Что значит последовательные числа

Числовые последовательности для чайников: определение, формулы

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной.

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность?

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Какие бывают последовательности

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Источник

Что такое последовательные числа?

Что такое последовательные числа?

Последовательные числа это которые идут после предыдущей например : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.

Числа 90, 75, 60 являются первыми тремя числами некоторой последовательности?

Числа 90, 75, 60 являются первыми тремя числами некоторой последовательности.

По какому правилу может быть составлена эта последовательность?

Используя это правило, вычисли четвертое число этой последовательности.

Последовательность чисел составлена по такому правилу : начинается последовательность с числа 2, а каждое следующее число на 3 больше предыдущего, запиши первые четыре числа этой последовательности?

Последовательность чисел составлена по такому правилу : начинается последовательность с числа 2, а каждое следующее число на 3 больше предыдущего, запиши первые четыре числа этой последовательности.

Между какими последовательными натуральными числами заключено число?

Между какими последовательными натуральными числами заключено число.

Сумма трёх последовательных нечётных чисел равна 369?

Сумма трёх последовательных нечётных чисел равна 369.

Сумма пяти последовательных целых чисел равно 0?

Сумма пяти последовательных целых чисел равно 0.

Четыре последовательных целых числа дают в произведении 1680?

Четыре последовательных целых числа дают в произведении 1680.

Какие это могут быть числа?

В числе 37698 все цифры разные?

В числе 37698 все цифры разные.

Какое число, ближайшее к этому числу, обладает таким же свойством?

Три последовательных числа натурального ряда это?

Три последовательных числа натурального ряда это.

В числе 37698 все цифры разные?

В числе 37698 все цифры разные.

Какое число, ближайшее к этому числу, обладает таким же свойством?

В числе 37698 все цифры разные?

В числе 37698 все цифры разные.

Какое число, ближайшее к этому числу, обладает таким же свойствами.

Объём ящика 1м ^ 3 Объём одной коробки = 25 * 20 * 4 см ^ 3 = 2000 cм ^ 3 = 0, 002 м ^ 3 1 / 0, 002 = 500 Ответ : влезет 500 коробок.

25 / 100 = 1 / 4 / это деление это как бы легко)).

Применены : формула сложения, формула преобразования суммы в произведение, табличное значение косинуса.

Источник

Определение числовой последовательности

Определение

Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Другими словами числовая последовательность – это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Примеры последовательностей

Примеры неограниченно возрастающих последовательностей

Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу

Примеры расходящихся последовательностей

Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)

Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок [0;1]. Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем

.
И так далее.

Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.

Последовательность, содержащая все рациональные числа

Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.

Рациональное число r можно представить в следующем виде:
,
где – целое; – натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n поставить в соответствие пару чисел p и q так, чтобы любая пара p и q входила в нашу последовательность.

Способ нумерации рациональных чисел

Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
И так далее.

Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.

Заключение

Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности. Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

Источник

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

Итак, мы выяснили с вами Кто такой Фибоначчи, а теперь давайте рассмотрим вот такой феномен.

Оказывается Фибоначчи повсюду!

На самом деле эти числа были известны задолго до Фибоначчи ещё в древней Индии, где они использовались в метрическом стихосложении.

Леонардо Фибоначчи первым ввёл эту числовую последовательность в западноевропейской математической науке в своей важной книге «Liber Abaci» («Книга абака») в 1202 году. Он использовал эту последовательность чисел, когда пытался объяснить рост популяции кроликов.

Фибоначчи рассматривает гипотетическую ситуацию, когда в поле появляется пара кроликов. Они спариваются в конце месяца и в конце второго месяца самка производит еще одну пару. Кролики никогда не умирают, спариваются ровно через месяц, и самки всегда производят пару (один самец, одна самка). Вопрос, который поставил Фибоначчи был следующим: сколько пар будет через один год? Если посчитать, то окажется, что количество пар в конце N-го месяца равно Fn или N-му числу Фибоначчи. Таким образом, количество пар кроликов через 12 месяцев будет F12 или 144.

Числа Фибоначчи и золотое сечение

Как известно, последовательность Фибоначчи начинается с 1 и 1, после чего каждое новое число является результатом сложения двух предыдущих чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Если разделить два последовательных числа в этом ряду, например 144/89, в конечном итоге получится число 1,618, которое называется «Золотое число» или «Золотое сечение».

Последовательное приближение соотношения двух соседних чисел ряда Фибоначчи к Золотому сечению.

Пропорция золотого сечения считается эстетически приятной и из-за этого многие художники и архитекторы, в том числе Сальвадор Дали и Ле Корбюзье использовали её в своих работах.
Последовательность Фибоначчи и Золотое сечение тесно взаимосвязаны. Отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится и приближается к золотому сечению, а выражение замкнутой формулы для последовательности Фибоначчи включает Золотое сечение.

Золотой прямоугольник (розовый) с длинной стороной a и короткой стороной b, и находящийся рядом с ним квадрат со стороной длиной a, создадут подобный золотой прямоугольник с длинной стороной а + b и короткой стороной a. Это изобажение иллюстрирует взаимосвязь отношений (a+b)/a = a/b.

Спираль Фибоначчи или золотая спираль — это последовательность соединенных четвертей окружностей, вписанных внутри массивов квадратов со сторонами равными числам Фибоначчи. Квадраты идеально подходят друг к другу из-за природы последовательности Фибоначчи, в которой следующее число равно сумме двух перед ним (см.предыдущий рисунок). Любые два последовательных числа Фибоначчи имеют отношение, очень близкое к золотому сечению, которое составляет примерно 1.618034. Чем больше пара чисел Фибоначчи, тем ближе это приближение. Спираль и результирующий прямоугольник называются золотым прямоугольником.

Почему эта последовательность настолько уникальна
Числа Фибоначчи описывают различные явления в искусстве, музыке и природе. Числа спиралей на большинстве шишек и ананасах равны числам Фибоначчи. Расположение листьев и ветвей на стеблях многих растений соответствуют числам Фибоначчи. На пианино количество белых (8) клавиш и черных (5) клавиш в каждой октаве (13) являются числами Фибоначчи. Длины и ширины много прямоугольных предметов, таких как учетные карточки, окна, игральные карты и пр. соответствуют последовательным числам ряда Фибоначчи.

Числа Фибоначчи в природе

Подсолнухи являются отличными примерами последовательности Фибоначчи, потому что семена в центре цветка организованы в два набора спиралей — короткие, идущие по часовой стрелке от центра, и более длинные — против часовой стрелки. Если считать спирали последовательно, то, видимо, всегда найдутся числа Фибоначчи.

Вот еще несколько примеров, где вы можете найти спираль Фибоначчи в природе.

Неудивительно, что спиральные галактики также следуют знакомой схеме Фибоначчи. Млечный Путь имеет несколько спиральных рукавов, каждый из которых представляет логарифмическую спираль около 12 градусов.

Числа Фибоначчи в теле человека

Есть много примеров соотношений частей тела человека на основе последовательности Фибоначчи, например рука и, в частности, кости пальца.

Каждая кость указательного пальца, от кончика до основания запястья, больше предыдущей примерно на коэффициент Фибоначчи 1,618, что соответствует числам Фибоначчи 2, 3, 5 и 8.

Числа Фибоначчи в биржевой торговле

Последовательность Фибоначчи является инструментом технического анализа, используемым профессиональными трейдерами в сочетании с другими инструментами для расчета прогноза потенциального конца коррекции, принимая процент от предыдущего движения.

Считается, что во время мощного рыночного движения, цены могут откатываться на 23,6% (это соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+3), 38,2% (соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+2) или 50% (половина). Эти уровни коррекции Фибоначчи считаются «нормальными». Если же цена падает на 61,2% (отношение двух соседних чисел ряда Фибоначчи — позиции N и N+1) и более, то это серьезный сигнал вероятного разворота тренда.

Числа Фибоначчи в фотографии и искусстве

В фотографии сетка фи (phi) является интерполяцией спирали Фибоначчи и в наши дни считается фундаментальным методом для создания приятной композиции в кадре. Цель состоит в том, чтобы выровнять объект по линиям, созданным спиралью, или использовать её в качестве разделителя для создания правильного ощущения кадра.

Сетка фи (красные линии) и спираль Фиббоначи в кадре.

Имеется много примеров, когда последовательность Фибоначчи появляется вокруг нас, и мы не обращаем внимания на это математическое чудо, которое кажется таинственным фактором, приносящим универсальную форму гармонии элементам математического музыкального искусства природы.

Может именно из-за этого Дональд Трамп был избран президентом? (шутка):

И еще немного фундаментального числа!

Источник

Числовая последовательность

Определение 1. Числовой последовательностью называется функция, аргументом которой является множество всех натуральных чисел, или множество первых n натуральных чисел.

Обозначается числовая последовательность так:

где −i-ый член последовательности.

При словестном задании последовательности, описывается из каких элементов она состоит.

Последовательность нечетных чисел:

Последовательность простых чисел :

Последовательности (1) и (2) мы задали словестно.

Последовательность нечетных чисел аналитически задается формулой

Отметим, что последовательность простых чисел невозможно задать аналитически.

Пример задания рекуррентной последовательности:

В этой последовательности

Пример стационарной последовательности:

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение 3. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) больше предыдующего, называется возрастающей :

Определение 4. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) меньше предыдующего, называется убывающей :

Пример 1. Выяснить, монотонна ли последовательность

Решение. Запишем n+1 член последовательности (подставим вместо n, n+1):

Найдем разность членов и :

.

(3)

Так как n=1,2,3. то правая часть уравнения (3) положительна. Тогда:

Таким образом, каждый последующий член последовательности больше предыдующего. Следовательно последовательность является возрастающим (и монотонным).

Пример 2. Выяснить, при каких значениях a последовательность (b_n) является возрастающей и при каких, убывающей:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов и :

(4)

Посмотрим на правую часть выражения (4). Если a 10, то . Тогда последовательность является убывающей. При a=10 . Последовательность имеет одинаковые члены:

т.е. имеем дело с последовательностью

Очевидно, что последовательность (5) не является монотонной. Она является стационарной последовательностью.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 5. Последовательность (y_n) называется ограниченной сверху, если существует такое число k, что y_n Определение 6. Последовательность (y_n) называется ограниченной снизу, если существует такое число k, что y_n>k при любом n.

Определение 7. Последовательность (y_n) называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Пример 3. Показать, что последовательность (a_n) является монотоннной и ограниченной:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов и :

(6)

Правая часть равенства (6) положительна при любых натуральных чисел n. Следовательно последовательно (a_n) возрастающая (и монотонная).

Далее, сделаем эквивалентное преобразование для проследовательности (5):

Из выражения (7) видно, что при любых n a_n≤1. Т.е. хотя последовательность возрастает, то остается меньше числа 1 (ограничена сверху). Запишем несколько членов данной последовательности, задав n=1,2,3.

Так как последовательность возрастающая, то все члены последовательности не меньше . Тогда последовательность ограничена также и снизу. Таким образом последовательность ограничена и всерху, и снизу, т.е. является ограниченной последовательностью.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности:

На координатной прямой изобразим члены этих последовательностей:

Предел числовой последовательности

Точка, к которой приближаются члены последовательности при увеличении n, называется пределом последовательности. Для последовательности (10) пределом является число 0. Более строго предел последовательности определяется так:

Определение 8. Число k называют пределом последовательности (y_n), если для любой заранее выбранной окресности точки k, можно выбрать такой номер n₀, чтобы все члены последовательности, начиная с номера n₀ содержались в указанной окрестности.

Если k является пределом последовательности (y_n), то пишут ( стремится к k или сходится к k).

Обозначают это так:

Выраженние (11) читается так: предел проследовательности , при стремлении n к бесконечности равен k.

Изложим некоторые пояснения к определению 8.

Пусть выполнено (11). Возьмем окрестность точки k, т.е. интервал , где радиус этой окрестности ( >0). По определению, существует номер n₀, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окресности, т.е.

.

Если же взять другую окресность (пусть ), то найдется другой номер n₁, начиная с которого, вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше n₁ > n₀.

Пример 4. Дана полследовательность (y_n):

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 0. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n₀ так, чтобы .

Пусть, например, r=0.001. Вычислим n‘ из уравнения

.

В качестве n₀ берем 501. Имеем:

.

Запишем члены последовательности (12) начиная с номера 501:

.

Далее, учитывая (13), имеем:

.

Следовательно, все члены последовательности (12) начиная с номера 501 попадают в окресность . А по определению 8, это означает:

Пример 5. Дана полследовательность (y_n):

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 2. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n₀ так, чтобы

.

.

Неравенство в (17) всегда выполняется так как n₀ натуральное число, а правая часть неравенства отрицательно (это означает, что для любого n₀). Из неравенства (16) можно найти номер n₀, начиная с которого члены последовательности попадают в окресность (2−r; 2+r). Например, пусть r=0.001, тогда . Тогда нужно брать n₀=2000. И тогда все члены последовательности, начиная с номера 2000 попадают в окрестность (2−r; 2+r).

Запишем члены последовательности, начиная с номера 2000:

.

Легко проверить, что . Тогда, учитывая, что данная последовательность возрастающая (см. пример 1), получим:

.

Пример 6. Найти предел последовательности

Решение. Выполним некоторые преобразования выражения (18):

Тогда последовательность (18) можно переписать так:

(19)

Как видно из (19), пройдя по членам последовательности слева направо, из числа 1 вычитается все меньшее и меньшее положительное число. Т.е. последовательность приближается к числу 1. Тогда 1 является пределом последовательности (19) и (18):

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:.

Теорема. Если , то

1. Предел суммы равен сумме пределов:

2. Предел произведения равен произведению пределов:

3. Предел частного равен частному пределов:

4. Постоянный множитель можно вывести за знак предела:

Пример 7. Найти предел последовательности:

Решение. Так как , то

.

Пример 8. Найти предел последовательности:

Решение. Применив правило «предел суммы» теоремы, получим

.

Пример 9. Вычислить:

Решение. Делим числитель и знаменатель дроби на наивысшую из имеющихся степень переменного n. Далее используем правило «предел суммы» для числителя и знаменателя и правило «предел частного»:

Источник