — 15 * e 2 — 10 * q2 возможно решить двумя способами.

Для того чтобы вынести многочлен за скобку, может понадобиться инвертировать все знаки. Следует помнить, что при выносе минуса у всех одночленов, оставшихся под скобкой, знак изменится на противоположный.

Выделение квадрата

По сути, выделение общего квадрата соответствует преобразованию, при котором трёхчлен представляют в виде (k + e)2 или (k — e)2. Метод используется для решения биквадратных уравнений. Для выделения полного квадрата при разложении многочлена на множители применяют две формулы:

Например, нужно упростить дробь: (k4 + 4 * e4) / (k4 + 2 * e2 + 2 * k * e). Необходимо разложить числитель, используя формулы для полного квадрата: (k4 + 4 * e4) = (k4 + 4 * e2 * k2 + 4 * e 4). Значит, если отнять от многочлена 4 * k2 * e2, то получится уравнение: (k2 + 2 * e2) * 2 − 4 * k2 * e2. Используя формулу умножения квадратов, верно будет записать: (k2 + 2 e 2 − 2 * k * e) * (k2 + 2 e 2 + 2 * k * e).

Заменив полученным выражением числитель, можно будет его часть взаимно сократить со знаменателем. В итоге получится простое выражение: h2 + 2 * e2 − 2 * h * e.

Неприводимые множители

Решая различные задачи, можно столкнуться со сложными выражениями, которые, как кажется, разложить нельзя. Например, (2 * p2 — 5 * p — 3)/(3 * p — 9). В числителе дроби находится квадратный трёхчлен, который на самом деле можно разложить. Для того чтобы его можно было упростить, используется формула: ar2 + br + p = a (r — r1) * (r — r2), где r1 и r2 корни выражения.

Чтобы найти решения для линейного уравнения, необходимо определить дискриминант. То есть нужно из задачи отделить числитель, найти его решения и подставить найденные значения в формулу разложения.

Теперь вместо числителя нужно подставить полученное разложение: (2*p2 — 5*p — 3)/(3*p — 9) = 2*(p — 3) * (p + ½)/3 * (p — 3) = (2 *p + 1)/3.

Использование онлайн-калькуляторов

Порой, для решения сложных заданий нужно затратить много времени. При этом всегда существует риск допустить ошибку при расчётах. Чтобы этого избежать или проверить свой ответ, можно воспользоваться сайтами, предлагающие онлайн-калькуляторы. Использовать их сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методов, используемых для упрощения выражений.

Расчёт обычно занимает менее 30 секунд. Приложений для упрощений уравнений достаточно много. Написаны они на Паскале или javascript. Появление ошибки при вычислении невозможно. Нередко на этих сайтах ещё и содержится информация о способах упрощения полиномов.

Для того чтобы получить ответ, необходимо будет с помощью браузера зайти на сайт онлайн-калькулятора и заполнить предлагаемые им поля. После того как упрощаемое выражение будет вписано, следует нажать кнопку «Рассчитать» или «Упростить выражение» и получить ответ с пошаговым решением.

Источник

Математика

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Все вещи можно представить в виде чисел.

Рассмотрим привычный всем карандаш. Привычный, обыденный предмет. Большинство людей даже не задумываются, из чего он состоит.

На самом деле, для изготовления карандаша понадобится древесина, грифель, краска. И это самый простейший перечень составляющих. Ведь собственные составляющие имеют краска, грифель, древесина. Поэтому список компонентов, необходимых для изготовления обычного карандаша, можно продолжать очень долго. Точно так происходит и с математическими числами. Каждое число имеет свой состав, в зависимости от состава – название.

А из чего состоят числа? Какие бывают? Как разложить число? На эти и многие другие вопросы ищите ответы в нашем уроке!

Простые и составные числа

На столе лежало 2 яблока, 4 апельсина. Сколько детей, смогут полакомиться, каждым видом фруктов?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно выяснить на какое количество человек можно разделить фрукты, не деля их на части (целыми).

В математике такие числа называют простыми

Получается, четыре мы можем разделить на 1, на само себя и еще на два. Такой вид чисел в арифметике называют составными:

Разложение на простые множители

В математике возникают ситуации, когда для выполнения определенных вычислений нужно знать, какие множители входят в состав того, или иного числа.

Например в состав 6, входит два простых множителя:

А как быть с большими числами, в записи, которых 2 и более знака? Как правильно выполнять и записывать разложение на простые множители?

Что значит «Разложить на простые множители?».

В арифметике для выполнения разложения на простые множители, существует специальный вид записи и алгоритм действий.

Давайте рассмотрим алгоритм действий:

Запись разложения числа на простые множители выполняется столбиком, состоящим из двух колонок. В правой колонке записываем делимое и полученное частное, в левой – пишем подходящие, простые делители. Между собой колонки разделены вертикальной чертой:

Разложим на множители число 20.

Для выполнения данного задания, используем рассмотренный алгоритм.

20 можно разделить на: 1, 2, 4, 5, 10,20.

Мы подобрали шесть делителей, значит, делимое, является составным числом.

Для этого вспоминаем изученные признаки делимости, и проверяем данное число.

Начнем с наименьшего простого числа 2

Делимое 20 оканчивается цифрой 0, значит, оно делится без остатка на 2.

Далее, подбираем делитель к полученному частному. Опять начинаем с наименьшего простого числа 2. Так как запись 10, оканчивается 0, по признаку делимости, число делится на 2 без остатка:

В результате мы получили простое число, которое можно разделить, только на само себя (на 1 деление не выполняем, оно не является простым числом).

Когда в частном получилась единица, то говорят, разложение числа на простые множители окончено.

Давайте запишем данную математическую операцию.

Выполнять запись будем в столбик.

Сначала записываем делимое и проводим вертикальную черту.

Рядом, с правой стороны, пишем первый делитель.

Выполняем деление и записываем частное под делимым.

После, снова подбираем делитель к полученному частному, справа пишем подходящий делитель. Выполняем деление до тех пор, пока в результате не увидим 1.

Выходит, 20 = 2×2×5. Полученное выражение можно записать немного иначе. В записи использовано два одинаковых множителя, повторяющихся два раза. Используя определение степени

Ничего сложного. Главное – запомнить порядок действий!

Рассмотрим еще один пример.

Разложим число 156.

Чтобы выполнить данное задание используем правило разложения числа на простые множители.

Выполняем деление и частное запишем под делимым: 156 : 2 = 78.

Полученное частное (78) оканчивается четной цифрой, следовательно,делится на 2. Рядом записываем делитель, выполняем деление:

Новый результат оканчивается нечетной цифрой, поэтому на два разделить нельзя. Смотрим, подойдет ли в качестве делителя следующее – 3. Вспоминаем признак делимости на 3:

В записи 39 использованы цифры 3,9. Найдем их сумму:

Полученная сумма делится на 3, следовательно, все число делится на 3.

Записываем делитель и выполняем деление 39 : 3 = 13. Частное, пишем в левый столбик:

Частное 13 – простое, делится на 1 и на само себя. Поэтому:

Разложение на простые множители выполнено.

Очень важно запомнить рассмотренные определения и алгоритм, так как умение раскладывать число на простые множители пригодится вам в течение всего учебного процесса!

Минутка истории

Интерес ученых к простым числам проснулся в третьем веке до нашей эры. Первым заинтересовался Евклид, нашел доказательство, что ряд простых чисел бесконечен. К сожалению,перечень известных, пополнялся новыми, очень медленно, пока не появились первые вычислительные машины, самостоятельно подбирающие делители к огромным числовым значениям. В 1952 г. самое большое простое числовое значение, известное науке содержало 157 цифр, уже в 1985 году количество цифр стало 65050. Сегодня, математики продолжают работать над этим вопросом. Результатом проделанной работы стало открытие американскими учеными нового, самого большого простого числового значения, состоящего из 65087 цифр. Научные сотрудники более 12 месяцев проверяли, подходящие под требования числовые значения. Проверено более 350000 чисел, подобрано несколько миллиардов различных делителей.

В декабре 2018, американский разработчик Патрик Ларош, побил мировые рекорды и открыл наибольшее простое число 2 82 589 933 – 1. Количество цифр этого числа равно 24 862 048. За свое открытие Патрик получил премию в размере 2 миллионов долларов.

Источник