Что значит пренебречь этим теплоемкостью сосуды
Тепловое равновесие и уравнение теплового баланса
Тела, температура которых отличается, могут обмениваться тепловой энергией. То есть, между телами будет происходить теплообмен. Самостоятельно тепловая энергия переходит от более нагретых тел к менее нагретым.
Что такое теплообмен и при каких условиях он происходит
Тела, имеющие различные температуры, будут обмениваться тепловой энергией. Этот процесс называется теплообменом.
Теплообмен – процесс обмена тепловой энергией между телами, имеющими различные температуры.
Рассмотрим два тела, имеющие различные температуры (рис. 1).
Тело, имеющее более высокую температуру, будет остывать и отдавать тепловую энергию телу, имеющему низкую температуру. А тело с низкой температурой будет получать количество теплоты и нагреваться.
На рисунке, горячее тело имеет розовый оттенок, а холодное изображено голубым цветом.
Когда температуры тел выравниваются, теплообмен прекращается.
Чтобы теплообмен происходил, нужно, чтобы тела имели различные температуры.
Когда температура тел выравняется, теплообмен прекратится.
Тепловое равновесие — это состояние, при котором тела имеют одинаковую температуру.
Уравнение теплового баланса и сохранение тепловой энергии
Когда тело остывает, оно отдает тепловую энергию (теплоту). Утерянное количество теплоты Q имеет знак «минус».
А когда тело нагревается – оно получает тепловую энергию. Приобретенное количество теплоты Q имеет знак «плюс».
Эти факты отражены на рисунке 2.
Закон сохранения тепловой энергии: Количество теплоты, отданное горячим телом равно количеству теплоты, полученному холодным телом.
Примечание: Существует и другая формулировка закона сохранения энергии: Энергия не появляется сама собой и не исчезает бесследно. Она переходит из одного вида в другой.
Уравнение теплового баланса
Тот факт, что тепловая энергия сохраняется, можно записать с помощью математики в виде уравнения. Такую запись называют уравнением теплового баланса.
Запишем уравнение теплового баланса для двух тел, обменивающихся тепловой энергией:
\(\large Q_<\text<остывания горяч>> \left( \text <Дж>\right) \) – это количество теплоты горячее тело теряет.
\(\large Q_<\text<нагревания холод>> \left( \text <Дж>\right) \) – это количество теплоты холодное тело получает.
В левой части уравнения складываем количество теплоты каждого из тел, участвующих в теплообмене.
Записываем ноль в правой части уравнения, когда теплообмен с окружающей средой отсутствует. То есть, теплообмен происходит только между рассматриваемыми телами.
В некоторых учебниках применяют сокращения:
Примечание: Складывая два числа мы получим ноль, когда эти числа будут:
Если несколько тел участвуют в процессе теплообмена
Иногда в процессе теплообмена участвуют несколько тел. Тогда, для каждого тела нужно записать формулу количества теплоты Q. А потом все количества теплоты подставить в уравнение для теплового баланса:
\[\large \boxed < Q_<1>+ Q_ <2>+ Q_ <3>+ \ldots + Q_
Пример расчетов для теплообмена между холодным и горячим телом
К горячей воде, массой 200 грамм, имеющей температуру +80 градусов Цельсия, добавили холодную воду, в количестве 100 грамм при температуре +15 градусов Цельсия. Какую температуру будет иметь смесь после установления теплового равновесия? Считать, что окружающая среда в теплообмене не участвует.
Примечание: Здесь мы рассматриваем упрощенную задачу, для того, чтобы облегчить понимание закона сохранения энергии. Мы не учитываем в этой задаче, что вода содержится в емкости. И часть тепловой энергии будет затрачиваться на то, чтобы изменить температуру емкости.
При решении других задач обязательно учитывайте, что емкость, в которой будет содержаться вещество, имеет массу. И часть тепловой энергии будет затрачиваться на то, чтобы изменить температуру емкости.
Решение:
В условии сказано, что окружающая среда в теплообмене не участвует. Поэтому, будем считать рассматриваемую систему замкнутой. А в замкнутых системах выполняются законы сохранения. Например, закон сохранения энергии.
Иными словами, с сосудом и окружающим воздухом теплообмен не происходит и, все тепловая энергия, отданная горячей водой, будет получена холодной водой.
1). Запишем уравнение теплового баланса, в правой части которого можно записать ноль:
2). Теперь запишем формулу для каждого количества теплоты:
Примечания:
3). Подставим выражения для каждого Q в уравнение баланса:
4). Для удобства, заменим символы числами:
\[\large 4200 \cdot 0,2 \cdot (t_<\text<общ>> — 80 ) + 4200 \cdot 0,1 \cdot (t_<\text<общ>> — 15 ) = 0 \]
\[\large 840 \cdot (t_<\text<общ>> — 80 ) + 420 \cdot (t_<\text<общ>> — 15 ) = 0 \]
Раскрыв скобки и решив это уравнение, получим ответ:
Ответ: Температура смеси после прекращения теплообмена будет равна 58,33 градуса Цельсия.
Задача для самостоятельного решения:
В алюминиевом калориметре массой 100 грамм находится керосин массой 250 грамм при температуре +80 градусов Цельсия. В керосин поместили свинцовый шарик, массой 300 грамм. Начальная температура шарика +20 градусов Цельсия. Найдите температуру тел после установления теплового равновесия. Внешняя среда в теплообмене не участвует.
Примечание к решению: В левой части уравнения теплового баланса теперь будут находиться три слагаемых. Потому, что мы учитываем три количества теплоты:
А справа в уравнение теплового баланса запишем ноль. Так как внешняя среда в теплообмене не участвует.
Удельная теплоемкость вещества
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Нагревание и охлаждение
Эти два процесса знакомы каждому. Вот нам захотелось чайку, и мы ставим чайник, чтобы нагреть воду. Или ставим газировку в холодильник, чтобы охладить.
Логично предположить, что нагревание — это увеличение температуры, а охлаждение — ее уменьшение. Все, процесс понятен, едем дальше.
Но не тут-то было: температура меняется не «с потолка». Все завязано на таком понятии, как количество теплоты. При нагревании тело получает количество теплоты, а при нагревании — отдает.
В процессах нагревания и охлаждения формулы для количества теплоты выглядят так:
Нагревание
Охлаждение
Q — количество теплоты [Дж]
c — удельная теплоемкость вещества [Дж/кг*˚C]
tконечная — конечная температура [˚C]
tначальная — начальная температура [˚C]
В этих формулах фигурирует и изменение температуры, о котором мы сказали выше, и удельная теплоемкость, речь о которой пойдет дальше.
А вот теперь поговорим о видах теплопередачи.
Виды теплопередачи
Здесь все совсем несложно, их всего три: теплопроводность, конвекция и излучение.
Теплопроводность
Тот вид теплопередачи, который можно охарактеризовать, как способность тел проводить энергию от более нагретого тела к менее нагретому.
Речь о том, чтобы передать тепло с помощью соприкосновения. Признавайтесь, грелись же когда-нибудь возле батареи. Если вы сидели к ней вплотную, то согрелись вы благодаря теплопроводности. Обниматься с котиком, у которого горячее пузо, тоже эффективно.
Порой мы немного перебарщиваем с возможностями этого эффекта, когда на пляже ложимся на горячий песок. Эффект есть, только не очень приятный. Ну а ледяная грелка на лбу дает обратный эффект — ваш лоб отдает тепло грелке.
Конвекция
Когда мы говорили о теплопроводности, мы приводили в пример батарею. Теплопроводность — это когда мы получаем тепло, прикоснувшись к батарее. Но все вещи в комнате к батарее не прикасаются, а комната греется. Здесь вступает конвекция.
Дело в том, что холодный воздух тяжелее горячего (холодный просто плотнее). Когда батарея нагревает некий объем воздуха, он тут же поднимается наверх, проходит вдоль потолка, успевает остыть и спуститься обратно вниз — к батарее, где снова нагревается. Таким образом, вся комната равномерно прогревается, потому что все более горячие потоки сменяют все менее холодные.
Излучение
Пляж мы уже упоминали, но речь шла только о горячем песочке. А вот тепло от солнышка — это излучение. В этом случае тепло передается через волны.
Обоими способами. То тепло, которое мы ощущаем непосредственно от камина (когда лицу горячо, если вы расположились слишком близко к камину) — это излучение. А вот прогревание комнаты в целом — это конвекция.
Удельная теплоемкость: понятие и формула для расчета
Формулы количества теплоты для нагревания и охлаждения мы уже разбирали, но давайте еще раз:
Нагревание
Охлаждение
Q — количество теплоты [Дж]
c — удельная теплоемкость вещества [Дж/кг*˚C]
tконечная — конечная температура [˚C]
tначальная — начальная температура [˚C]
В этих формулах фигурирует такая величина, как удельная теплоемкость. По сути своей — это способность материала получать или отдавать тепло.
С точки зрения математики удельная теплоемкость вещества — это количество теплоты, которое надо к нему подвести, чтобы изменить температуру 1 кг вещества на 1 градус Цельсия:
Удельная теплоемкость вещества
Q — количество теплоты [Дж]
c — удельная теплоемкость вещества [Дж/кг*˚C]
tконечная — конечная температура [˚C]
tначальная — начальная температура [˚C]
Также ее можно рассчитать через теплоемкость вещества:
Удельная теплоемкость вещества
c — удельная теплоемкость вещества [Дж/кг*˚C]
C — теплоемкость вещества [Дж/˚C]
Величины теплоемкость и удельная теплоемкость означают практически одно и то же. Отличие в том, что теплоемкость — это способность всего вещества к передаче тепла. То есть формулу количества теплоты для нагревания тела можно записать в таком виде:
Количество теплоты, необходимое для нагревания тела
Q — количество теплоты [Дж]
c — удельная теплоемкость вещества [Дж/кг*˚C]
tконечная — конечная температура [˚C]
tначальная — начальная температура [˚C]
Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!
Таблица удельных теплоемкостей
Удельная теплоемкость — табличная величина. Часто ее указывают в условии задачи, но при отсутствии в условии — можно и нужно воспользоваться таблицей. Ниже приведена таблица удельных теплоемкостей для некоторых (многих) веществ.
Количество теплоты. Удельная теплоёмкость
1. Изменение внутренней энергии путём совершения работы характеризуется величиной работы, т.е. работа является мерой изменения внутренней энергии в данном процессе. Изменение внутренней энергии тела при теплопередаче характеризуется величиной, называемой количеством теплоты.
Количеством теплоты называется изменение внутренней энергии тела в процессе теплопередачи без совершения работы.
Количество теплоты обозначают буквой \( Q \) . Так как количество теплоты является мерой изменения внутренней энергии, то его единицей является джоуль (1 Дж).
При передаче телу некоторого количества теплоты без совершения работы его внутренняя энергия увеличивается, если тело отдаёт какое-то количество теплоты, то его внутренняя энергия уменьшается.
2. Если в два одинаковых сосуда налить в один 100 г воды, а в другой 400 г при одной и той же температуре и поставить их на одинаковые горелки, то раньше закипит вода в первом сосуде. Таким образом, чем больше масса тела, тем большее количество теплоты требуется ему для нагревания. То же самое и с охлаждением: тело большей массы при охлаждении отдаёт большее количество теплоты. Эти тела сделаны из одного и того же вещества и нагреваются они или охлаждаются на одно и то же число градусов.
3. Если теперь нагревать 100 г воды от 30 до 60 °С, т.е. на 30 °С, а затем до 100 °С, т.е. на 70 °С, то в первом случае на нагревание уйдёт меньше времени, чем во втором, и, соответственно, на нагревание воды на 30 °С, будет затрачено меньшее количество теплоты, чем на нагревание воды на 70 °С. Таким образом, количество теплоты прямо пропорционально разности конечной \( (t_2\,^\circ C) \) и начальной \( (t_1\,^\circ C) \) температур: \( Q\sim(t_2-t_1) \) .
4. Если теперь в один сосуд налить 100 г воды, а в другой такой же сосуд налить немного воды и положить в неё такое металлическое тело, чтобы его масса и масса воды составляли 100 г, и нагревать сосуды на одинаковых плитках, то можно заметить, что в сосуде, в котором находится только вода, температура будет ниже, чем в том, в котором находятся вода и металлическое тело. Следовательно, чтобы температура содержимого в обоих сосудах была одинаковой нужно воде передать большее количество теплоты, чем воде и металлическому телу. Таким образом, количество теплоты, необходимое для нагревания тела зависит от рода вещества, из которого это тело сделано.
5. Зависимость количества теплоты, необходимого для нагревания тела, от рода вещества характеризуется физической величиной, называемой удельной теплоёмкостью вещества.
Физическая величина, равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить 1 кг вещества для нагревания его на 1 °С (или на 1 К), называется удельной теплоёмкостью вещества.
Такое же количество теплоты 1 кг вещества отдаёт при охлаждении на 1 °С.
Удельная теплоёмкость обозначается буквой \( c \) . Единицей удельной теплоёмкости является 1 Дж/кг °С или 1 Дж/кг К.
Значения удельной теплоёмкости веществ определяют экспериментально. Жидкости имеют большую удельную теплоёмкость, чем металлы; самую большую удельную теплоёмкость имеет вода, очень маленькую удельную теплоёмкость имеет золото.
Удельная теплоёмкость свинца 140 Дж/кг °С. Это значит, что для нагревания 1 кг свинца на 1 °С необходимо затратить количество теплоты 140 Дж. Такое же количество теплоты выделится при остывании 1 кг воды на 1 °С.
Поскольку количество теплоты равно изменению внутренней энергии тела, то можно сказать, что удельная теплоёмкость показывает, на сколько изменяется внутренняя энергия 1 кг вещества при изменении его температуры на 1 °С. В частности, внутренняя энергия 1 кг свинца при его нагревании на 1 °С увеличивается на 140 Дж, а при охлаждении уменьшается на 140 Дж.
По этой же формуле вычисляется и количество теплоты, которое тело отдаёт при охлаждении. Только в этом случае от начальной температуры следует отнять конечную, т.е. от большего значения температуры отнять меньшее.
6. Пример решения задачи. В стакан, содержащий 200 г воды при температуре 80 °С, налили 100 г воды при температуре 20 °С. После чего в сосуде установилась температура 60 °С. Какое количество теплоты получила холодная вода и отдала горячая вода?
При решении задачи необходимо выполнять следующую последовательность действий:
1. Условие задачи.
Дано:
\( m_1 \) = 200 г
\( m_2 \) = 100 г
\( t_1 \) = 80 °С
\( t_2 \) = 20 °С
\( t \) = 60 °С
______________
2. СИ: \( m_1 \) = 0,2 кг; \( m_2 \) = 0,1 кг.
3. Анализ задачи. В задаче описан процесс теплообмена между горячей и холодной водой. Горячая вода отдаёт количество теплоты \( Q_1 \) и охлаждается от температуры \( t_1 \) до температуры \( t \) . Холодная вода получает количество теплоты \( Q_2 \) и нагревается от температуры \( t_2 \) до температуры \( t \) .
4. Решение задачи в общем виде. Количество теплоты, отданное горячей водой, вычисляется по формуле: \( Q_1=c_1m_1(t_1-t) \) .
5. Вычисления.
\( Q_1 \) = 4200 Дж/кг · °С · 0,2 кг · 20 °С = 16800 Дж
\( Q_2 \) = 4200 Дж/кг · °С · 0,1 кг · 40 °С = 16800 Дж
6. В ответе получено, что количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученному холодной водой. При этом рассматривалась идеализированная ситуация и не учитывалось, что некоторое количество теплоты пошло на нагревание стакана, в котором находилась вода, и окружающего воздуха. В действительности же количество теплоты, отданное горячей водой, больше, чем количество теплоты, полученное холодной водой.
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
Часть 1
1. Удельная теплоёмкость серебра 250 Дж/(кг · °С). Что это означает?
1) при остывании 1 кг серебра на 250 °С выделяется количество теплоты 1 Дж
2) при остывании 250 кг серебра на 1 °С выделяется количество теплоты 1 Дж
3) при остывании 250 кг серебра на 1 °С поглощается количество теплоты 1 Дж
4) при остывании 1 кг серебра на 1 °С выделяется количество теплоты 250 Дж
2. Удельная теплоёмкость цинка 400 Дж/(кг · °С). Это означает, что
1) при нагревании 1 кг цинка на 400 °С его внутренняя энергия увеличивается на 1 Дж
2) при нагревании 400 кг цинка на 1 °С его внутренняя энергия увеличивается на 1 Дж
3) для нагревания 400 кг цинка на 1 °С его необходимо затратить 1 Дж энергии
4) при нагревании 1 кг цинка на 1 °С его внутренняя энергия увеличивается на 400 Дж
3. При передаче твёрдому телу массой \( m \) количества теплоты \( Q \) температура тела повысилась на \( \Delta t^\circ \) . Какое из приведённых ниже выражений определяет удельную теплоёмкость вещества этого тела?
4. На рисунке приведён график зависимости количества теплоты, необходимого для нагревания двух тел (1 и 2) одинаковой массы, от температуры. Сравните значения удельной теплоёмкости ( \( c_1 \) и \( c_2 \) ) веществ, из которых сделаны эти тела.
1) \( c_1=c_2 \)
2) \( c_1>c_2 \)
3) \( c_1
4) ответ зависит от значения массы тел
5. На диаграмме представлены значения количества теплоты, переданного двум телам равной массы при изменении их температуры на одно и то же число градусов. Какое соотношение для удельных теплоёмкостей веществ, из которых изготовлены тела, является верным?
1) \( c_1=c_2 \)
2) \( c_1=3c_2 \)
3) \( c_2=3c_1 \)
4) \( c_2=2c_1 \)
6. На рисунке представлен график зависимости температуры твёрдого тела от отданного им количества теплоты. Масса тела 4 кг. Чему равна удельная теплоёмкость вещества этого тела?
1) 500 Дж/(кг · °С)
2) 250 Дж/(кг · °С)
3) 125 Дж/(кг · °С)
4) 100 Дж/(кг · °С)
7. При нагревании кристаллического вещества массой 100 г измеряли температуру вещества и количество теплоты, сообщённое веществу. Данные измерений представили в виде таблицы. Считая, что потерями энергии можно пренебречь, определите удельную теплоёмкость вещества в твёрдом состоянии.
1) 192 Дж/(кг · °С)
2) 240 Дж/(кг · °С)
3) 576 Дж/(кг · °С)
4) 480 Дж/(кг · °С)
8. Чтобы нагреть 192 г молибдена на 1 К, нужно передать ему количество теплоты 48 Дж. Чему равна удельная теплоёмкость этого вещества?
9. Какое количество теплоты необходимо для нагревания 100 г свинца от 27 до 47 °С?
1) 390 Дж
2) 26 кДж
3) 260 Дж
4) 390 кДж
10. На нагревание кирпича от 20 до 85 °С затрачено такое же количество теплоты, как для нагревания воды такой же массы на 13 °С. Удельная теплоёмкость кирпича равна
1) 840 Дж/(кг · К)
2) 21000 Дж/(кг · К)
3) 2100 Дж/(кг · К)
4) 1680 Дж/(кг · К)
11. Из перечня приведённых ниже высказываний выберите два правильных и запишите их номера в таблицу.
1) Количество теплоты, которое тело получает при повышении его температуры на некоторое число градусов, равно количеству теплоты, которое это тело отдаёт при понижении его температуры на такое же число градусов.
2) При охлаждении вещества его внутренняя энергия увеличивается.
3) Количество теплоты, которое вещество получает при нагревании, идёт главным образом на увеличение кинетической энергии его молекул.
4) Количество теплоты, которое вещество получает при нагревании, идёт главным образом на увеличение потенциальной энергии взаимодействия его молекул
5) Внутреннюю энергию тела можно изменить, только сообщив ему некоторое количество теплоты
12. В таблице представлены результаты измерений массы \( m \) , изменения температуры \( \Delta t \) и количества теплоты \( Q \) , выделяющегося при охлаждении цилиндров, изготовленных из меди или алюминия.
Какие утверждения соответствуют результатам проведённого эксперимента? Из предложенного перечня выберите два правильных. Укажите их номера. На основании проведенных измерений можно утверждать, что количество теплоты, выделяющееся при охлаждении,
1) зависит от вещества, из которого изготовлен цилиндр.
2) не зависит от вещества, из которого изготовлен цилиндр.
3) увеличивается при увеличении массы цилиндра.
4) увеличивается при увеличении разности температур.
5) удельная теплоёмкость алюминия в 4 раза больше, чем удельная теплоёмкость олова.
Часть 2
C1.Твёрдое тело массой 2 кг помещают в печь мощностью 2 кВт и начинают нагревать. На рисунке изображена зависимость температуры \( t \) этого тела от времени нагревания \( \tau \) . Чему равна удельная теплоёмкость вещества?
1) 400 Дж/(кг · °С)
2) 200 Дж/(кг · °С)
3) 40 Дж/(кг · °С)
4) 20 Дж/(кг · °С)
Что значит пренебречь этим теплоемкостью сосуды
Если взять простые химические вещества в таких количествах, что выполняется отношение:
2.1.2. Состояние системы. Внутренняя энергия.
Равновесные и неравновесные состояния газа
Не всегда какой-либо параметр имеет определенное значение. Если, например, температура неодинакова в разных точках тела, то телу нельзя приписать определенное значение параметра Т. В этом случае состояние системы будет неравновесным. Если такое тело изолировать и предоставить самому себе, то температура выровняется и примет одинаковое для всех точек значение Т, и тело перейдет в равновесное состояние. Это значение Т не изменится до тех пор, пока тело не будет выведено из равновесного состояния воздействием извне.
Равновесным состоянием системы называется такое состояние, при котором все параметры системы имеют определенные значения, остающиеся постоянными сколь угодно долго при неизменных внешних условиях.
Всякий равновесный процесс может быть представлен в виде графика, причем любое равновесное состояние изображается точкой, например точка 1 (Рис. 2.1.1).
Рис. 2.1.1. Равновесное состояние системы
Внутренней энергией какого-либо тела называется энергия этого тела за вычетом кинетической энергии тела как целого и потенциальной энергии тела во внешнем поле сил. Например, при определении внутренней энергии некоторой массы газа не должна учитываться энергия движения газа вместе с сосудом и энергия, обусловленная нахождением сосуда в поле силы тяжести.
Следовательно, в понятие внутренней энергии включаются:
Внутренняя энергия является функцией состояния системы. Это означает, что всякий раз, когда система оказывается в данном состоянии, ее внутренняя энергия принимает присущее данному состоянию значение. Следовательно, изменение внутренней энергии при переходе системы из одного состояния в другое будет всегда равно разности значений внутренней энергии в этих состояниях, независимо от пути, по которому совершался переход.
2.1.3. Первое начало термодинамики
Внутренняя энергия может изменяться за счет двух процессов: совершения над телом работы А’ и сообщения ему количества тепла Q. Например, поршень, вдвигаемый в сосуд, перемещаясь, совершает над газом работу А’. По третьему закону Ньютона газ при этом совершает над поршнем работу А = А’.
Сообщение телу количества тепла Q не связано с перемещением тел и, следовательно, не связано с совершением над телом макроскопической работы. В этом случае изменение внутренней энергии обусловлено тем, что отдельные молекулы более нагретого тела совершают работу над отдельными молекулами тела, нагретого менее. Совокупность микроскопических процессов, приводящих к передаче энергии от тела к телу, носит название теплопередачи.
Таким образом, приращение внутренней энергии должно быть равно сумме совершенной над системой работы и количества сообщенного системе тепла:
Уравнение (2.1.4) выражает закон сохранения энергии и представляет собой содержание первого начала термодинамики : количество тепла, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами.
При вычислении совершенной системой работы или полученного системой тепла приходится разбивать рассматриваемый процесс на ряд элементарных процессов, каждый из которых соответствует малому изменению параметров системы. Уравнение (2.1.4) для элементарного процесса имеет вид:
При переходе к бесконечно малым величинам уравнение (2.1.5) будет иметь вид:
2.1.4. Работа, совершаемая телом
при изменении его объема
Взаимодействие данного тела с соприкасающимися с ним телами можно охарактеризовать давлением. Пусть газ заключен в цилиндрический сосуд, закрытый плотно пригнанным легко скользящим поршнем (Рис. 2.1.2).
Рис. 2.1.2. Работа газа
Если газ будет расширяться, он будет перемещать поршень и совершать над ним работу:
Уравнение (2.1.7) может быть записано так:
При сжатии газа направления перемещения и силы, с которой газ действует на поршень, противоположны, вследствие чего работа будет отрицательна.
Если давление газа постоянно, работа при изменении объема равна:
В общем случае работу следует вычислять так:
2.1.5. Температура
Если несколько соприкасающихся тел находятся в состоянии теплового равновесия, т.е. не обмениваются энергией путем теплопередачи, то этим телам приписывается одинаковая температура. Если при установлении теплового контакта одно из тел передает другому энергию, то первому тему приписывают температуру, большую, чем у второго тела.
Приведем тело, выбранное нами для термометрических измерений (термометрическое тело), в тепловое равновесие с тающим льдом и припишем телу в этом случае температуру 0°С. В качестве термометрических тел выбирают, например, спирт или ртуть. Пусть в качестве признака изменения температуры выбрано изменение объема тела, и значение объема, соответствующее 0° С, обозначим V0. Затем приведем то же тело в тепловое равновесие с кипящей при атмосферном давлении водой, припишем телу в этом случае температуру 100°С, и определим соответствующий объем V100. Принимая, что объем изменяется с температурой линейно, можно состоянию тела с произвольным объемом V приписать температуру:
Установленная таким образом температурная шкала называется шкалой Цельсия.
2.1.6. Уравнение состояния идеального газа.
Экспериментальные газовые законы.
Состояние некоторой массы газа определяется значениями трех параметров: давления, объема и температуры. Эти параметры закономерно связаны друг с другом, так что изменение одного из них влечет за собой изменение других. Такая связь может быть задана аналитически в виде функции:
Соотношения, подобные (2.1.13), называются уравнениями состояния тела. Если разрешить (2.1.13) относительно какого-либо из параметров, например р, уравнение состояния примет вид:
Например, закон Бойля-Мариотта гласит, что при данной массе газа произведение давления на объем есть величина постоянная:
Рис. 2.1.3. Диаграммы изотермических процессов
Закон Гей-Люссака гласит, что при неизменном давлении объем данной массы газа меняется линейно с температурой:
Аналогичная зависимость имеется для давления при постоянном объеме ( закон Шарля ):
Рис. 2.1.4. Изобарический (а) и изохорический (б) процессы в газах
Все изобары и изохоры пересекают ось температур в одной и той же точке, определяемой из условия: 1 + αt = 0,откуда следует:
Сместив начало отсчета температур в эту точку, можно перейти от шкалы температур по Цельсию к температурной шкале Кельвина, или абсолютной температурной шкале. В соответствии с определением абсолютной шкалы между ней и шкалой Цельсия имеется соотношение:
Температура, равная 0 К, называется абсолютным нулем. Переходя в соотношениях (2.1.16) и (2.1.17) к абсолютной температуре, получим:
Используя (2.1.19) и (2.1.20), можно записать:
Объединяя уравнения Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, можно найти уравнение состояния идеального газа. Для этого возьмем на диаграмме (p,V) два произвольных состояния, определяемых параметрами (p1,V1,Т1) и (p2,V2,Т2) (Рис. 2.1.5).
Рис. 2.1.5. К выводу уравнения Клапейрона
Состояния 1′ и 2 лежат на одной изохоре, поэтому, согласно (2.1.22), имеем:
Исключая из этих уравнений р’, получим:
Поскольку состояния 1 и 2 были взяты произвольно, можно утверждать, что для любого состояния будет выполняться:
Согласно закону Авогадро, килограмм-молекулы всех газов занимают при одинаковых условиях одинаковый объем. При нормальных условиях объем одного киломоля любого газа равен 22,4 м³/кмоль. Отсюда следует, что в случае, когда количество газа равно одному киломолю, величина В в (2.1.26) будет одинакова для всех газов. Обозначая соответствующую киломолю величину В = R, а объем киломоля через Vкм, уравнение (2.1.26) можно записать в виде:
2.1.7. Уравнение кинетической
теории газов для давления
При ударе о стенку сосуда молекула сообщает ей импульс, численно равный изменению импульса молекулы. Все направления движения равновероятны, поскольку давление газа на стенки сосуда всюду одинаково.
Скорости молекул могут быть самыми различными и должны меняться при каждом соударении, причем они могут как возрастать, так и убывать. Это следует из того, что кинетическая энергия двух молекул до и после соударения должна быть одинакова. Следовательно, возрастание скорости одной молекулы должно сопровождаться уменьшением скорости другой.
Введем некоторые упрощения:
Рис. 2.1.6. Равнораспределение молекул
Вычислим импульс, сообщаемый стенке сосуда ударяющейся об нее молекулой. До удара о стенку импульс молекулы направлен по внешней нормали к площадке ΔS и равен по величине mv (Рис. 2.1.7).
Рис. 2.1.7. Изменение импульса молекулы при упругом соударении со стенкой
В результате удара импульс меняет знак. Таким образом, приращение импульса молекулы составляет:
Умножив число ударов (2.1.30) на импульс (2.1.29), сообщаемый стенке при каждом ударе, получим суммарный импульс, сообщаемый элементу стенки за время Δt:
Относя этот импульс к промежутку времени Δt, получим силу, действующую на элемент стенки:
Эта величина, отнесенная к единице площади стенки, и есть искомое давление:
Откажемся сейчас от предположения о равенстве скоростей молекул. Пусть n1 молекул имеют скорости, практически равные v1, n2 молекул имеют скорости, практически равные v2. и вообще, ni молекул имеют скорости, практически равные vi. Очевидно, что выполняется:
Зная распределение молекул по скоростям, можно найти среднее значение скорости молекул. Для этого нужно сложить скорости всех молекул и разделить полученный результат на n:
При записи (2.1.36) учитывалось, что всего есть n1 слагаемых со скоростью v1, n2 слагаемых со скоростью v2 и т.д. Проведя аналогичные рассуждения для кинетической энергии поступательного движения молекул, можно найти среднее значение их энергии:
Заменив в уравнении идеального газа R = NAkБ и учитывая, что концентрация газа получим важную формулу:
Если имеется смесь нескольких газов, разные по массе молекулы будут иметь различную среднюю скорость, но средняя энергия молекул будет одна и та же. Давление в этом случае будет равно:
2.1.8. Равнораспределение энергии
по степеням свободы
В полученном ранее выражении:
учитывалась только энергия поступательного движения молекулы. Однако наряду с поступательным движением возможны также вращение молекулы и колебания атомов, входящих в состав молекулы. Эти виды движения также связаны с запасом энергии. Тогда общая энергия сложной молекулы определяется числом ее степеней свободы.
Числом степеней свободы механической системы называется число независимых координат, определяющих ее положение и конфигурацию в пространстве.
Полная хаотичность движения молекулы позволяет считать, что средние значения кинетических энергий по трем направлениям равны друг другу:
Сопоставляя (2.1.43) и (2.1.45), получаем, что на одну степень поступательного движения частицы приходится энергия, равная:
В отношении своей внутренней энергии двух- и многоатомные газы отличаются от одноатомных числом степеней свободы своих молекул. Следовательно, для вычисления внутренней энергии газа надо уметь определять число степеней свободы.
Рассмотрим простейший случай двухатомной молекулы (Н2, О2, N2, CO, NO, …) (Рис. 2.1.8).
Рис. 2.1.8. Модель двухатомной молекулы
Если расстояние между атомами не меняется (такие молекулы называются жесткими ), то такая система, в общем случае, будет иметь шесть степеней свободы. Действительно, положение и конфигурация такой молекулы определяется: тремя координатами ее центра масс, которые задают поступательное движение молекулы как целого, и тремя координатами, определяющими возможные вращения молекулы вокруг каждой из трех осей X, Y, Z.
На Рис. 2.1.9 приведена модель трехатомной молекулы.
Рис. 2.1.9. Модель трехатомной молекулы
Таким образом, средняя энергия молекулы должна равняться:
Для молекул с жесткой связью между атомами i совпадает с числом степеней свободы молекулы.
2.1.9. Внутренняя энергия
и теплоемкость идеального газа
Вследствие того, что молекулы идеального газа не взаимодействуют на расстоянии, внутренняя энергия такого газа складывается из энергий отдельных молекул. Следовательно, внутренняя энергия одного киломоля идеального газа будет равна произведению числа Авогадро на среднюю энергию одной молекулы:
Внутренняя энергия произвольной массы газа m будет равна внутренней энергии одного моля, умноженной на число киломолей газа, содержащихся в массе m:
Теплоемкостью какого-либо тела называется количество тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус:
Теплоемкость одного киломоля обозначается буквой С и имеет размерность Дж/град·кмоль. Теплоемкость с единицы массы называется удельной теплоемкостью и имеет размерность Дж/град·кг. Между удельной теплоемкостью и теплоемкостью одного киломоля есть очевидное соотношение:
Величина теплоемкости зависит от условий, при которых происходит нагревание тела. Наибольший интерес представляют два случая:
Если нагревание тела производится при постоянном объеме, тело не совершает работы над внешними телами и, согласно первому началу термодинамики (2.1.11), все тепло идет на приращение внутренней энергии тела:
Из (2.1.53) следует, что теплоемкость любого тела при постоянном объеме равна:
Подставляя в (2.1.54) соотношение (2.1.49), получим выражение для теплоемкости кило-моля идеального газа:
Отсюда следует, что теплоемкость киломоля идеального газа, измеренная при постоянном объеме, не зависит от параметров состояния газа. Исходя из (2.1.55), в этом случае можно представить внутреннюю энергию так:
Напишем уравнение первого начала термодинамики (2.1.11) для киломоля газа:
Разделив (2.1.57) на dT, получим, с учетом (2.1.54), выражение для теплоемкости кило моля идеального газа при постоянном давлении:
В соответствии с уравнением состояния идеального газа (2.1.27) и с помощью (2.1.58), имеем:
Таким образом, работа, которую совершает киломоль идеального газа при повышении его температуры на один градус при постоянном давлении, оказывается равной универсальной газовой постоянной. С учетом формулы (2.1.55) соотношение (2.1.59) примет вид:
Поделив (2.1.60) на (2.1.55), найдем характерное для каждого газа отношение γ = Ср/СV:
В Табл. 2.1.1 приводятся значения Ср, CV и γ для различных молекул, в Табл. 2.1.2 сопоставлены результаты теории с экспериментом. Теоретические значения получены в предположении, что молекулы являются жесткими, экспериментальные данные приводятся для температур, близких к комнатным.
| Молекула | Характер связи между атомами | Число степеней свободы | i | CV | Cp | γ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| пос- тупат. | вра- щат. | ко- леб. | ||||||
| Одноатомная | — | 3 | — | — | 3 | 1,67 | ||
| Двухатомная | Жесткая | 3 | 2 | — | 5 | 1,40 | ||
| Двухатомная | Упругая | 3 | 2 | 1 | 7 | 1,29 | ||
| С числом атомов три и более | Жесткая | 3 | 3 | — | 6 | 1,33 | ||
| Газ | Количество атомов в молекуле | СV, 10³ Дж/град·кмоль | Сp, 10³ Дж/град·кмоль | γ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| теор. | эксп. | теор. | эксп. | теор. | эксп. | ||
| Гелий (Не) | 1 | 12,5 | 12,5 | 20,8 | 20,9 | 1,67 | 1,67 |
| Кислород (О2) | 2 | 20,8 | 20,9 | 29,1 | 28,9 | 1,40 | 1,40 |
| Окись углерода (СО) | 2 | 20,8 | 21,0 | 29,1 | 29,3 | 1,40 | 1,40 |
| Пары воды (Н2О) | 3 | 25,0 33,2 *) | 27,8 | 33,2 41,5 *) | 36,2 | 1,33 1,25 *) | 1,31 |
*) Для i = 8, т.е. в предположении, что имеется дополнительно одна колебательная степень свободы.
Согласно классической теории, теплоемкость не должна зависеть от температуры. Однако на Рис. 2.1.10 такая зависимость для молекул водорода существует.
Рис. 2.1.10. Температурная зависимость теплоемкости водорода
2.1.10. Уравнение адиабаты идеального газа
Адиабатическим называется такой процесс, который протекает без теплообмена с окружающей средой. Для его описания подставим в уравнение первого начала термодинамики (2.1.11) выражение для внутренней энергии (2.1.58), взятое для идеального газа с массой m:
Так как для адиабатического процесса δQ = 0, то должно выполняться:
Данное соотношение можно представить так:
откуда следует, что при адиабатическом процессе выполняется:
Во всех рассуждениях предполагалось, что состояние идеального газа в каждый момент времени характеризуется определенными значениями параметров p и Т, т.е. что рассматриваемый процесс является равновесным. Однако равновесным может быть процесс, протекающий очень медленно. Вместе с тем, поскольку в природе не существует совершенно не проводящих тепло веществ, количество тепла, которым система обменивается со своим окружением, будет тем меньше, чем меньшее время длится процесс. Следовательно, близкими к адиабатическим могут быть только быстро протекающие процессы, например, сжатие и расширение газа при распространении через него звуковой волны.
2.1.11. Политропические процессы
| n | Процесс | n | Процесс |
|---|---|---|---|
| 0 | Изобарический | γ | Адиабатический |
| 1 | Изотермический | ± ∞ | Изохорический |
Первые три строки очевидны. Чтобы убедиться в справедливости четвертой строки, запишем уравнение политропы (2.1.70) для двух произвольных состояний:
Устремляя n → ± ∞, придем к условию:
которое характеризует изохорический процесс.
2.1.12. Барометрическая формула
Атмосферное давление на какой-либо высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Пусть на этой высоте давление равно р. Тогда давление на высоте h + dh равно р + dp, причем если dh > 0, то dp
Рис. 2.1.11. К выводу барометрической формулы
При условиях, близких к нормальным, газы, входящие в состав атмосферы, мало отличаются по своим свойствам от идеального газа. Поэтому, используя уравнение состояния идеального газа, для плотности газа можно записать:
Подставляя (2.1.76) в (2.1.75), получим:
Для случая, когда температура постоянна, интегрируя (2.1.78), получим:
Потенцируя (2.1.79) имеем соотношение:
Пусть при h = 0 выполняется р = р0. Используя это условие, из (2.1.80) получим: р (h=0) = р0 = C. Окончательное выражение для зависимости атмосферного давления газа от высоты при данной температуре примет вид:
Рис. 2.1.12. Зависимость давления газа от высоты и температуры (μ1 Т2)
2.1.13. Распределение Больцмана
Заменив в (2.1.81) давление р = nkБТ, получим закон изменения концентрации газа в зависимости от высоты:
Из (2.1.83) следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при T = 0 (Рис. 2.1.13).
Рис. 2.1.13. Изменение концентрации частиц газа с высотой
При абсолютном нуле все молекулы расположились бы на поверхности земли. При высоких температурах, напротив, концентрация частиц слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются распределены по высоте почти равномерно.
Действительно, каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате совместного и конкурирующего действия двух факторов:
Чем больше масса и меньше температура, тем сильнее преобладает первый фактор, и молекулы окажутся сконцентрированы ближе к Земле. Например, молекулы тяжелого газа радона могут скапливаться в подвалах домов.
На разной высоте молекула с массой m обладает различным запасом потенциальной энергии:
Поэтому формулу (2.1.83) можно представить так:
© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2015