Что значит построить математическую модель задачи 5 класс

10.04.202210.04.2022 admin 0 Comments

Что такое математическая модель?

Понятие математической модели.

Например, нам нужно посчитать расходы (Р) на покупки в магазине. Надо купить две булки (Б) и три пачки масла (М). Мы знаем цену булки (ЦБ) и цену масла (ЦМ). Легко можно записать:

Составление (построение) математической модели задачи.

Говоря конкретнее, нужно установить математическую связь между всеми данными задачи.

Но можно выделить три основных момента, на которые нужно обратить внимание.

1. В любой задаче есть текст, как ни странно.) В этом тексте, как правило, имеется явная, открытая информация. Числа, значения и т.п.

3. В любой задаче должно быть дана связь данных между собой. Эта связь может быть дана открытым текстом (что-то равно чему-то), а может быть и скрыта за простыми словами. Но простые и понятные факты частенько упускаются из виду. И модель никак не составляется.

Сразу скажу: чтобы применить эти три момента, задачу приходится читать (и внимательно!) несколько раз. Обычное дело.

Начнём с простой задачки:

Все эти слова нужно превратить в какое-то уравнение. Для этого нужно, повторюсь, установить математическую связь между всеми данными задачи.

С чего начинать? Сначала вытащим из задачи все данные. Начнём по порядочку:

Обращаем внимание на первый момент.

Какая здесь явная математическая информация? 8 рыбин и 20%. Не густо, да нам много и не надо.)

Обращаем внимание на второй момент.

Ищем скрытую информацию. Она здесь есть. Это слова: «20% всех рыбин«. Здесь нужно понимать, что такое проценты и как они считаются. Иначе задача не решается. Это как раз та дополнительная информация, которая должна быть в голове.

Здесь ещё имеется математическая информация, которую совершенно не видно. Это вопрос задачи: «Сколько всего рыбин купил. « Это ведь тоже какое-то число. И без него никакая модель не составится. Поэтому обозначим это число буквой «х». Мы пока не знаем, чему равен икс, но такое обозначение очень нам пригодится. Подробнее, что брать за икс и как с ним обращаться, написано в уроке Как решать задачи по математике? Вот так сразу и запишем:

Возвращаемся к раскрытию информации. Кто не знает, что такое процент, никогда не раскроет, да. А кто знает, тот сразу скажет, что проценты здесь от общего числа рыб даны. А нам это число неизвестно. Ничего не выйдет!

Общее количество рыб (в штуках!) мы не зря буквой «х» обозначили. Посчитать южных рыб в штуках не получится, но записать-то мы сможем? Вот так:

Вот теперь мы скачали всю информацию с задачи. И явную, и скрытую.

Обращаем внимание на третий момент.

Ищем математическую связь между данными задачи. Эта связь настолько проста, что многие её не замечают. Такое часто бывает. Здесь полезно просто записать собранные данные в кучку, да и посмотреть, что к чему.

Вот это уравнение и будет математической моделью нашей задачи.

Прошу заметить, что в этой задаче нас не просят ничего складывать! Это мы сами, из головы, сообразили, что сумма южных и северных рыб даст нам общее количество. Вещь настолько очевидная, что проскакивает мимо внимания. Но без этой очевидности математическую модель не составить. Вот так.

Теперь уже можно применить всю мощь математики для решения этого уравнения). Именно для этого и составлялась математическая модель. Решаем это линейное уравнение и получаем ответ.

Составим математичесскую модель ещё одной задачки:

Спросили Петровича: «А много ли у тебя денег?» Заплакал Петрович и отвечает: «Да всего чуть-чуть. Если я потрачу половину всех денег, да половину остатка, то всего-то один мешок денег у меня и останется. » Сколько денег у Петровича?

Опять работаем по пунктам.

2. Ищем скрытую информацию. Это половинки. Чего? Не очень понятно. Ищем дальше. Есть ещё вопрос задачи: «Сколько денег у Петровича?» Обозначим количество денег буквой «х»:

И вновь читаем задачу. Уже зная, что у Петровича х денег. Вот тут уже и половинки сработают! Записываем:

Остаток будет тоже половина, т.е. 0,5·х. А половину от половины можно записать так:

Теперь вся скрытая информация выявлена и записана.

3. Ищем связь между записанными данными. Здесь можно просто читать страдания Петровича и записывать их математически):

Если я потрачу половину всех денег.

да половину остатка.

Отнимем ещё половину остатка:

то всего-то один мешок денег у меня и останется.

А вот и равенство нашлось! После всех вычитаний один мешок денег остаётся:

Вот она, математическая модель! Это опять линейное уравнение, решаем, получаем:

Задачки, конечно, элементарные. Это специально, чтобы уловить суть составления математической модели. В некоторых задачах может быть гораздо больше данных, в которых легко запутаться. Это часто бывает в т.н. компетентностных задачах. Как вытаскивать математическое содержание из кучи слов и чисел показано на примерах здесь.

В задачах на движение требуется держать в голове формулу-ключ: связь расстояния, скорости и времени. По ссылке можно посмотреть примеры составления модели и решения таких задач.

В задачах на работу надо чётко понимать формулу-ключ: связь времени, производительности труда и объёма работы. Там имеются свои фишки, с которыми можно ознакомиться по ссылке.

Для того, чтобы свободнее ориентироваться в построении математических моделей очень полезно порешать обратные задачи. Т.е. по заданной модели придумать условие задачи. Это, кстати, не так просто.) Тема может быть совершенно любой, фантазия ограничена только математикой. Вот примеры таких заданий:

Составить задачу по математической модели:

х + (х+10) + (х-30) + 20 = 120

Попробуйте придумать задачку, а потом можете найти в уроке Как решать задачи по математике исходную задачу для этой модели. И сравните, для интереса.)

Еще пример, посложнее:

Составить задачу по математической модели:

Исходная задача и её решение приведены в уроке Решение задач на движение. Кстати, по ссылке подробно написано, как эту математическую модель составить.

Составить задачу по математической модели:

1 = 5 · (х + 2х + 2х + 3х + 4х)

Эта задача и её решение расписаны в уроке Задачи на работу.

Ещё одно замечание. В классических школьных задачах (трубы заполняют бассейн, куда-то плывут катера и т.п.) все данные, как правило, подобраны очень тщательно. Там выполняются два правила:
— информации в задаче хватает для её решения,
— лишней информации в задаче не бывает.

В компетентностных и прочих жизненных задачах эти правила строго не соблюдаются. Нету подсказки. Но и такие задачи можно решать. Если, конечно, потренироваться на классических.)

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

Математическая модель. 5-й класс

Разделы: Математика

Класс: 5

Опыт работы учителем математики показывает, что решение текстовых задач неизменно вызывают затруднения у большинства учащихся. Это связано с тем, что неумение записать условие задачи в виде уравнений и неравенств, то есть “перевести” описанную в задаче жизненную ситуацию на математический язык, является основным затруднением, с которым сталкиваются старшеклассники при решении задач, обучение учащихся переводить словесное условие задачи на математический язык, установление соотношения между величинами является одним из самых важных этапов в решении любой задачи.

В учебнике “Математика – 5” авторов Н.Я. Виленкина и других составлению математических моделей посвящается очень мало заданий, а само понятие даже не рассматривается, поэтому в 7-ом классе при изучении темы “Математическая модель. Математический язык” и темы “Уравнения и системы уравнений как математические модели реальных ситуаций” возникает много затруднений. Поэтому уже в пятом классе после изучения тем “Упрощение выражений. Уравнения” всегда планирую несколько уроков по теме “Математическая модель”.

Данный урок является первым из трех уроков, предусмотренных программой по данной теме. Учащиеся знакомы с буквенными и числовыми выражениями, умеют решать уравнения и, в этот момент целесообразно рассмотреть элементы математического моделирования. На первом уроке учащиеся тренируются в построении моделей, методы, решения которых известны, на последующих уроках предполагается рассмотрение более сложных моделей, часть которых ребята решают, применяя имеющиеся знания, к другим задачам составляется только математическая модель.

Оценивание на уроке происходит при помощи жетонов, получаемых учащимися за каждый верный ответ.

На дом ребята получают задание составить задачу по математической модели, на повторение вычислительный пример и задание на упрощение выражения.

Урок в 5 классе по теме: “Математическая модель”

1) Сформировать представление о математических моделях реальнойдействительности. Научить строить математические модели текстовых задач.

2) Повторить и закрепить:

– упрощение выражения, используя свойства сложения и вычитания;

– совершенствовать вычислительные навыки

3)Способствовать развитию творческих способностей учащихся, умения анализировать, сравнивать.

4) Воспитывать внимание, аккуратность, ответственное отношение к труду.

Содержание темы: тема рассматривается в качестве углубления к теме: “ Числовые и буквенные выражения” учебника Н.Я. Виленкина.

Тип урока: Урок объяснения нового материала.

Оборудование: Проектор, экран

Организационные формы общения: индивидуальная, коллективная

Ход урока

I. Устный счет по карточкам.

II. Актуализация опорных знаний.

На прошлых уроках мы познакомились с числовыми и буквенными выражениями, упрощали выражения и решали уравнения.

– число, которое получается в результате сложения двух чисел называется…

– число, которое получается в результате вычитания двух чисел называется …

– что показывает разность, как найти неизвестное уменьшаемое и вычитаемое?

– какие свойства сложения и вычитания мы изучили?

– какие выражения называются числовыми и буквенными? Можно ли найти их значение?

III. Объяснение нового материала.

1. Давайте составим буквенное выражение к каждой задаче (учитель использует презентацию)

3 рядАвтомобиль проходит расстояние x км за 2 часа, а автобус – за 3 часа. На сколько скорость автобуса меньше скорости автомобиля?За х рублей можно купить 3 м ситца или 2 м полотна. На сколько рублей полотно дороже ситца?На сколько больше потребуется 2-литровых банок, чем 3-х литровых банок для того, чтобы разлить в них х литров компота.

Мы получили, что для решения всех задач мы составили одинаковые буквенные выражения. В трех непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель, перевели условие задачи на язык цифр и математических знаков. Для решения задачи мы всегда составляем математическую модель.

2. Найдите выражение, которое является правильным переводом условия задачи на математический язык (учащийся объясняет, почему именно это выражение выбрано):

1) “Из с метров шелка сшили 7 платьев. Сколько метров шелка потребуется на 12 таких платьев?”

2) В одном альбоме х марок наклеено на 10 страниц поровну. В другом альбоме наклеено у марок и на и на каждой странице на 4 марки меньше, чем в первом альбоме. Сколько страниц занято марками во втором альбоме?

1) (х:10 – 4) :у ; 2)х : 10 + у : 4; 3); 4).

3. Что обозначает следующая модель для задачи: Пусть х рублей – цена 1 кг меда для Вини-Пуха, а у рублей – цена 1 кг сгущенки для Пятачка.

1) 5;

3);

4) .

Для решения задачи составляем математическую модель, которая представляет собой буквенное выражение или уравнение. Повторим свойства, используемые при упрощении выражений и решении уравнений.

Упростим выражения, объясняя применяемые свойства (2 человека решают у доски):

1) ; 2) ;

; ;

; .

Решите уравнения (2 человека решают у доски):

1) ; 2) ;

; .

Решите задачу, составив математическую модель. В доме пятиклассника Васи К. жил прожорливый кот. За год ему скормили 30кг свежего мяса, колбасы – в 6 раз меньше, чем мяса, а “Вискаса” – в 5 раз меньше, чем мяса и колбасы вместе. Сколько всего мяса, колбасы и “Вискаса” скормили коту за год? (Первые трое решивших верно получают оценки)

VI. Домашнее задание.

Составьте задачу по математической модели:

1) ;

2) .

VII. Рефлексия.

Источник

Урок в 5 классе по теме: «Математическая модель» (ФГОС).

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выбранный для просмотра документ Индивидульное задание.docx

Выбранный для просмотра документ Лист обратной связи.docx

Лист обратной связи.

Ф. И. ______________________________________________

Лист обратной связи.

Ф. И. ______________________________________________

Лист обратной связи.

Ф. И. ______________________________________________

Лист обратной связи.

Ф. И. ______________________________________________

Лист обратной связи.

Ф. И. ______________________________________________

Выбранный для просмотра документ Структура урока.docx

Математика, 5 класс, учебник «Математика 5» авторы И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович

Тема: «Математическая модель».

Тип урока: открытие нового знания, освоение новых умений.

Предметные – приводить примеры математических моделей;

— формулировать понятие математической модели;

— узнавать математические модели;

— описывать математические модели;

— составлять математические модели.

Метапредметные – переводить текстовую информацию на математический язык, и наоборот (познавательные УУД);

высказывать и обосновывать мнение и запрашивать мнение партнера в рамках диалога (коммуникативные УУД);

формулировать учебные задачи как шаги достижения поставленной цели деятельности (регулятивные УУД).

Вы талантливые, дети! Когда–нибудь вы сами приятно поразитесь, какие вы умные, как много вы умеете, если будите постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться к их достижению.

Девочки и мальчики садитесь, пожалуйста.

Меня зовут Светлана Николаевна.

Я проведу урок математики.

Запишем дату и классная работа. Подготовим тетради для работы.

Какое нужно настроение, чтобы наш урок получился удачным?

Я желаю вам сохранить хорошее настроение на весь урок.

Предлагает решить ребус.

Где в реальной жизни вы встречались с моделями?

Ребята, а вы знаете, что такое модель?

Записывает варианты на доске.

Представьте ситуацию, что вам надо создать модель самолета. Какие действия вы будете совершать?

Подводит итог: Деятельность человека по созданию модели называется моделированием.

Что такое текстовая задача?

Какие действия вы будете совершать, если я предложу вам решить эту задачу?

Что вы будете использовать? Каким языком пользоваться?

Из чего состоит математический язык (что он содержит)?

Направляет учеников на формулировку нового понятия «математическая модель», на формулировку темы урока.

Итак, в процессе решения задачи от реальной ситуации мы переходим с вами к составлению чего? (проведите аналогию с самолетом).

На уроке математике, как вы думаете, о каких моделях пойдет речь?

Что же такое математическая модель?

Выслушивает варианты учеников.

Записывает варианты на доске.

Направляет к правильной формулировке.

Скажите, одну и ту же задачу вы все будете решать одинаково?

А какие существуют способы?

Математическая модель – это способ описания реальной жизненной ситуации с помощью математического языка.

Кто может назвать тему сегодняшнего урока?

Рассказывает о листе обратной связи, напоминает, как с ним работать.

Задает вопросы и записывает ответы учеников на доске:

Что нужно узнать по теме урока? Какие умения будем у себя формировать?

Записывают дату. Слушают.

Отвечают на вопросы.

(Да, модели машинок, самолетов, игрушки и т.д.)

Аналог реального объекта)

Отвечают на вопросы, участвуют в дискуссии, слушают.

(Строим, находим чертеж, выбираем материал, собираем, склеиваем и т.д.)

Отвечают на вопросы, участвуют в дискуссии, слушают.

(описание реальной ситуации из жизни)

(Читаю условие, составляю краткую запись в виде таблицы, схемы, чертежа и т.д., записываю решение в виде числового выражения, буквенного выражения, уравнения).

(цифры, латинские буквы, знаки действий, скобки, запятые, специальные символы)

Формулирует, что такое математическая модель (варианты учащихся).

Читают, воспринимают, запоминают, записывают.

Подписывают лист обратной связи, записывают тему урока.

Отвечают на вопросы и записывают умения в листе обратной связи.

(узнавать математические модели; составлять по словесному описанию математическую модель; описывать математическую модель).

Позитивный настрой на учебную деятельность.

Актуализация знаний (понятий: текстовая задача, математический язык).

Формулировка нового понятия (математическая модель).

Формулировка темы урока.

Названы и записаны умения, которые будут формироваться на уроке.

2.Планирование и организация деятельности (25 мин).

Демонстрирует презентацию и дает задания ученикам.

Найдите среди предложенных моделей математические модели?

На формирование какого умения направлено это задание?

Напоминает о фиксации в листе обратной связи.

Организует фронтальную работу со всем классом.

Какие выражения называются буквенными?

Объясняет правила работы в паре. Дает инструкцию.

Вызывает учеников к доске.

Вы согласны с решением на доске?

В чем ошибка? Почему?

На формирование какого умения направлено это задание?

Напоминает о фиксации в листе обратной связи.

Называет различные модели (математические и не математические).

Ребята, все готовы писать самостоятельную работу? У всех напротив умений стоят плюсы?

Организует индивидуальную работу (дифференцированные задания).

Раздает карточки успешным ученикам.

Организует проверку по образцу.

Проверяет задания на карточках.

Организует самостоятельную работу (первичный контроль).

Раздает карточки. Время 3 мин.

Отвечают на вопросы.

Оценивают свои достижения.

Обсуждают решение в паре.

Оценивают свои достижения.

Узнают математические модели.

Выполняют индивидуальные задания.

Проверяют свою работу.

Оценивают свои достижения.

Выполняют предложенные задания самостоятельно.

Формирование умений: узнавать математические модели; составлять по словесному описанию математическую модель; описывать математическую модель.

Организует самопроверку по образцу.

Напоминает о фиксации в листе обратной связи.

Поднимите руки, кто все задания выполнил правильно?

Поднимите руки, кто выполнил правильно одно задание из двух?

Подведем итог урока.

Какова была тема урока?

Что нового узнали на уроке?

Чему научились на уроке?

С какими трудностями столкнулись?

А что делать тем, у кого не все пока получилось?

Для тех, кто пока не поставил себе оценку за урок: № 275, № 276 (а – 1 выражение)

Для тех, кто поставил себе за урок «4»: или № 275 или № 276 (б).

Для тех, кто поставил себе «5»: составить карточку с заданиями для проверки отрабатываемых на уроке умений. Решение записать в тетрадь.

Спасибо вам за урок!

Сличают свои решения с образцом.

Отвечают на вопросы.

Оценивают свою деятельность.

Выбирают задание для домашней работы.

Записывают домашнее задание.

Осознание обучающимися своей учебной деятельности;

самооценка результатов своей деятельности.

Выбранный для просмотра документ модель.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

20 ноября. Классная работа.

Модель Оригинал моделирование

Из двух пунктов навстречу друг другу выехали два лыжника. Скорость одного лыжника12км/ч, что в 2 раза больше, чем скорость второго. Чему равно расстояние между пунктами, если они встретились через 3 часа?

Математическая модель – это способ описания реальной жизненной ситуации с помощью математического языка.

уравнение Числовое выражение формула таблица макет корабля модель самолёта карта города схема метро скелет Геометрические фигуры число Буквенное выражение

Составь математическую модель:

Всего на клумбе 24 цветка На клумбе a тюльпанов и b нарциссов. Тюльпанов в 2 раза больше, чем нарциссов Тюльпанов на 8 больше, чем нарциссов

Математическая модель – приседаем и поднимаем руки вверх Другая модель – приседаем и руки вперед

Составьте математическую модель: х литров компота можно разлить в 2-х литровые банки или в 3-х литровые. На сколько больше потребуется 2-х литровых банок, чем 3-х литровых? 2. Расшифруйте математическую модель: В вазе а апельсинов и b груш. a = b + 10

Самопроверка. Х : 2 – Х : 3 Апельсинов на 10 больше, чем груш. Или Груш на 10 меньше, чем апельсинов.

1 задание 1 вариант 2 вариант Собак в 18 раз Собак на 6 больше, больше, чем чем кошек кошек

2 задание 1 вариант 2 вариант Х : 2 – Х : 3

Выбранный для просмотра документ модель.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

20 ноября. Классная работа.

Модель Оригинал моделирование

Математическая модель – это способ описания реальной жизненной ситуации с помощью математического языка.

Всего на клумбе 24 цветка На клумбе a тюльпанов и b нарциссов. Тюльпанов в 2 раза больше, чем нарциссов Тюльпанов на 8 больше, чем нарциссов 1. a + b = 24 2. a = 2b 3. a = b + 8

Математическая модель – приседаем и поднимаем руки вверх Другая модель – приседаем и руки вперед

Самопроверка. Х : 2 – Х : 3 Апельсинов на 10 больше, чем груш. Или Груш на 10 меньше, чем апельсинов.

2 задание 1 вариант 2 вариант Х : 2 – Х : 3

Выбранный для просмотра документ самостоятельная работа.docx