Что значит привести к общему знаменателю
Приведение дробей к общему знаменателю.
Общий знаменатель и дополнительный множитель.
У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:
Пример разных знаменателей у дробей:
Как привести к общему знаменателю дроби?
У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.
Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.
Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.
Мы привели к общему знаменателю дроби:
Наименьший общий знаменатель.
Рассмотрим еще пример:
Приведем дроби \(\frac<5><8>\) и \(\frac<7><12>\) к общему знаменателю.
Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.
Как найти наименьший общий знаменатель?
Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.
Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.
Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ сократить.
Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.
Например:
Приведите дроби \(\frac<1><4>\) и \(\frac<9><16>\) к наименьшему общему знаменателю.
Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:
Вопросы по теме:
Любые ли две дроби можно привести к одному общему знаменателю?
Ответ: да.
К какому знаменателю принято приводить дроби?
Ответ: к наименьшему общему знаменателю.
Пример №1:
Для дроби \(\frac<1><2>\) запишите равную дробь со знаменателем: а) 12 б) 18 в) 50?
Решение:
а) Число 2 нужно умножить на 6, чтобы получить 12. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 6.
б) Число 2 нужно умножить на 9, чтобы получить 18. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 9.
в) Число 2 нужно умножить на 25, чтобы получить 50. Следовательно мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 25.
Приведение дробей к общему знаменателю
Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.
Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:
Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.
Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:
Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них — в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.
Умножение «крест-накрест»
Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую — на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:
Задача. Найдите значения выражений:
В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:
Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом — так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.
Единственный недостаток данного метода — приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.
Метод общих делителей
Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:
Задача. Найдите значения выражений:
Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!
Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.
В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.
Метод наименьшего общего кратного
Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.
Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».
Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их (НОК).
Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:
Задача. Найдите значения выражений:
Теперь приведем дроби к общим знаменателям:
Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:
Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.
Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи — не предел!
Единственная проблема — как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.
Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю: правило, примеры решений
В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.
Что такое приведение дроби к общему знаменателю?
Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.
Приведение дробей к общему знаменателю
Общий знаменатель: определение, примеры
Что такое общий знаменатель?
Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.
Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.
Пример 1. Общий знаменатель
Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.
Наименьший общий знаменатель
Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель
Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:
Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю
Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.
Правило приведения дробей к общему знаменателю
Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.
Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю
По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.
Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:
Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю
По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.
Приведем еще один пример.
Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю
Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:
Далее вычислим дополнительные множители для каждой дроби.
Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:
3 2 · 36 = 108 72 5 6 · 12 = 60 72 3 8 · 9 = 27 72 17 18 · 4 = 68 72
Дроби. Приведение дробей к общему знаменателю.
Любые 2 дроби возможно привести к одинаковому знаменателю, либо, говоря другими словами, к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю значит выразить дроби в одинаковых частях единицы с сохранением величины дроби.
Общим знаменателем дробей может стать каждое общее кратное знаменателей этих дробей (пример: произведение знаменателей). Он равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей этих дробей. Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножать на одинаковое число, не равное нулю.
Зачем приводят дроби к общему знаменателю? Ниже приведены некоторые причины:
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо:
Привести дроби 
, 
к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).
1. Определим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей заданных дробей – это будет искомым наименьшим общим знаменателем:
НОЗ (наименьший общий знаменатель) = 12;
2. Разделим наименьший общий знаменатель на знаменатели заданных дробей, то есть найдем для каждой дроби дополнительный множитель:
дополнительный множитель для дроби :
дополнительный множитель для дроби :
3. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:
, 
Дроби приведены к общему знаменателю.
Урок 10 Бесплатно Приведение дробей к общему знаменателю
В этом уроке мы с вами научимся приводить дроби к одинаковому знаменателю. Это очень полезные приёмы, которые пригодятся в дальнейшем даже на экзамене в 9 классе. Поэтому будьте внимательны и изучайте материал, ничего не пропуская!
Приведение дробей к общему знаменателю
Умножим числитель и знаменатель дроби \(\mathbf<\frac<3><4>>\) на одно и то же число 2. Получим равную ей дробь \(\mathbf<\frac<6><8>>\), т.е. \(\mathbf<\frac<3> <4>= \frac<6><8>>\).
Говорят, что мы привели дробь \(\mathbf<\frac<3><4>>\) к новому знаменателю 8.
Дробь можно привести к любому знаменателю, кратному знаменателю этой дроби.
Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным множителем.
При приведении дроби к новому знаменателю ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.
Пример 1
Приведем дробь \(\mathbf<\frac<4><5>>\) к знаменателю 20
Решение:
Число 20 кратно 5, так как 20 : 5 = 4
Дополнительным множителем является число 4.
Умножив числитель и знаменатель дроби на 4, получим \(\mathbf<\frac<4> <5>= \frac<4\cdot4> <5\cdot4>= \frac<16><20>>\)
Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или иначе, к общему знаменателю.
Пример 2
А) \(\mathbf<\frac<7><15>>\) к знаменателю 60
Б) \(\mathbf<\frac<4><9>>\) к знаменателю 27
В) \(\mathbf<\frac<5><7>>\) к знаменателю 42
Г) \(\mathbf<\frac<6><11>>\) к знаменателю 44
Решение:
Пример 3
Решение:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Понятие общего знаменателя очень часто используется при решении математических задач.
Так как дроби отражают части чего-то целого, то приведение их к общему знаменателю позволяет сравнить эти части.
Таким образом мы узнаем, какая из них меньше или больше, а дальше сможем сделать решение задачи или сразу дать ответ на поставленный вопрос.
Например, если мы захотим сравнить половину яблока и две трети яблока, в ход пойдёт сравнение двух дробей: \(\mathbf<\frac<1><2>>\) и \(\mathbf<\frac<2><3>>\)
После того как мы приведём их к общему знаменателю, получим:
Отсюда уже видно, что две трети яблока будут больше, чем его половина. Общий знаменатель очень полезен в данном случае.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю
Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей (например, произведение знаменателей).
Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.
Пример 1
Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби \(\mathbf<\frac<3><4>>\) и \(\mathbf<\frac<5><6>>\)
Решение:
Наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является 12
Чтобы привести дробь \(\mathbf<\frac<3><4>>\) к знаменателю 12, надо умножить числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3 (12 : 4 = 3)
Чтобы привести дробь \(\mathbf<\frac<5><6>>\) к знаменателю 12, надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на дополнительный множитель 2 (12 : 6 = 2)
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:
В сложных случаях наименьший общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.
Пример 2
Приведем дроби \(\mathbf<\frac<11><60>>\) и \(\mathbf<\frac<31><168>>\) к наименьшему общему знаменателю.
Решение:
Разложим знаменатели данных дробей на простые множители:
Дополнительными множителями для дроби \(\mathbf<\frac<11><60>>\) является произведение \(\mathbf<2\cdot7>\), т.е. тех множителей, которые надо добавить к разложению числа 60, чтобы получить разложение общего знаменателя 840.
Для дроби \(\mathbf<\frac<31><168>>\) таким же способом находим дополнительный множитель 5.
Пример 3
Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: