Что значит проекция на гипотенузу
Что значит проекция на гипотенузу
Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике
§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.
Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике
Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).
Используем обычные обозначения:
`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;
`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;
`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;
`R` – радиус описанной окружности;
`r` – радиус вписанной окружности.
`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.
Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
`c^2 = a^2 + b^2`
Доказательство теоремы повторите по учебнику.
Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу
Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу
Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.
Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.
Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу
Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.
Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.
.
Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы
Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.
Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей
`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`
Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:
Проекция геометрических фигур
15 Dec 2020 в 16:17
15 Dec 2020 в 16:17 #1
Всем привет! Помогите разобраться. Если у нас есть прямоугольный треугольник и из прямого угла опущена высота, почему проекция катета на гипотенузу не равна самому катету?
Когда мы проецируем фигуру на плоскость, то мы из каждой точки исходной фигуры опускаем перпендикуляр на плоскость. И в итоге получается новая фигура, которая состоит из того же кол-ва точек, что и исходная. Тогда будет ли равна площадь исходной фигуры площади полученной фигуры в результате проецирования?
P.S. Я могу загуглить формулу площади проекции плоской фигуры.
15 Dec 2020 в 16:21 #2
проекция гипотенузы на катет = катет, но не наоборот, чуть чуть подумай головкой, либо можешь в лс написать я тебе поподробнее расскажу
площадь полученной фигуры не всегда будет равна площади изначальной, это жалкий частный случай
15 Dec 2020 в 16:31 #3
проекция гипотенузы на катет = катет, но не наоборот, чуть чуть подумай головкой, либо можешь в лс написать я тебе поподробнее расскажу
площадь полученной фигуры не всегда будет равна площади изначальной, это жалкий частный случай
Тогда у меня получается, что катет = гипотенузе
15 Dec 2020 в 16:32 #4
Тогда у меня получается, что катет = гипотенузе
15 Dec 2020 в 16:40 #5
15 Dec 2020 в 16:41 #6
Мы же должны из каждой точки катета опустить перпендикуляр на гипотенузу. Верхние и нижние точки катета совпадут с вершина треугольника. И если из них проведу перпендикуляр к гипотенузе, то самый нижний перпендикуляр совпадет с катетом b, а верхний с вершиной треугольника.
Я как бы понимаю, что катет не равен гипотенузе, но по моему рисунку почему-то равен
15 Dec 2020 в 16:43 #7
сам загуглишь что такое ортогональная проекция или помочь?
15 Dec 2020 в 16:47 #8
Что-то я не вижу здесь
из прямого угла опущена высота
15 Dec 2020 в 16:49 #9
сам загуглишь что такое ортогональная проекция или помочь?
Загуглить-то я и сам могу.
Что-то я не вижу здесь
На этом рисунке этого нет. Сейчас скину другой.
15 Dec 2020 в 16:53 #10
Мы же должны из каждой точки катета опустить перпендикуляр на гипотенузу. Верхние и нижние точки катета совпадут с вершина треугольника. И если из них проведу перпендикуляр к гипотенузе, то самый нижний перпендикуляр совпадет с катетом b, а верхний с вершиной треугольника.
Я как бы понимаю, что катет не равен гипотенузе, но по моему рисунку почему-то равен
на рисунке ты проецируешь гипотенузу на катет. При этом гипотенуза находится под углом к катету => очевидно не будет равна катету. Если бы они были паралелльны друг другу, то катет и гипотенуза были бы равны. НО это уже не треугольник.
Всем привет! Помогите разобраться. Если у нас есть прямоугольный треугольник и из прямого угла опущена высота, почему проекция катета на гипотенузу не равна самому катету?
Когда мы проецируем фигуру на плоскость, то мы из каждой точки исходной фигуры опускаем перпендикуляр на плоскость. И в итоге получается новая фигура, которая состоит из того же кол-ва точек, что и исходная. Тогда будет ли равна площадь исходной фигуры площади полученной фигуры в результате проецирования?
P.S. Я могу загуглить формулу площади проекции плоской фигуры.
потому что гипотенуза проецируется под прямым углом. Чтобы получить проекцию катета на гипотенузе, нужно провести перпенидкуляр из конца катета к гипотенузе.
15 Dec 2020 в 16:55 #11
Всем привет! Помогите разобраться. Если у нас есть прямоугольный треугольник и из прямого угла опущена высота, почему проекция катета на гипотенузу не равна самому катету?
Потому шо в треугольнике ( в частности который составлен из проекции, высоты и катета) напротив большего угла лежит большая сторона. При этом такой треугольник всегда будет образовываться, тк у прямоугольного треугольника исходного острые углы при гипотенузе. Тебе надо с аксиом начать и продолжить доказательством теорем с пониманием понятий, а не по другому. В первом предложении именно теорема, ее доказательство в начале любого учебника по планиметрии за 7-9 класс.
Можно было бы от противного доказать, предположив, что твое утверждение верное. А далее воспользоваться признаком равнобедренного треугольника и теоремой о сумме углов в треугольнике.
Как найти проекцию катета на гипотенузу
Если в исходных условиях задачи приведены длины гипотенузы (С) и того катета (А), проекцию которого (Ас) требуется вычислить, то используйте одно из свойств треугольника. Воспользуйтесь тем, что среднее геометрическое длин гипотенузы и искомой проекции равно длине катета: А = √(С*Ас). Так как понятие «среднее геометрическое» эквивалентно «корню из произведения», то для нахождения проекции катета возводите в квадрат длину катета и делите полученное значение на длину гипотенузы: Ас = (А/√С)² = А²/С.
Если длина гипотенузы неизвестна, а даны лишь длины обоих катетов (А и В), то в вычислении длины нужной проекции (Ас) можно задействовать теорему Пифагора. Выразите в соответствии с ней длину гипотенузы через длины катетов √(А²+В²) и подставьте полученное выражение в формулу из предыдущего шага: Ас = А²/√(А²+В²).
Если длины катетов неизвестны, но дано их соотношение (x/y), а также длина гипотенузы (C), то воспользуйтесь парой формул из первого и третьего шагов. Согласно выражению из первого шага, соотношение проекций катетов (Ас и Вс) будет равно соотношению квадратов их длин: Ас/Вс = x²/y². С другой стороны, согласно формуле из предыдущего шага, Ас+Вс = С. В первом равенстве выразите длину ненужной проекции через нужную и подставьте полученное значение во вторую формулу: Ас + Ас*x²/y² = Ас*(1 + x²/y²) = С. Из этого равенства выведите формулу нахождения нужной проекции катета: Ас = С/(1 + x²/y²).
Если известна длина проекции на гипотенузу одного катета (Вс), а длина самой гипотенузы не приведена в условиях, но дана высота (Н), проведенная из прямого угла треугольника, то этого тоже будет достаточно для вычисления длины проекции другого катета (Ас). Возведите высоту в квадрат и разделите на длину известной проекции: Ас = Н²/Вс.
Что такое проекция одного из катетов на гипотенузу?
Как найти длину проекции катета на гипотенузу?
Так как понятие «среднее геометрическое» эквивалентно «корню из произведения», то для нахождения проекции катета возводите в квадрат длину катета и делите полученное значение на длину гипотенузы: Ас = (А/√С)² = А²/С.
Как найти катет если известна гипотенуза?
Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету угла. Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к первому катету угла.
Что такое проекция в планиметрии?
Как найти наклонную и ее проекцию?
Повернув прямоугольные треугольники вокруг общего их катета (перпендикуляра к плоскости) до совмещения их плоскостей, получим все наклонные (гипотенузы) и их проекции (другие катеты) в одной плоскости, где эти теоремы верны.
Что такое проекция в информатике?
Проекция, проецирование — получение изображения из оптического прибора на удалённом от него экране. Проекция (реляционная алгебра) — одна из операций над отношениями в реляционных базах данных.
Как найти сторону равнобедренного треугольника если известна гипотенуза?
Чтобы найти катеты равнобедренного треугольника, используйте теорему Пифагора. Она гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Формула: а^2+в^2=с^2.
Как найти неизвестный катет по теореме Пифагора?
Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и один из катетов, то второй катет найдите, используя теорему Пифагора. Поскольку сумма квадратов катетов a и b, равна квадрату гипотенузы c (c²=a²+b²), то, произведя несложное преобразование, получите равенство для нахождения неизвестного катета.
Почему в прямоугольном треугольнике гипотенуза Наибольшая сторона?
Как найти катет если два угла по 45?
Тогда по формуле Пифагора: а²+b²=c² имеем 2а²=с², отсюда а=с/√2 или а=с√2/2. Ответ: против угла 45° лежит катет, равный другому катету или равный гипотенузе, деленной на √2.
Как найти проекцию катета на гипотенузу
Две короткие стороны прямоугольного треугольника называют катетами, а длинную – гипотенузой. Проекции коротких сторон на длинную делят гипотенузу на два отрезка различной длины. Если появляется надобность в вычислении величины одного из этих отрезков, то методы решения задачи целиком зависят от предлагаемого в условиях комплекта начальных данных.
Инструкция
3. Если вестима длина проекции одного из катетов (Вс) и длина гипотенузы (С), то метод нахождения длины проекции иного катета (Ас) явствен – примитивно отнимите от 2-й вестимой величины первую: Ас = С-Вс.
4. Если длины катетов неведомы, но дано их соотношение (x/y), а также длина гипотенузы (C), то воспользуйтесь парой формул из первого и третьего шагов. Согласно выражению из первого шага, соотношение проекций катетов (Ас и Вс) будет равно соотношению квадратов их длин: Ас/Вс = x?/y?. С иной стороны, согласно формуле из предыдущего шага, Ас+Вс = С. В первом равенстве выразите длину непотребной проекции через необходимую и подставьте полученное значение во вторую формулу: Ас + Ас*x?/y? = Ас*(1 + x?/y?) = С. Из этого равенства выведите формулу нахождения требуемой проекции катета: Ас = С/(1 + x?/y?).
5. Если вестима длина проекции на гипотенузу одного катета (Вс), а длина самой гипотенузы не приведена в условиях, но дана высота (Н), проведенная из прямого угла треугольника, то этого тоже будет довольно для вычисления длины проекции иного катета (Ас). Возведите высоту в квадрат и поделите на длину знаменитой проекции: Ас = Н?/Вс.
Совет 2: Как обнаружить гипотенузу треугольника
Инструкция
2. Если знаменит один из катетов и острый угол, то формула для нахождения гипотенузы будет зависеть от того, какой данный угол по отношению к знаменитому катету – прилежащий (расположенный вблизи катета) либо противолежащий (расположенный наоборот него.В случае прилежащего угла, гипотенуза равна отношению катета на косинус этого угла: с = a/cos?;E угол противолежащий, гипотенуза равна отношению катета на синус угла: с = a/sin?.
Видео по теме
Совет 3: Как обнаружить среднее геометрическое
Среднее геометрическое в совокупности применяется реже, чем арифметическое среднее, впрочем оно может быть благотворно при вычислении среднего значения показателей, изменяющихся с течением времени (заработная плата отдельного работника, динамика показателей успеваемости и т.п.).
Вам понадобится
Инструкция
1. Для того дабы обнаружить среднее геометрическое ряда чисел, для начала надобно перемножить все эти числа. Скажем, вам дан комплект из пяти показателей: 12, 3, 6, 9 и 4. Перемножим все эти числа: 12х3х6х9х4=7776.
2. Сейчас из полученного числа надобно извлечь корень степени, равной числу элементов ряда. В нашем случае из числа 7776 необходимо будет извлечь корень пятой степени при помощи инженерного калькулятора. Полученное позже этой операции число – в данном случае число 6 – будет являться средним геометрическим для начальной группы чисел.
3. Если у вас под рукой нет инженерного калькулятора, то вычислить среднее геометрическое ряда чисел дозволено с подмогой функции СРГЕОМ в программе Excel либо при помощи одного из онлайн-калькуляторов, намеренно предуготовленных для вычисления средних геометрических значений.
Обратите внимание!
Если понадобится обнаружить среднее геометрическое каждого для 2-х чисел, то инженерный калькулятор вам не потребуется: извлечь корень 2-й степени (квадратный корень) из всякого числа дозволено при помощи самого обыкновенного калькулятора.
Полезный совет
В различие от среднего арифметического, на геометрическое среднее не так крепко влияют крупные отклонения и колебания между отдельными значениями в исследуемом комплекте показателей.
Совет 4: Как обнаружить проекцию
В прямоугольном треугольнике существует два вида сторон – короткая сторона «катет» и длинная сторона «гипотенуза». Если провести проекцию катета на гипотенузу, та разделится на два отрезка. Дабы определить величину одного из них, надобно прописать комплект начальных данных.
Инструкция
2. Рассматривая, что корень из произведения обозначает то же самое, что и среднее геометрическое, возведите в квадрат значение N (длину желанного катета), и поделите на длину гипотенузы. То есть Nd = (N/?D)? = N?/D.В начальных данных задачи длина могут быть даны значения только катетов N и T. В этом случае длину проекции Nd находите с поддержкой теоремы Пифагора.
4. Если в начальных данных содержится информация о длине проекции катета Rd и величине гипотенузы D, то длину проекции второго катета Nd вычислите с подмогой примитивной формулы вычитания – Nd = D – Rd.
5. В обстановки, когда знаменито лишь значение длины гипотенузы D и дано примитивное соотношение длин катетов (m/h) обратитесь за поддержкой к формулам из первого шага и третьего шага.
6. Согласно формуле из первого шага примите как факт, что соотношение проекций Nd и Rd приравнивается к соотношению квадратных значений их длин. То есть Nd/Rd = m?/h?. Также сумма проекций катетов Nd и Rd равняется длине гипотенузы.
7. Выразите значение проекции катета Rd через желанный катет Nd и подставьте в формулу суммирования. В итоге вы получите Nd + Nd*m?/h? = Nd*(1 + m?/h?) = D, позже чего выведите формулу нахождения Nd = D/(1 + m?/h?). Значение Nd и укажет величину желанного катета.
Совет 5: Как вычислить длину катета прямоугольного треугольника
Треугольник именуется прямоугольным, если угол одной из его вершин равен 90°. Сторона, которая лежит наоборот этой вершины, именуется гипотенузой, а две другие – катетами. Длины сторон и величины углов в такой фигуре связаны между собой теми же соотношениями, что и в любом ином треугольнике, но потому что синус и косинус прямого угла равны единице и нулю, формулы гораздо упрощаются.
Инструкция
2. Зная величину угла (?) при вершине треугольника, лежащей наоборот катета знаменитой длины (a), тоже дозволено рассчитать неведомую длину второго катета (b). Для этого примените определение одной из тригонометрических функций – тангенса – для острого угла. Из него вытекает, что желанная длина катета должна быть равна размеру знаменитой стороны, поделенному на тангенс противолежащего угла: b = a/tg(?).
3. Определение котангенса для острого угла используйте для нахождения длины катета (b) в том случае, если в условиях приведена величина угла (?), примыкающего к иному катету вестимой длины (a). Формула в всеобщем виде будет выглядеть примерно так же, как и в предыдущем шаге, замените в ней лишь наименование функции и обозначение угла: b = a/ctg(?).
4. При вестимой длине гипотенузы (c) в вычислениях размеров катета (b) дозволено применять определения основных тригонометрических функций – синуса и косинуса – для острых углов. Если в условиях дана величина угла (?) между этими двумя сторонами, из 2-х функций следует предпочесть косинус. Умножьте длину гипотенузы на косинус знаменитого угла: b = c*cos(?).
5. Определение синуса для острых углов используйте в тех случаях, когда помимо длины гипотенузы (c) дана величина угла (?) в вершине, лежащей наоборот желанного катета (b). Формула расчета в всеобщем виде будет схожа с предыдущей – она должна содержать произведение длины гипотенузы на синус угла заданной величины: b = c*sin(?).