Что значит представить в виде неправильной дроби число
Как целое число представить в виде дроби?
Неправильную дробь, у которой над и под дробной чертой одинаковые числа: 2/2, 11/11, 8/8 и другие, можно превратить в 1, потому что дробь — это частное, которое получается при делении числителя на знаменатель. Значит это и есть целое.
В математике целое принято принимать за единицу: отрезок, круг, яблоко, дом и т.д.
Рассмотрим несколько упражнений.
1. Назовите и запишите, какая часть круга закрашена?
Сколько всего пятых долей в целом круге?
2. На сколько частей разделили отрезок?
Сколько третьих долей во всем отрезке?
3. Строительные трубочки разделили на части.
Сколько частей в каждой трубочке? Сколько всего вторых долей в желтой трубочке? Сколько всего четвертых долей в красной трубочке? Сколько всего шестых долей в зеленой трубочке? Сколько всего восьмых долей в желтой трубочке? Сколько всего двенадцатых долей в последней красной трубочке?
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 77
Неправильные дроби: как научиться решать с ними примеры?
Какие виды дробей существуют?
Для начала о том, что это такое. Дробь — число, которое имеет некоторую часть от единицы. Ее можно записать в двух видах. Первый носит название обыкновенной. То есть такая, у которой есть горизонтальная или наклонная черта. Она приравнивается к знаку деления.
В такой записи число, стоящее над черточкой, называется числителем, а под ней — знаменателем.
Среди обыкновенных выделяют правильные и неправильные дроби. У первых числитель по модулю всегда меньше знаменателя. Неправильные потому так и называются, что у них все наоборот. Значение правильной дроби всегда меньше единицы. В то время как неправильная всегда больше этого числа.
Есть еще смешанные числа, то есть такие у которых имеются целая и дробная части.
Второй вид записи — десятичная дробь. О ней отдельный разговор.
Чем отличаются неправильные дроби от смешанных чисел?
По своей сути, ничем. Это просто разная запись одного и того же числа. Неправильные дроби после несложных действий легко становятся смешанными числами. И наоборот.
Смешанное число еще сравнивают с суммой целой части и дробной. Причем вторая всегда меньше единицы.
Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?
Если требуется выполнить какое-либо действие с несколькими числами, которые записаны в разных видах, то нужно сделать их одинаковыми. Один из методов — представить числа в виде неправильных дробей.
Для этой цели потребуется выполнить действия по такому алгоритму:
Вот примеры того, как записать неправильные дроби из смешанных чисел:
Как записать неправильную дробь в виде смешанного числа?
Следующий прием противоположен рассмотренному выше. То есть когда все смешанные числа заменяются на неправильные дроби. Алгоритм действий будет таким:
Примеры такого преобразования:
76/14; 76:14 = 5 с остатком 6; ответом будет 5 целых и 6/14; дробную часть в этом примере нужно сократить на 2, получится 3/7; итоговый ответ — 5 целых 3/7.
108/54; после деления получается частное 2 без остатка; это значит, что не все неправильные дроби удается представить в виде смешанного числа; ответом будет целое — 2.
Как целое число превратить в неправильную дробь?
Бывают ситуации, когда необходимо и такое действие. Чтобы получить неправильные дроби с заранее известным знаменателем, потребуется выполнить такой алгоритм:
Самый простой вариант, когда знаменатель равен единице. Тогда ничего умножать не нужно. Достаточно просто написать целое число, которое дано в примере, а под чертой расположить единицу.
Пример: 5 сделать неправильной дробью со знаменателем 3. После умножения 5 на 3 получается 15. Это число будет знаменателем. Ответ задания дробь: 15/3.
Два подхода к решению заданий с разными числами
В примере требуется вычислить сумму и разность, а также произведение и частное двух чисел: 2 целых 3/5 и 14/11.
В первом подходе смешанное число будет представлено в виде неправильной дроби.
После выполнения действий, описанных выше, получится такое значение: 13/5.
Для того чтобы узнать сумму, нужно привести дроби к одинаковому знаменателю. 13/5 после умножения на 11 станет 143/55. А 14/11 после умножения на 5 примет вид: 70/55. Для вычисления суммы нужно только сложить числители: 143 и 70, а потом записать ответ с одним знаменателем. 213/55 — эта неправильная дробь ответ задачи.
При умножении 13/5 и 14/11 не нужно приводить к общему знаменателю. Достаточно перемножить попарно числители и знаменатели. Получится ответ: 182/55.
Так же и при делении. Для правильного решения нужно заменить деление на умножение и перевернуть делитель: 13/5 : 14/11 = 13/5 х 11/14 = 143/70.
Во втором подходе неправильная дробь обращается в смешанное число.
После выполнения действий алгоритма 14/11 обратится в смешанное число с целой частью 1 и дробной 3/11.
Во время вычисления суммы нужно сложить целые и дробные части по отдельности. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Итоговый ответ получается 3 целых 48/55. В первом подходе была дробь 213/55. Проверить правильность можно, переведя его в смешанное число. После деления 213 на 55 получается частное 3 и остаток 48. Нетрудно заметить, что ответ правильный.
Для нахождения произведения и частного пользоваться смешанными числами неудобно. Здесь всегда рекомендуется переходить к неправильным дробям.
Дроби
Что такое дробь
Дроби нужны для обозначения нецелых количеств. Они образуются как результат деления натуральных чисел, когда делимое не кратно делителю.
Дробная черта равносильна знаку деления. То есть \(4:6=\frac46\) (четыре шестых), \(7:2=\frac72\) (семь вторых). Числитель дроби играет роль делимого, а знаменатель — делителя.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Знаменатель дроби не может быть нулем.
Основные свойства дробей
Несократимой называют дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме 1 (-1).
Существует два вида дробей: правильные и неправильные.
Неправильные дроби всегда больше правильных: \(\frac <39>
Правильные дроби
Правильная дробь — это обыкновенная дробь, числитель которой меньше знаменателя.
Правильная дробь называется так, поскольку выражает «правильную» часть единицы, то есть часть, которая меньше целого: \( \frac25
Таким образом, отличить правильную дробь от неправильной можно при сравнении дробей с единицей. Это различие не влияет на арифметические действия, но важно при сравнении дробей.
Смешанные дроби
Неправильные дроби не принято оставлять в результате вычислений. Лучше преобразовывать их в смешанные числа. Любую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа.
Смешанное число — это число, содержащее целую и дробную часть.
Для составления смешанной дроби необходимо:
Записать неправильную дробь \(\frac<18>4\) в виде смешанной.
Тогда искомая смешанная дробь \(\frac<18>4=4\frac24.\) Эту дробь можно сократить, поделив числитель и знаменатель дробной части на общий делитель 2:
Смешанное число можно записать в виде неправильной дроби. Для этого необходимо целую часть умножить на знаменатель дробной части. К полученному числу нужно прибавить числитель дробной части. Эту сумму записать в числитель, а знаменатель дробной части оставить без изменений.
Смешанное число \(6\frac25\) записать в виде неправильной дроби.
Как перевести правильную дробь в неправильную
Перевести правильную дробь в неправильную или наоборот невозможно. Это разные категории чисел.
Любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби: \(2=\frac21.\)
Дробь с числителем p и знаменателем 1 — это другая форма записи натурального числа p. Это правило можно представить в виде формулы: \(p=\frac p1.\)
Действия с дробями, как решать примеры
Приведение к общему знаменателю
Чтобы решать большинство примеров с дробями, необходимо приводить их к общему знаменателю. Чтобы привести дроби \(\frac ab\) и \(\frac cd\) к общему знаменателю, необходимо:
Сравнение
Чтобы сравнить обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители. Дробь с большим числителем больше.
\(\frac34>\frac13,\) поскольку \(\frac9<12>>\frac4<12>.\)
Если сравниваются смешанные числа, в первую очередь необходимо смотреть на целую часть. Больше то число, целая часть которого больше.
К примеру, \(8\frac16>5\frac23.\)
Если целые части смешанных чисел равны, то сравнивают дробные части по правилу сравнения обыкновенных дробей. Число с наибольшей дробной частью будет больше: \(5\frac23>5\frac13.\)
Сложение и вычитание
Чтобы сложить обыкновенные дроби, необходимо привести их к общему знаменателю, сложить числители, а знаменатели оставить без изменений. При необходимости привести дробь в вид смешанного числа.
При сложении смешанных чисел целые и дробные части складываются отдельно.
Чтобы вычесть одну дробь из другой, также необходимо привести их к общему знаменателю, после чего вычесть числители, а знаменатели оставить без изменений.
Умножение и деление
Чтобы умножить обыкновенные дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели.
\(\frac ab\cdot\frac cd=\frac
Умножить дробь \(\frac35\) на \(\frac23.\)
При умножении дроби на натуральное число, нужно умножить числитель на это число, а знаменатель оставить тем же. Так происходит, поскольку любое натуральное число можно представить в виде \(p=\frac p1.\)
\(\frac ab\cdot p=\frac ab\cdot\frac p1=\frac
Чтобы умножить смешанные числа, необходимо сперва представить их в виде обыкновенных дробей и лишь затем совершать действие.
Чтобы поделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй. При этом оба знаменателя и числитель второй дроби не должны быть равны нулю.
\(\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc=\frac
Поделить дробь \(\frac34\) на \(\frac23.\)
При делении смешанных чисел, как и при умножении, их необходимо сперва привести к виду обыкновенной дроби.
Урок 35 Бесплатно Правильные и неправильные дроби
На этом уроке мы вспомним, что такое обыкновенная дробь.
Рассмотрим, какие виды обыкновенных дробей существуют и выясним, какую дробь считают правильной, а какую неправильной и научимся сравнивать их.
Определим месторасположение правильной и не правильной дроби на координатном луче.
Разберем несколько задач на нахождение части целого и целого по его части, в которых часть представлена в виде обыкновенной неправильной дроби.
Правильные дроби
Вам уже известно, что дробь представляет собой часть некоторой величины.
Обыкновенная дробь записывается двумя числами, разделенных чертой, которая называется дробной (она может быть горизонтальной и наклонной).
Число, стоящее над дробной чертой, называют числителем.
Числитель показывает, сколько долей взяли от целого.
Число, стоящее под дробной чертой, называют знаменателем.
Знаменатель показывает, на сколько всего равных долей разделили целое.
Дробь можно получить следующим образом: разделить целое на равные части и взять несколько из этих частей.
В качестве примера рассмотрим такую ситуацию.
Плитку молочного шоколада разделили на 8 равных долек и из них взяли и съели 4.
Восемь долек шоколадки- это одна целая плитка шоколада.
Одна долька этой шоколадки представляет собой 1/8 всей плитки.
Четыре дольки из восьми можно записать дробью, получим дробь 4/8 (четыре восьмых).
Дробь 4/8 указывает на то, что целое разделили на восемь равных частей и из них взяли четыре.
8 (общее количество долей)- знаменатель дроби 4/8.
4 (количество долей, которые взяли)- числитель дроби 4/8.
Обратим внимание на члены этой дроби (числитель и знаменатель).
4 и 8— это два натуральных числа, причем если их сравнить, то мы можем заметить, что число 4 меньше 8, т.е. числитель меньше знаменателя.
Обыкновенная дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью.
Давайте выясним являются ли дроби 5/8, 6/8, 7/8 правильными.
Для данной дроби 5— это числитель, 8— это знаменатель.
Одну и ту же обыкновенную дробь можно представить разными способами.
Разделить целое на четыре части и взять две, будет тоже самое, что разделить это целое на две части и взять одну.
Такой же результат получится, если разделить все тоже целое на шесть равных частей и взять из них три и т.д.
Существует бесконечное множество дробей, равных половине целого.
Так, например, одна вторая получается, и в таких случаях: целое разделить на восемь частей и взять из них четыре (1/2 = 4/8), из десяти частей взять пять (1/2 = 5/10), из пятидесяти частей взять двадцать пять (1/2 = 25/50) и т.д.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Неправильные дроби
Выясним, какую дробь называют неправильной на следующем примере:
На праздник купили один большой торт и разрезали его на девять одинаковых частей (9 долей).
Каждый гость съел по кусочку этого торта, в результате торта больше не осталось.
Получается, что гости съели девять кусочков торта из девяти возможных.
В таком случае дробь \(\mathbf<\frac<9><9>>\) будет показывать, что целое (весь торт) разделили на 9 долей и потом все эти 9 частей взяли, т.е. съели весь торт.
В данной дроби 9 (общее количество долей)- знаменатель дроби \(\mathbf<\frac<9><9>>\).
9 (количество долей, которые взяли)- числитель дроби \(\mathbf<\frac<9><9>>\).
Очевидно, что дробь \(\mathbf<\frac<9><9>>\) будет равна единице.
Любая дробь, в которой числитель равен знаменателю, равна единице.
Дробь \(\mathbf<\frac
Давайте выясним может ли обыкновенная дробь больше единицы.
Рассмотрим еще одну ситуацию.
Допустим, на праздник купили два одинаковых торта.
Каждый торт разрезали на девять равных частей.
За все время праздника гости съели 13 кусочков торта.
От второго торта осталось 5 несъеденных куска.
Когда разделили оба торта на 9 равных частей, в итоге получили 18 одинаковых кусочков (равных долей), они составляют два целых торта.
\(\mathbf<\frac<9><9>>\)— первый торт.
\(\mathbf<\frac<9><9>>\)— второй торт.
Получается из этих 18 кусочков съели 13, т.е. 1 целый торт и еще 4 кусочка.
Четыре кусочка от второго торта будут выражаться дробью \(\mathbf<\frac<4><9>>\).
В таком случае получаем \(\mathbf<\frac<9><9>>\) (один целый торт), да еще \(\mathbf<\frac<4><9>>\) второго торта- это часть кусочков торта, которые съели.
9 долей первого торта + 4 доли второго торта = \(\mathbf<\frac<13><9>>\) торта съели на празднике.
Так как каждый торт был разрезан на 9 частей, то в знаменателе дроби \(\mathbf<\frac<13><9>>\) стоит цифра 9.
Осталось пять частей торта, т.е. \(\mathbf<\frac<5><9>>\) торта- часть второго торта.
Обратите внимание на дроби \(\mathbf<\frac<9><9>>\) и \(\mathbf<\frac<13><9>>\).
В дроби \(\mathbf<\frac<9><9>>\) знаменатель равен 9 (общее количество долей), числитель равен 9 (количество долей, которые взяли).
9 = 9- числитель равен знаменателю.
В дроби \(\mathbf<\frac<13><9>>\) знаменатель равен 13 (общее количество долей), числитель равен 9 (количество долей, которые взяли).
13 > 9— числитель больше знаменателя.
Обыкновенную дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.
Правило: Любая неправильная дробь больше единицы или равна ей.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Необходимо понимать, что термин «неправильная» не говорит о том, что дробь неверная и с ней невозможно производить различные математические операции.
Дробь называют неправильной, так как она отличается от стандартного понимания дроби.
Неправильная дробь всегда содержит некоторую целую часть и дробную.
На следующих занятиях мы научимся выделять целую и дробную часть и производить с такими числами различные арифметические операции
Любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби, данная запись будет выглядеть так:
Дробь с числителем а, где а— любое натуральное число, и знаменателем, равным единице- это еще одна верная форма записи натурального числа а.
Натуральное число 3 = \(\mathbf<\frac<3><1>>\)
\(\mathbf<\frac<3><1>>\)- неправильная дробь, так как числитель (3) больше знаменателя (1).
\(\mathbf<\frac<24><1>>\)- неправильная дробь, так как числитель (24) больше знаменателя (1).
\(\mathbf<\frac<1245><1>>\)- неправильная дробь, так как числитель (1245) больше знаменателя (1).
Сравнивая правильную и неправильную дробь, можно однозначно сказать, что любая неправильная дробь больше правильной.
Определите какая из дробей \(\mathbf<\frac<7><8>>\) и \(\mathbf<\frac<8><7>>\) больше, какая меньше.
\(\mathbf<\frac<7><8>>\)— правильная дробь (числитель меньше знаменателя), а \(\mathbf<\frac<8><7>>\)— неправильная дробь (числитель больше знаменателя), следовательно \(\mathbf
В математике различают два вида обыкновенных дробей:
1. Правильная (числитель меньше знаменателя).
2. Неправильная дробь (числитель больше знаменателя или равен ему).
Выясним, где на координатном луче изображают правильные и неправильные дроби.
Любому дробному числу соответствует конкретное место на координатном луче.
Чтобы обозначить на координатном луче точку с координатой \(\mathbf<\frac
Чтобы найти число \(\mathbf<\frac<1>
Рассмотрим поясняющий пример.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.
Определим расположение точек A(\(\mathbf<\frac<2><6>>\)), B(\(\mathbf<\frac<11><6>>\)), D(\(\mathbf<\frac<6><6>>\)) на координатном луче.
Так как знаменатель каждой данной дроби равен шести, то разобьем единичный отрезок ОЕ на шесть равных частей-отрезков, каждая часть будет равна \(\mathbf<\frac<1><6>>\) ОЕ.
Правильная дробь \(\mathbf<\frac<2><6>>\) представляет собой две части (доли) из шести.
Следовательно, точка А(\(\mathbf<\frac<2><6>>\)) удалена от начала координат на расстояние двух отрезков, равных одной доле единичного отрезка- \(\mathbf<\frac<1><6>>\) ОЕ.
Отметим тот факт, что \(\mathbf<\frac<2><6>>\) правильная дробь, а это значит она меньше единицы.
На координатном луче данная точка располагается между числами 0 и 1, т.е. левее точки E(1).
Выясним, где на координатном луче будет располагаться точка D (\(\mathbf<\frac<6><6>>\)).
Известно, что дробь, у которой числитель равен знаменателю, представляет собой неправильную дробь, равную единице.
Дробь \(\mathbf<\frac<6><6>>\) означает шесть частей из шести- это единица.
Отметим точку D (\(\mathbf<\frac<6><6>>\)) на координатном луче, для этого отсчитаем 6 отрезков от начала координат, в результате попадаем в точку Е(1).
Точка с координатой \(\mathbf<\frac<6><6>>\) совпадает с точкой Е(1), в результате получаем сам единичный отрезок ОЕ.
Обозначим на координатном луче точку В с координатой \(\mathbf<\frac<11><6>>\).
Дробь \(\mathbf<\frac<11><6>>\) означает шесть частей (т.е. один единичный отрезок ОЕ) и еще пять таких частей.
Отложим от начала координат один единичный отрезок и от него отсчитаем еще пять делений, каждый из которых равен \(\mathbf<\frac<1><6>>\) единичного отрезка (в общем говоря, нам необходимо отсчитать от начала координат 11 делений, равных \(\mathbf<\frac<1><6>>\) ОЕ).
Нам несложно заметить, что неправильная дробь, у которого числитель больше знаменателя, лежит на координатном луче правее единицы.
На самом деле, такая неправильная дробь выражает некоторую целую часть, да еще часть целого.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
ОБЫКНОВЕННАЯ ДРОБЬ
Ключевые слова конспекта: дроби, обыкновенная дробь, правильные и неправильные дроби, основное свойство дроби, сравнение дробей, арифметические действия с дробями, нахождение части от целого и целого по его части.
Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью. Дробь 3/4 означает, что единицу разделили на 4 части и взяли 3 таких части.
Дробь можно рассматривать и как результат деления натуральных чисел. Частное от деления натуральных чисел а и b можно записать в виде дроби a/b — где делимое а — числитель, а делитель b — знаменатель.
Правильная и неправильная дробь
Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.
Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.
Основное свойство дроби
Определение. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.
Основное свойство дроби используют при сокращении дробей. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дробей.
Сравнение дробей
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
Арифметические действия с обыкновенными дробями
Сложение и вычитание дробей
При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть.
При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
Особенно надо быть внимательным при сложении (вычитании) с участием смешанных чисел!
Общий случай сложения (вычитания) дробей.
Умножение дробей
Деление дробей
Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть дроби вида a/b и b/a являются взаимно обратными. Например 1/3 и 3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное к делителю.
При делении чисел, состоящих из целой и дробной части, нужно предварительно представить их в виде неправильной дроби.
Нахождение части от целого (дроби от числа)
Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на числитель той же дроби.
Задача нахождения части от целого по существу является задачей нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь.
Нахождение целого по его части (числа по его дроби)
Чтобы найти целое по его части, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на знаменатель той же дроби.
Задача нахождения целого по его части по существу является задачей нахождения числа по его дроби. Чтобы найти число по его дроби, необходимо данное значение разделить на эту дробь.
Это конспект по теме «Обыкновенная дробь». Выберите дальнейшие действия: