Что значит преобразуйте выражение

Преобразование целых выражений

Благодаря курсу алгебры, известно, что все выражения требуют преобразования для более удобного решения. Определение целых выражений способствует тому, что для начала выполняются тождественные преобразования. Будем преобразовывать выражение в многочлен. В заключении разберем несколько примеров.

Определение и примеры целых выражений

Целые выражения – это числа, переменные или выражения со сложением или вычитанием, которые записываются в виде степени с натуральным показателем, которые также имеют скобки или деление, отличное от нуля.

Многочлен и одночлен являются целыми выражениями, с которыми встречаемся в школе при работе с рациональными числами. Иначе говоря, целые выражения не включают в себя записи иррациональных дробей. Другое название – это целые иррациональные выражения.

Какие преобразования целых выражений возможны?

Целые выражения рассматриваются при решении как основные тождественные преобразования, раскрытие скобок, группирование, приведение подобных.

Для начала необходимо применить правило раскрытия скобок. Получим выражение вида 2 · ( a 3 + 3 · a · b − 2 · a ) − 2 · a 3 − ( 5 · a · b − 6 · a + b ) = = 2 · a 3 + 2 · 3 · a · b + 2 · ( − 2 · a ) − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = 2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b

После чего можем привести подобные слагаемые:

Представить выражение 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) в виде произведения.

6 · y · ( x 2 + 3 · x − 1 ) − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) = = ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( 6 · y − ( x 3 + 4 · x ) )

Ответ: 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) = = ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( 6 · y − x 3 − 4 · x )

Тождественные преобразования требуют строгое выполнение порядка действий.

8 · x 8 + 4 · x : 8 = 8 · x 8 + 4 · x · 1 8 = 8 · x 8 + 4 · 1 8 · x = 8 · x 8 + 1 2 · x

Преобразование в многочлен

Большинство случаев преобразования целых выражений – это представление в виде многочлена. Любое выражение можно представить в виде многочлена. Любое выражение может быть рассмотрено как многочлены, соединенные арифметическими знаками. Любое действие над многочленами в итоге дает многочлен.

Для того, чтобы выражение было представлено в виде многочлена, необходимо выполнять все действия с многочленами, согласно алгоритму.

Разберем умножение. Видно, что 2 · ( 2 · x 3 − 1 ) = 4 · x 3 − 2 и ( 4 · x 2 − 4 · x + 1 ) · ( 3 − x ) = 12 · x 2 − 4 · x 3 − 12 · x + 4 · x 2 + 3 − x = = 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3

Выполняем сложение, после чего придем к выражению:

Умножение и возведение в степень многочлена говорит о том, что необходимо использовать формулы сокращенного умножения для ускорения процесса преобразования. Это способствует тому, что действия будут выполнены рационально и правильно.

Чтобы преобразование не было слишком длинным, необходимо заданное выражение приводить к стандартному виду.

Упростить выражение вида ( 2 · a · ( − 3 ) · a 2 · b ) · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( a 2 + 1 + a 2 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) + ( 5 · a · b · ( − 3 ) · b 2 )

− 6 · a 3 · b · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( 2 · a 2 + 1 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + ( 2 · a 3 · b + a · b ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + 12 · a 4 · b + 30 · a 3 · b 3 + 6 · a 2 · b + 15 · a · b 3 − 15 · a · b 3 = = ( − 12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b ) + ( − 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3 ) + 6 · a 2 · b + ( 15 · a · b 3 − 15 · a · b 3 ) = 6 · a 2 · b

Ответ: ( 2 · a · ( − 3 ) · a 2 · b ) · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( a 2 + 1 + a 2 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) + + ( 5 · a · b · ( − 3 ) · b 2 ) = 6 · a 2 · b

Источник

Тождественные преобразования выражений, их виды

Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи. Основные виды тождественных преобразований мы рассмотрим в этой теме.

Тождественное преобразование выражения. Что это такое?

Впервые встречаемся с понятием тождественных преобразованный мы на уроках алгебры в 7 классе. Тогда же мы впервые знакомимся с понятием тождественно равных выражений. Давайте разберемся с понятиями и определениями, чтобы облегчить усвоение темы.

Тождественное преобразование выражения – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Часто это определение используется в сокращенном виде, в котором опускается слово «тождественное». Предполагается, что мы в любом случае проводим преобразование выражения таким образом, чтобы получить выражение, тождественное исходному, и это не требуется отдельно подчеркивать.

Проиллюстрируем данное определение примерами.

Замена выражения 2 · a 6 на выражение a 3 – это тождественное преобразование, тогда как замена выражения x на выражение x 2 не является тождественным преобразованием, так как выражения x и x 2 не являются тождественно равными.

Тождественные преобразования и ОДЗ

Ряд выражений, которые мы начинаем изучать в 8 классе, имеют смысл не при любых значениях переменных. Проведение тождественных преобразований в этих случаях требует от нас внимания к области допустимых значений переменных (ОДЗ). Выполнение тождественных преобразований может оставлять ОДЗ неизменной или же сужать ее.

При выполнении перехода от выражения a + ( − b ) к выражению a − b область допустимых значений переменных a и b остается прежней.

Переход от выражения x к выражению x 2 x приводит к сужению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел до множества всех действительных чисел, из которого был исключен ноль.

Тождественное преобразование выражения x 2 x выражением х приводит к расширению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел за исключением нуля до множества всех действительных чисел.

Сужение или расширение области допустимых значений переменных при проведении тождественных преобразований имеет значение при решении задач, так как может повлиять на точность проведения вычислений и привести к появлению ошибок.

Основные тождественные преобразования

Давайте теперь посмотрим, какими бывают тождественные преобразования и как они выполняются. Выделим те виды тождественных преобразований, с которыми нам приходится иметь дело чаще всего, в группу основных.

Помимо основных тождественных преобразований существует ряд преобразований, которые относятся к выражениям конкретного вида. Для дробей это приемы сокращения и приведения к новому знаменателю. Для выражений с корнями и степенями все действия, которые выполняются на базе свойств корней и степеней. Для логарифмических выражений действия, которые проводятся на основе свойств логарифмов. Для тригонометрических выражений все действия с использованием тригонометрических формул. Все эти частные преобразования подробно разбираются в отдельных темах, которые можно найти на нашем ресурсе. В связи с этим в этой стстье мы на них останавливаться не будем.

Перейдем к рассмотрению основных тождественных преобразований.

Перестановка местами слагаемых, множителей

Начнем с перестановки слагаемых местами. С этим тождественным преобразованием мы имеем дело чаще всего. И основным правилом здесь можно считать следующее утверждение: в любой сумме перестановка слагаемых местами не отражается на результате.

Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах сложения. Эти свойства позволяют нам переставлять слагаемые местами и получать при этом выражения, которые тождественно равны исходным. Именно поэтому перестановка слагаемых местами в сумме является тождественным преобразованием.

В качестве слагаемых в сумме могут выступать не только числа, но и выражения. Их точно так же, как и числа, можно переставлять местами, не влияя на конечный результат вычислений.

Точно так же, как и слагаемые, в исходных выражениях можно менять местами множители и получать тождественно верные уравнения. Проведение этого действия регулируется следующим правилом:

В произведении перестановка множителей местами не влияет на результат вычислений.

Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах умножения, которые подтверждают верность тождественного преобразования.

Раскрытие скобок

Скобки могут содержать записи числовых выражений и выражений с переменными. Эти выражения могут быть преобразованы в тождественно равные выражения, в которых скобок не будет вообще или их будет меньше, чем в исходных выражениях. Этот способ преобразования выражений называют раскрытием скобок.

Правила преобразования выражений со скобками мы подробно разобрали в теме «Раскрытие скобок», которая размещена на нашем ресурсе.

Группировка слагаемых, множителей

В случаях, когда мы имеем дело с тремя и большим количеством слагаемых, мы можем прибегнуть к такому виду тождественных преобразований как группировка слагаемых. Под этим способом преобразований подразумевают объединение нескольких слагаемых в группу путем их перестановки и заключения в скобки.

При проведении группировки слагаемые меняются местами таким образом, чтобы группируемые слагаемые оказались в записи выражения рядом. После этого их можно заключить в скобки.

Группировка множителей проводится аналогично группировке слагаемых.

Слагаемые и множители, которые группируются, могут быть представлены как простыми числами, так и выражениями. Правила группировки были подробно разобраны в теме «Группировка слагаемых и множителей».

Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно

Мы можем переходить к суммам от любых разностей. Аналогично мы можем произвести обратную замену.

Это правило было положено в основу правила деления обыкновенных дробей.

Точно также по аналогии деление может быть заменено умножением.

Выполнение действий с числами

Выполнение действий с числами подчиняется правилу порядка выполнения действий. Сначала проводятся действия со степенями чисел и корнями из чисел. После этого мы заменяем логарифмы, тригонометрические и прочие функции на их значения. Затем выполняются действия в скобках. И затем уже можно проводить все остальные действия слева направо. Важно помнить, что умножение и деление проводят до сложения и вычитания.

Действия с числами позволяют преобразовать исходное выражение в тождественное равное ему.

Решение

Действиям с числами могут предшествовать другие виды тождественных преобразований, таких, например, как группировка чисел или раскрытие скобок.

Решение

Выполним действия в скобках: ( 3 − 2 + 11 ) + ( 2 · 2 · 4 ) · x · y 3 = 12 + 16 · x · y 3

Ответ: 3 + 2 · ( 6 : 3 ) · x · ( y 3 · 4 ) − 2 + 11 = 12 + 16 · x · y 3

Если мы работаем с числовыми выражениями, то целью нашей работы будет нахождение значения выражения. Если же мы преобразуем выражения с переменными, то целью наших действий будет упрощение выражения.

Вынесение за скобки общего множителя

В тех случаях, когда слагаемые в выражении имеют одинаковый множитель, то мы можем вынести этот общий множитель за скобки. Для этого нам сначала необходимо представить исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое состоит из исходных слагаемых без общего множителя.

Освежить в памяти правил вынесения общего множителя за скобки вы можете в соответствующем разделе нашего ресурса. В материале подробно рассмотрены правила вынесения общего множителя за скобки и приведены многочисленные примеры.

Приведение подобных слагаемых

Теперь перейдем к суммам, которые содержат подобные слагаемые. Тут возможно два варианта: суммы, содержащие одинаковые слагаемые, и суммы, слагаемые которых отличаются числовым коэффициентом. Действия с суммами, содержащими подобные слагаемые, носит название приведения подобных слагаемых. Проводится оно следующим образом: мы выносим общую буквенную часть за скобки и проводим вычисление суммы числовых коэффициентов в скобках.

Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями

Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.

Выполненное преобразование искусственное. Оно имеет смысл лишь при подготовке к проведению других преобразований.

Прибавление и вычитание одного и того же числа

Прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения являетс искусственным приемом преобразования выражений.

Источник

Выражения и преобразование выражений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Для начала напомним следующее определение.

Выражения называются тождественно равными, если они равны при любых допустимых значениях входящих в нее переменных.

Преобразование выражений можно выполнять с помощью следующих законов:

Далее рассмотрим основные тождественные преобразования.

Раскрытие скобок

Если выражение в себе содержит скобки, то мы можем его привести к тождественно равному выражению с меньшем количеством скобок или к выражению, которое не будет содержать их совсем.

Для преобразования данного выражения будем пользоваться 5 законом:

\[5\left(x+1\right)+\left(3+y\right)\left(4+z\right)=5x+5+\left(3+x\right)\cdot 4+\left(3+x\right)\cdot z=\] \[=5x+5+12+4x+3z+xz\]

В результате получили тождественно равное выражение, не содержащее скобок.

Вынесение общего множителя за скобки

Вынесем общие множители за скобки:

Приведение подобных слагаемых

Если выражение содержит одинаковые слагаемые или слагаемыми, у которых отличается только числовой коэффициент, то их можно преобразовывать в одно слагаемое. Тоже самое можно делать и с самими числами, входящими в выражение. Вернемся к предыдущему примеру.

Замена чисел и выражений тождественно равными выражениями

Одними из основных тождеств являются свойства степеней, корней, логарифмов, а также тригонометрические тождества.

Готовые работы на аналогичную тему

Приведем подобные слагаемые:

Формулы сокращенного умножения

Довольно часто для преобразования выражений пользуются формулами сокращенного умножения. Выведем некоторые из них.

Применим 2 формулу сокращенного умножения:

Источник

Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры

Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.

Определение и примеры рациональных выражений

Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.

То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.

Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.

Основные виды преобразований рациональных выражений

Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.

Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что

Представление в виде рациональной дроби

Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.

Следует начать с умножения, тогда получим, что

Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что

Теперь выполняем вычитание:

После деления придем к рациональной дроби вида

Можно решить это иначе.

Источник

Преобразование рациональных выражений в математике с примерами решения и образцами выполнения

Преобразование рационального выражения – это упрощение рационального выражения. Порядок действий при преобразовании рациональных выражений: сначала идут действия в скобках, затем операции умножения (деления), а затем уже операции сложения (вычитания).

Тождественные преобразования целых выражений

Степень с натуральным показателем

Если а— действительное число, а n — натуральное число, отличное от единицы, то произведение n сомножителей, каждый из которых равен а, называется n-й степенью числа а и обозначается если то полагают Число а называется основанием степени, число n — показателем степени.

Например,

Свойства степени с натуральным показателем

Например,

Например,

Например,

Например,

Например,

Докажем эти свойства.

из свойства вытекает, что значит,

Операции над одночленами

Одночленом называется такое выражение, которое содержит числа, переменные, степени чисел и переменных и их произведения.

Например, одночленами являются выражения Приведем также примеры выражении, не являющихся одночленами:

Основные законы алгебры и свойства степени с натуральным показателем позволяют нам привести одночлен к стандартному виду, т. е. к такому виду, когда одночлен имеет единственный числовой множитель, стоящий на первом месте (коэффициент), а каждое произведение одинаковых переменных в нем представлено степенью. Приведем для примера к стандартному виду данные выше одночлены. Рассмотрим первый одночлен. Воспользовавшись переместительным и сочетательным законами умножения, получим Так как то в итоге получаем Аналогично,

Пусть даны два одночлена. Если поставить между ними знак умножения, то получится одночлен, называемый произведением исходных одночленов. При возведении одночлена в натуральную степень также получается одночлен. Результат обычно приводят к стандартному виду.

Примеры:

Выполнить умножение одночленов и

Решение. Имеем:

2.Возвести одночлен в четвертую степень.

Решение:

Одночлены, приведенные к стандартному виду, называются подобными, если они отличаются только коэффициентами либо совсем не отличаются.

Подобные одночлены можно складывать и вычитать, в результате чего снова получается одночлен, подобный исходным. Сложение и вычитание подобных одночленов, называется приведением подобных членов.

Пример:

Выполнить сложение одночленов

Решение:

Воспользовавшись распределительным законом, получим:

Понятие тождественного преобразования выражения

Сравним значения выражений при различных значениях х. При получим и Числа 0 и 3 называются соответственными значениями выражений

Найдем соответственные значения выражений и при и при Результат запишем в виде таблицы

Как видно из таблицы, соответственные значения могут иногда совпадать.

Два выражения, зависящие от одних и тех же переменных, называются тождественно равными, если все их соответственные значения равны. Так, тождественно равными будут выражения

Равенство, в котором левая и правая части—тождественно равные выражения, называется тождеством. Тождествами будут, во-первых, все равенства, выражающие основные законы алгебры:

Тождествами являются и равенства

Верные числовые равенства также называются тождествами.

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием выражения. Мы уже имели некоторые примеры тождественных преобразований. Так, приведение одночлена к стандартному виду есть тождественное преобразование, выполняемое на основании определения степени или свойств степени с натуральным показателем и перемес-тительного и сочетательного законов умножения. Тождественными преобразованиями являются также умножение одночленов и их возведение в натуральную степень, приведение подобных членов. Другие примеры тождественных преобразований выражений будут рассмотрены ниже.

Многочлены. Приведение многочлена к стандартному виду

Многочленом называется сумма одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида. Например, выражение является многочленом. Для приведения его к стандартному виду нужно сначала привести к стандартному виду члены многочлена: а затем привести подобные члены; тогда получим

Одночлены, многочлены, а также их сумма, разность, произведение и степень составляют множество целых алгебраических выражений.

Основная задача тождественных преобразований целых выражений состоит в приведении их к стандартному виду многочлена (или одночлена). Такое преобразование всегда выполнимо.

Примеры:

Упростить (привести к стандартному виду) многочлены:

Решение:

Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим

Решение:

Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим

Решение:

Воспользовавшись распределительным законом

Таким образом, произведение одночлена на многочлен равно сумме произведений этого одночлена на каждый член многочлена.

Решение:

Обозначим выражение буквой x тогда выражение примет вид Раскрыв скобки, получим тождество

или (так как

Снова раскрывая скобки, получим окончательно:

Таким образом, произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого.

Разложение многочлена на множители

Представление многочлена в виде произведения ряда многочленов, среди которых могут быть и одночлены, называется разложением многочлена на множители. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные методы разложения многочленов на множители.

Вынесение общего множителя за скобки. Рассмотрим пример. В многочлене члены имеют общий множитель Чтобы разложить этот многочлен на множители, представим каждый член многочлена в виде произведения двух множителей, один из которых а затем применим распределительный закон:

В рассмотренном примере мы вынесли за скобки но можно было бы выполнить разложение на множители, вынося за скобки и т. д. Например, если вынести за скобки получим:

Обычно, если все коэффициенты многочлена целые числа, выносят за скобки множитель с коэффициентом, равным наибольшему общему делителю модуля всех коэффициентов многочлена. Одинаковые переменные, входящие во все члены, выносят с наименьшим показателем, который они имеют в данном многочлене.

Примеры:

Метод группировки. Пусть дан многочлен

Представим его в виде суммы двух многочленов:

Вынося в первом двучлене за скобки а во втором получим

В результате проделанной группировки нам удалось представить многочлен в виде суммы двух слагаемых, имеющих общий множитель Вынося этот общий множитель за скобки, получаем

Примеры:

Применение тождеств сокращенного умножения. В некоторых случаях приведение многочлена к стандартному виду, а также разложение на множители производится с помощью тождеств сокращенного умножения.

А. Преобразуем выражение в многочлен стандартного вида. Имеем

Таким образом, мы получили следующее тождество:

т. е. произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений.

Примеры:

Упростить, т. е. преобразовать выражение в многочлен стандартного вида:

Поменяем в тождестве (1) левую и правую части местами:

В таком виде это тождество удобно применять для разложения на множители разности квадратов двух выражений.

Примеры:

Разложить на множители:

Б. Преобразуем теперь в многочлен стандартного вида выражение Имеем

Таким образом, получено тождество

Примеры:

Решение:

Конечно, это выражение можно преобразовать к стандартному виду многочлена, представив его в виде и раскрыв скобки по правилу умножения многочленов. Однако использование тождества (2) позволяет выполнить преобразования быстрее:

Решение:

Можно было бы возвести в квадрат каждое слагаемое, а затем результаты перемножить. Однако рациональнее сделать так:

Решение:

Выполним преобразования левой части тождества:

Так как в результате мы получили правую часть тождества, то тождество доказано;

Решение:

Поменяем в тождестве (2) правую и левую части местами:

В таком виде тождество удобно применять для разложения на множители.

Примеры:

Разложить на множители:

Заметим, что заданное выражение можно разложить на множители и другим способом:

Замечание:

Мы показали, что В таком случае говорят, что многочлен делится на (тогда в частном получается или на (в частном получается

В. Рассмотрим теперь выражение и преобразуем его в многочлен стандартного вида:

т. е. куб двучлена равен сумме четырех выражений: куба первого члена, утроенного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и куба второго члена.

Примеры:

Преобразовать выражения в многочлен стандартного вида:

Г. Преобразуем теперь в многочлен стандартного вида выражение Имеем

Таким образом, получено тождество

Поменяв в тождестве (4) левую и правую части, получим формулу для разложения на множители суммы кубов:

Примеры:

Решение:

Разложить на множители

Решение:

Тождественные преобразования дробных выражений

Числовые выражения, а также выражения с переменными, в которых используются операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень, называются рациональными. Если рациональное выражение не содержит операции деления на выражение с переменными, то оно называется целым. Если же при составлении рационального выражения используется операция деления на выражение с переменными, то это рациональное выражение называется дробным.

Примеры дробных выражений:

Выражение не является дробным, хотя в записи выражения и используется черта дроби. Это—целое выражение, которое можно привести к стандартному виду многочлена

Во множестве рациональных выражений выделим еще одно подмножество выражений—подмножество дробей. Дробь — это выражение вида где буквами обозначены числовые выражения или выражения с переменными; а—числитель дроби, b — знаменатель. Согласно этому определению, из рассмотренных выше примеров дробями будут следующие:

Дробное выражение не является дробью.

Обращаем внимание читателя на следующее обстоятельство: не всякая дробь является дробным выражением. Так, рассмотренное выше выражение является дробью, но не является дробным выражением (нет деления на выражение с переменными).

Одна из основных задач тождественных преобразований дробных выражений состоит в том, чтобы данное выражение представить в виде дроби, числитель и знаменатель которой—целые выражения. Чтобы выделить такие дроби из множества всех дробей, условимся называть их алгебраическими. Такое преобразование, как мы увидим, всегда выполнимо.

Областью определения выражения с одной переменной называется множество значений переменной, при которых это выражение имеет смысл. Так, область определения выражения (обозначим ее Y) состоит из всех чисел, за исключением —2 и 2. Это можно записать так:

Это множество можно изобразить графически в виде числовой прямой с двумя проколотыми точками (рис. 20).

Если дано выражение с двумя переменными х и у, то областью его определения будет множество числовых пар вида при которых выражение имеет смысл. Так, выражение определено на множестве всех пар за исключением пар вида Это—множество точек координатной плоскости за исключением точек, лежащих на осях

Целые выражения с переменными определены при любых значениях переменных. Если дана алгебраическая дробь, причем знаменатель содержит переменные, то чтобы найти область определения дроби, нужно найти значения переменных, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить такие значения.

Основное свойство дроби

Как известно, числитель и знаменатель обыкновенной дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Например,

Естественным обобщением этого факта является основное свойство дроби, выражаемое тождеством

Основное свойство дроби имеет разнообразные применения. Так, если числитель и знаменатель дроби являются многочленами с дробными коэффициентами, то для упрощения записи целесообразно умножить числитель и знаменатель дроби на наименьшее общее кратное знаменателей всех коэффициентов. Это умножение является законным в силу основного свойства дроби.

Пример:

Упростить дробь

Решение:

Наименьшим общим кратным знаменателей всех коэффициентов будет в данном случае число 12. Умножив и числитель, и знаменатель дроби на 12, получим

Основное свойство дроби используется для перемены знаков у членов дроби. Пусть дана дробь Умножив и числитель, и знаменатель дроби на (- 1), получим

Таким образом, значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

Если в последних тождествах изменить знаки левой и правой частей, то получим

т. е. если надо изменить знак только числителя или только знаменателя дроби,то нужно изменить знак и перед самой дробью. Например,

Сокращение алгебраической дроби

Сократить дробь—это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.

Для того чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то их можно сократить. Если общих множителей нет, то упрощение дроби посредством сокращения невозможно. Сокращение дроби есть тождественное преобразование.

Примеры:

Сократить дробь

Решение:

Замечаем, что числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель Значит надо сократить на этот общий множитель. Запись имеет такой вид:

Заметим, что области определения дробей различны. Дробь определена при а дробь определена при любых значениях х.

Значит, в результате сокращения получилась дробь, область определения которой (обозначим ее шире, чем область определения исходной дроби (обозначим ее Это можно записать так:

2.Сократить дробь

Для разложения числителя на множители применим способ группировки, представив предварительно одночлен в виде суммы тогда

Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Общим знаменателем нескольких алгебраических дробей называется многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби. Например, общим знаменателем дробей служит многочлен так как он делится и на Следует, однако, заметить, что это не единственное решение поставленной задачи: общим знаменателем данных дробей будет и многочлен и многочлен и многочлен и т. д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный без остатка. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем (НОЗ). В рассмотренном выше примере НОЗ равен

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю— это значит преобразовать каждую из дробей к такому виду, чтобы знаменателем служил НОЗ. Возможность такого преобразования вытекает из основного свойства дроби, позволяющего умножать числитель и знаменатель дроби на один и тот же многочлен. Так, для рассмотренных выше дробей имеем

Нам удалось привести дроби к НОЗ. Это достигнуто путем умножения числителя и знаменателя первой дроби на а числителя и знаменателя второй дроби на Многочлены называются дополнительными множителями соответственно для первой и для второй дроби. Нетрудно понять, что дополнительный множитель для данной дроби равен частному от деления НОЗ на знаменатель данной дроби.

Значит, в результате умножения числителя и знаменателя дроби на дополнительный множитель получилась дробь, область определения которой уже, чем область определения исходной дроби. Это можно записать так:

Пример:

Привести к НОЗ дроби

Решение:

В данном случае НОЗ равен Чтобы переписать данные дроби со знаменателем надо найти дополнительные множители. Для первой дроби дополнительным множителем будет Что касается второй дроби, то ее знаменатель совпадает с НОЗ. В таком случае говорят, что дополнительный множитель равен 1. Итак,

Вторую дробь оставим без изменения.

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю.

В общем случае, чтобы привести дроби к НОЗ, нужно все знаменатели разложить на множители, из первого знаменателя взять все множители, а из остальных добавить те, которых нет в первом. Покажем на примерах, как это делается.

Пример:

Привести к НОЗ дроби

Решение:

Разложим каждый из знаменателей на множители:

Составим НОЗ. Для зтого возьмем первый знаменатель Из второго знаменателя возьмем множитель 3, ибо его нет в первом знаменателе, а из третьего знаменателя возьмем множитель В итоге НОЗ равен

Теперь найдем дополнительные множители. Разделив НОЗ на знаменатель первой дроби, получим дополнительный множитель для первой дроби: Разделив НОЗ на знаменатель второй дроби, получим дополнительный множитель для второй дроби: Разделив НОЗ на знаменатель третьей дроби, получим дополнительный множитель для третьей дроби: 3. Теперь имеем:

Рекомендуем придерживаться следующей схемы отыскания НОЗ и дополнительных множителей (приводим ее на базе рассмотренного примера).

Пример:

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби

Решение:

Прежде всего разложим знаменатели на множители:

Применим схему отыскания НОЗ и дополнительных множителей.

Если мы теперь числитель и знаменатель первой из данных дробей умножим на первый дополнительный множитель, а числитель и знаменатель второй дроби —на второй дополнительный множитель, то получим дроби с общим знаменателем:

Умножение и деление алгебраических дробей

Обыкновенные дроби перемножаются следующим образом:

Обобщением этого равенства является тождество

где — целые алгебраические выражения. Итак, произведение двух (и вообще любого числа) алгебраических дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель— произведению знаменателей перемножаемых дробей.

Деление обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

Обобщением этого равенства является тождество

Значит, частное от деления двух алгебраических дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель — произведению знаменателя первой дроби на числитель второй.

Примеры:

Преобразовать в дробь произведение

Решение:

Применяем правило умножения, затем выполняем необходимые сокращения:

Преобразовать в дробь частное

Решение:

Используем правило деления и выполняем сокращения:

Замечания:

Учитывая возможность сокращения алгебраической дроби, получаемой в результате умножения или деления алгебраических дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.

2.Сформулированные правила умножения и деления распространяются и на случай умножения или деления на многочлен, достаточно записать этот многочлен в виде дроби со знаменателем 1.

Возведение алгебраической дроби в натуральную степень

Рассмотрим выражение Имеем

Значит, степень дроби тождественно равна дроби, у которой числитель есть степень числителя, а знаменатель —степень знаменателя.

Пример:

Преобразовать в дробь степень

Решение:

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Для обыкновенных дробей справедливо равенство

Обобщением этого равенства является тождество

Оно означает, что сумма двух (и вообще любого числа) алгебраических дробей с одинаковым знаменателем тождественно равна алгебраической дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей.

Аналогично обстоит дело в случае вычитания дробей с одинаковым знаменателем. В самом деле,

Пример:

Преобразовать сумму в дробь.

Решение:

Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно прежде всего привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем выполнить операции над полученными дробями с одинаковым знаменателем.

Примеры:

Упростить, т. е. преобразовать в дробь, выражение

Перепишем теперь заданную алгебраическую сумму дробей с указанием дополнительных множителей, при помощи которых дроби приводятся к общему знаменателю:

Обычно, соответствующие умножения на дополнительные множители опускают и сразу выписывают дробь, знаменателем которой является НОЗ, а числитель представляет собой сумму произведений числителей исходных дробей на соответствующие дополнительные множители, т. е.

Упростить выражение

Решение:

Примеры на все действия с алгебраическими дробями

Решение:

При выполнении операций над алгебраическими дробями придерживаются того же порядка, который принят для упрощения числовых выражений, а именно: умножение, деление и возведение в степень предшествуют сложению и вычитанию; при наличии скобок прежде всего выполняют действия в скобках. В данном примере порядок действий таков:

Решение:

Первым по счету действием является здесь умножение. Мы уже говорили, что умножению (и делению) обычно предшествует разложение числителей и знаменателей на множители. Имеем:

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник