Что значит проходит через начало координат

График линейной функции, его свойства и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Источник

Линейная функция, ее свойства и график

теория по математике 📈 функции

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент — положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

График данной функции зависит от k и b.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

4.13. Уравнения прямых на координатной плоскости

Давайте рассмотрим такие функций, графики которых имеют вид прямых. Простоты ради, мы будем иметь дело с безразмерными величинами, а значит, в качестве осей у нас будут выступать простые числовые прямые, и все наши чертежи мы будем делать на обычной координатной плоскости.

Прямая, проходящая через начало координат

Построение графика по заданной функции

Пусть переменная \(y\) пропорциональна переменной \(x\) с коэффициентом пропорциональности \(k\) :

Восстановление функции по графику

Заранее ясно, что это уравнение имеет вид

Пример нахождения уравнения прямой приведен на следующем рисунке.

Это соотношение между \(x\) и \(y\) остается справедливым в обоих рассмотренных частных случаях, однако выбор параметров не является однозначным, так как в качестве пары чисел \((x_1, y_1)\) можно взять координаты любой точки, принадлежащей прямой.

Произвольная прямая

Восстановление функции по графику

Начнем с обратной задачи. Пусть теперь на координатной плоскости дана произвольная прямая, не проходящая через начало координат. Вопрос нас будет интересовать всё тот же: графиком какой функции она является или, короче говоря, каково уравнение этой прямой?

Тогда координаты другой отмеченной точки в новой системе окажутся равны

Вообще, как мы знаем, новые («штрихованные») координаты любой точки связаны со старыми («нештрихованными») координатами соотношением

Наша прямая проходит через начало координат новой системы, поэтому мы можем сразу же выписать ее уравнение в «штрихованных» переменных:

Переходя к «нештрихованным» переменным, получаем

Что и решает поставленную задачу.

При желании, можно еще выразить функцию \(y\) от \(x\) в явном виде:

Из наших рассуждений следует, что любая прямая на координатной плоскости может быть описана уравнением вида

В совершенно общем виде уравнение прямой можно написать следующим образом:

\((x_1-x_0) (y-y_0) = (y_1-y_0) (x-x_0).\)

При этом, однако, выбор двух пар параметров \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) (которые, по смыслу, являются координатами двух произвольных точек, лежащих на прямой) неоднозначен.

Построение графика по заданной функции

где \(k\) и \(b\) — любые действительные числа. Как мы только что выяснили, к такому виду сводится уравнение произвольной прямой (при условии, что она не параллельна оси \(y\) ). Строго говоря, это не исключает, что при некоторых значения параметров \(k\) и \(b\) график этой функции может отличаться от прямой линии. Давайте убедимся, что этого никогда не происходит. Перепишем данное нам уравнение следующим образом:

Мы получим тогда не что иное, как уравнение пропорциональной зависимости, которое гарантировано задает прямую линию. Значит, и график неоднородной линейной функции

\(y_0 = b\) (при \(x_0 = 0\) ),
\(y_1 = k+b\,\) (при \(x_1 = 1\) ).

Проводим прямую через точки \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) — и задача решена. На практике, впрочем, лучше брать такие точки, которые расположены друг от друга по возможности дальше, насколько позволяет чертеж. Пример графика неоднородной линейной функции со значением параметров \(k = \frac<1><3>\) и \(b = 1\) представлен на следующем рисунке.

Конспект

Источник

Проходит через начало координат

Ответ или решение 1

Определим, какой график функции не проходит через начало координат.

График функции не проходит через начало координат.

График функции проходит через начало координат, так как, при х = 0, у = 2 * 0 = 0.

График функции проходит через начало координат, так как, при х = 0, у = 2 * 0/13 = 0.

Давайте рассмотрим такие функций, графики которых имеют вид прямых. Простоты ради, мы будем иметь дело с безразмерными величинами, а значит, в качестве осей у нас будут выступать простые числовые прямые, и все наши чертежи мы будем делать на обычной координатной плоскости.

Прямая, проходящая через начало координат

Построение графика по заданной функции

Пусть переменная (y) пропорциональна переменной (x) с коэффициентом пропорциональности (k) :

Восстановление функции по графику

Заранее ясно, что это уравнение имеет вид

Пример нахождения уравнения прямой приведен на следующем рисунке.

Это соотношение между (x) и (y) остается справедливым в обоих рассмотренных частных случаях, однако выбор параметров не является однозначным, так как в качестве пары чисел ((x_1, y_1)) можно взять координаты любой точки, принадлежащей прямой.

Произвольная прямая

Восстановление функции по графику

Начнем с обратной задачи. Пусть теперь на координатной плоскости дана произвольная прямая, не проходящая через начало координат. Вопрос нас будет интересовать всё тот же: графиком какой функции она является или, короче говоря, каково уравнение этой прямой?

Тогда координаты другой отмеченной точки в новой системе окажутся равны

x_1 – x_0 \ y_1 – y_0end

Вообще, как мы знаем, новые («штрихованные») координаты любой точки связаны со старыми («нештрихованными») координатами соотношением

Наша прямая проходит через начало координат новой системы, поэтому мы можем сразу же выписать ее уравнение в «штрихованных» переменных:

Переходя к «нештрихованным» переменным, получаем

Что и решает поставленную задачу.

При желании, можно еще выразить функцию (y) от (x) в явном виде:

(y = k,x + b,) где (b = – k,x_0 + y_0.)

Из наших рассуждений следует, что любая прямая на координатной плоскости может быть описана уравнением вида

(x = 0 cdot (y – y_0) + x_0.)

В совершенно общем виде уравнение прямой можно написать следующим образом:

((x_1-x_0) (y-y_0) = (y_1-y_0) (x-x_0).)

При этом, однако, выбор двух пар параметров ((x_0, y_0)) и ((x_1, y_1)) (которые, по смыслу, являются координатами двух произвольных точек, лежащих на прямой) неоднозначен.

Построение графика по заданной функции

где (k) и (b) — любые действительные числа. Как мы только что выяснили, к такому виду сводится уравнение произвольной прямой (при условии, что она не параллельна оси (y) ). Строго говоря, это не исключает, что при некоторых значения параметров (k) и (b) график этой функции может отличаться от прямой линии. Давайте убедимся, что этого никогда не происходит. Перепишем данное нам уравнение следующим образом:

Мы получим тогда не что иное, как уравнение пропорциональной зависимости, которое гарантировано задает прямую линию. Значит, и график неоднородной линейной функции

(y_0 = b) (при (x_0 = 0) ),
(y_1 = k+b,) (при (x_1 = 1) ).

Проводим прямую через точки ((x_0, y_0)) и ((x_1, y_1)) — и задача решена. На практике, впрочем, лучше брать такие точки, которые расположены друг от друга по возможности дальше, насколько позволяет чертеж. Пример графика неоднородной линейной функции со значением параметров (k = frac ) и (b = 1) представлен на следующем рисунке.

Конспект

Регистрация новых пользователей временно отключена

Опубликовано 05.12.2018 по предмету Алгебра от Гость

задайте формулой линейную функцию,график которой проходит через начало координат и точку М(3:-4,5).Найдите точку пересечения этого графика с прямой x-2y+4=0

Ответ оставил Гуру

Линейная функция, график которой проходит через начало координат, имеет вид у=кх, откуда к=у/х.Подставляя координаты точки М, получим к=-4,5/3=-1,5, т.е. у=-1,5х Решаем систему (способом подстановки):

Источник

Построение графиков функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник