Что значит подобны в геометрии

Подобие фигур

Подобие — это понятие, характеризующее наличие одинаковой, не зависящей от размеров, формы у геометрических фигур.

Подобные фигуры — это фигуры, для которых существует взаимно-однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми парами их соответствующих точек изменяется в одно и то же число раз.

Например, то, что фигуры F1 м F2 подобны означает, что для любых двух точек M1 и N1 фигуры F1 и сопоставленных им точек M2 и N2 фигуры F2 выполняется соответствие

где k — одно и тоже число для всех точек (k>0).

Число k называется коэффициентом подобия.

Преобразование фигуры F1 в фигуру F2, при котором расстояния между точками изменяется в одно и то же число раз, называется преобразованием подобия.

При k=1 преобразование подобия является движением.

Свойства преобразования подобия

1) Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые — в полупрямые,отрезки — в отрезки.

2) Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Свойства подобных фигур

1) Если фигура F1 подобна фигуре F2, а фигура F2 — фигуре F3, то фигуры F1 и F3 подобны.

2) У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Подобие фигур в геометрии чаще всего связано с подобием треугольников.

Источник

Знак подобия в геометрии — правило и примеры обозначения

Определение и знак подобия в геометрии

Подобными называются фигуры, если одна из них представляет уменьшенную копию другой.

На нижеприведенном рисунке подобные фигуры: круги, параллелограммы, пятиугольники и ромбы.

Для обозначения термина «подобие» в геометрии используют знак «тильда», который является типографским символом и обозначается волнистой чертой:

∆A 1 B 1 C 1
— треугольники ABC и A1B1C1
подобны.

Знак «двойная тильда» ставится около чисел для демонстрации примерности или приблизительности чего-либо:

1,35 ≈ 1,4 — числа 1,35 и 1,4 приблизительно равны.

Коэффициент подобия треугольников и знак подобия

Часто сверху знака подобия выставляют коэффициент подобия треугольников:

В математических задачах и уравнениях «тильду» используют для маркирования разных типов подобия. Часто применяется для обозначения подобия, эквивалентности.

В алгебре высказываний знаком

обозначают логическую операцию «эквиваленция».

При сочетании тильды и знака равенства получают обозначение отношения конгруэнтности, определения в геометрии, применяемого в контексте обозначения равенства различных фигур и тел (углов, отрезков):

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Острые углы: наличие равного острого угла в прямоугольных треугольниках делает их подобными.

Два катета: общая пропорциональность катетам одного прямоугольного треугольника к катетам второго делает их подобными.

Катет и гипотенуза: пропорциональность катета и гипотенузы одного прямоугольного треугольника к катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника делает их подобными.

треугольник ∆ABC и треугольник ∆A1B1C1 считаются подобными при равнозначности углов и пропорциональности сторон;

отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство подобия треугольников через среднюю линию

Имеется треугольник ∆ABC, mn — средняя линия. M лежит на AB, N лежит на BC.

Требуется доказательство подобия треугольников ∆MBN и ∆ABC.

Посмотрев на ∆MBN и ∆ABC, видим, что угол В — общий, а отношение:

Отсюда делаем вывод, что ∆MBN

∆ABC по II признаку подобия треугольников, что и требовалось доказать.

Примеры решения задач по геометрии на тему «Подобие треугольников»

Источник

Знак подобия в геометрии — правило и примеры обозначения

В учебниках по геометрии часто встречаются задачи на подобие фигур. Какой знак используется для обозначения подобия фигур? Какие фигуры называются подобными? Поговорим обо всем этом в нашей статье.

Определение и знак подобия в геометрии

Подобными называются фигуры, если одна из них представляет уменьшенную копию другой.

На нижеприведенном рисунке подобные фигуры: круги, параллелограммы, пятиугольники и ромбы.

Для обозначения термина «подобие» в геометрии используют знак «тильда», который является типографским символом и обозначается волнистой чертой:

∆A 1 B 1 C 1
— треугольники ABC и A1B1C1
подобны.

Знак «двойная тильда» ставится около чисел для демонстрации примерности или приблизительности чего-либо:

1,35 ≈ 1,4 — числа 1,35 и 1,4 приблизительно равны.

Коэффициент подобия треугольников и знак подобия

Часто сверху знака подобия выставляют коэффициент подобия треугольников:

В математических задачах и уравнениях «тильду» используют для маркирования разных типов подобия. Часто применяется для обозначения подобия, эквивалентности.

В алгебре высказываний знаком

обозначают логическую операцию «эквиваленция».

При сочетании тильды и знака равенства получают обозначение отношения конгруэнтности, определения в геометрии, применяемого в контексте обозначения равенства различных фигур и тел (углов, отрезков):

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Острые углы: наличие равного острого угла в прямоугольных треугольниках делает их подобными.

Два катета: общая пропорциональность катетам одного прямоугольного треугольника к катетам второго делает их подобными.

Катет и гипотенуза: пропорциональность катета и гипотенузы одного прямоугольного треугольника к катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника делает их подобными.

треугольник ∆ABC и треугольник ∆A1B1C1 считаются подобными при равнозначности углов и пропорциональности сторон;

отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство подобия треугольников через среднюю линию

Имеется треугольник ∆ABC, mn — средняя линия. M лежит на AB, N лежит на BC.

Требуется доказательство подобия треугольников ∆MBN и ∆ABC.

Посмотрев на ∆MBN и ∆ABC, видим, что угол В — общий, а отношение:

Отсюда делаем вывод, что ∆MBN

∆ABC по II признаку подобия треугольников, что и требовалось доказать.

Примеры решения задач по геометрии на тему «Подобие треугольников»

Источник

Подобие треугольников (ЕГЭ — 2022)

Что такое равные треугольники, понятно более или менее всем: их можно правильно наложить – и они совпадут.

А вот что такое подобные треугольники? Вроде как «похожие», но как это понимать? И для чего это понимать?

Ну например для решения задание ЕГЭ №16, где подобие треугольников используется для доказательств. Кстати, полностью 16-ю задачу решают менее 1% выпускников!

Читай эту статью, смотри вебинар по 16 задаче и все поймешь!

Подобие треугольников — коротко о главном

Подобные треугольники – это треугольники, у которых все углы равны и все стороны строго пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия \( \displaystyle k\).

\( \angle A = \angle ,\angle B = \angle ,\angle C = \angle \)

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \( \displaystyle \frac<<

_>><<

_<<_<1>><_<1>><_<1>>>>>=k\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \displaystyle \frac<<_>><<_<<_<1>><_<1>><_<1>>>>>=<^<2>>\).

Признаки подобия треугольников:

По двум углам:

По одному углу и отношению заключающих его сторон:

По отношению трех сторон:

Подобные треугольники — подробнее

Мы разобрали подробно все, что касается треугольников в общем. Кроме того мы рассмотрели отдельные темы:

Но что такое подобные треугольники?

Вот, например, такой и такой:

Похожи эти треугольники? Ты скажешь, конечно же нет!

А вот такой и такой?

Посмотри внимательно, тоже похожи.

А теперь строго математически!

Треугольники называются подобными, если у них все углы равны и все стороны пропорциональны.

То есть все углы равны и все стороны одного треугольника в \( \displaystyle 5\), или, в \( \displaystyle 7\), или в \( \displaystyle 8,21\) (или и т.д.) больше сторон другого треугольника.

Записываются слова «треугольник \( \displaystyle ABC\) подобен треугольнику \( \displaystyle <_<1>><_<1>><_<1>>\)» с помощью такого значка:

То число раз, в которое отличаются стороны подобных треугольников, называются коэффициентом подобия, обозначается обычно с помощью буквы \( \displaystyle k\).

\(\angle A = \angle ,\angle B = \angle ,\angle C = \angle \)

Можно было бы все так и оставить, но, как и в случае с равенством треугольников, ленивым математикам стало слишком неохота проверять равенство ВСЕХ трех углов, и пропорциональность ВСЕХ трех сторон.

Признак подобия треугольников «по двум углам»

Помнишь еще, что «\( \displaystyle \sim<\ >\)» обозначает слова «подобен»?

Осознай удобство! Вместо того, чтобы проверять 6 утверждений – 3 равных угла и 3 пропорциональных стороны – ДОСТАТОЧНО РАВЕНСТВА ВСЕГО ДВУХ УГЛОВ! И это вообще-то самых удобный и часто используемый признак.

Но есть и еще два. Смотри.

Признак подобия треугольников «две пропорциональные стороны и угол между ними»

Признак подобия треугольников «три пропорциональные стороны»

Самый главный «секрет» подобия треугольников

Признаки нам рассказали о том, как обнаружить подобные треугольники, а теперь, как же воспользоваться найденным?

Ну вот, что же хорошего? А то, что тогда…

Все элементы одного треугольника ровно в \( \displaystyle 2\) (или сколько у тебя выйдет раз) больше, чем элементы другого треугольника.

Не только стороны, но и высоты, биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружности и т.д.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников для расчетных задач (не только для доказательств).

Источник

В учебниках по геометрии часто встречаются задачи на подобие фигур. Какой знак используется для обозначения подобия фигур? Какие фигуры называются подобными? Поговорим обо всем этом в нашей статье.

Определение и знак подобия в геометрии

На нижеприведенном рисунке подобные фигуры: круги, параллелограммы, пятиугольники и ромбы.

Для обозначения термина «подобие» в геометрии используют знак «тильда», который является типографским символом и обозначается волнистой чертой:

Знак «двойная тильда» ставится около чисел для демонстрации примерности или приблизительности чего-либо:

1,35 ≈ 1,4 — числа 1,35 и 1,4 приблизительно равны.