Что значит поделить без остатка
деление без остатка
Деление без остатка. Сколько способов есть разделить число без отставка. Признаки strong. И деление без остатка на калькуляторе.
Делим без остатка
Признаки деления числа без остатка.
Если пример не очень сложный, то можно определить, делится ли число без остатка или нет! Зная признаки делимости чисел.
Чтобы попытаться разобраться. давайте разберем несколько примеров. делится ли данное число на второе число без остатка.
Делится ли число 126 на 2 без остатка?
Если вы знаете признак делимости на 2, то вы точно можете заявить, что число 126 делится на 2 без остатка.
И далее нам остается разделить 126 на 2, либо на калькуляторе, либо столбиком
Делится ли число 126 на 3 без остатка?
Далее мы можем проверить, делится ли число 126 на 3 без остатка. поступаем аналогично, что и в выше описанном примере!
И из этого мы узнаем, что наше число 126 длится и на 3 без остатка.
Делится ли число 126 на 4 без остатка?
Если мы проверим, делится ли число на 4 без остатка, по выше приведенному алгоритму, то мы получим, что данное число не делится без остатка :
А если числа большие!?
Как определить, что они делятся без остатка.
Определить делится ли число без остатка(любое число)
Для этого есть самый простой и эффективный метод, с помощью которого можно за пару секунд узнать делится ли данное число без остатка или делится с остатком!?
Нам опять нужен пример. я думаю, что вы точно не знаете, делится ли эти числа без остатка! Ну, и я не знаю.
Поэтому открываем калькулятор и делим данные числа
И получаем результат :
Из которого мы можем извлечь вывод, что два числа 6461889 и 987 делятся без остатка.
Деление с остатком. Формула деления с остатком и проверка.
Деление с остатком.
Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.
Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?
Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:
Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.
a=b⋅c+d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.
Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.
Остаток от деления
Остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.
Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.
Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.
Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.
Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8
Решение:
а) Делим столбиком: 
258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6 Category: 5 класс, Натуральные числа Leave a comment
Деление целых чисел с остатком: правила, примеры
Статья разбирает понятие деления целых чисел с остатком. Докажем теорему о делимости целых чисел с остатком и просмотрим связи между делимыми и делителями, неполными частными и остатками. Рассмотрим правила, когда производится деление целых чисел с остатками, рассмотрев подробно на примерах. В конце решения выполним проверку.
Общее представление о делении целых чисел с остатками
Деление целых чисел с остатком рассматривается как обобщенное деление с остатком натуральных чисел. Это выполняется потому, что натуральные числа – это составная часть целых.
Остаток при делении чисел a на b возможен нулевой, тогда говорят, что a делится на b нацело, то есть без остатка. Деление без остатка считается частным случаем деления.
Если делим ноль на некоторое число, получаем в результате ноль. Остаток деления также будет равен нулю. Это можно проследить из теории о делении нуля на целое число.
Теперь рассмотрим смысл деления целых чисел с остатком.
Известно, что целые положительные числа – натуральные, тогда при делении с остатком получится такой же смысл, как и при делении натуральных чисел с остатком.
Деление любого числа а на целое не имеет смысла, но возможно как вариант.
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Доказательство единственности
Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком
Деление с остатком целых положительных чисел, примеры
Все целые положительные числа являются натуральными. Отсюда следует, что деление выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Скорость выполнения деления с остатком натуральных чисел важна, так как на нем основано не только деление положительных, но и правила деления целых произвольных.
Самый удобный метод деления – это столбик, так как проще и быстрее получить неполное или просто частное с остатком. Рассмотрим решение более подробно.
Данное деление необходимо выполнять столбиком:
Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры
Чтобы выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, необходимо сформулировать правило.
Отсюда имеем, что неполное частное от деления целого полодительного числа на целое отрицательное число считают целым неположительным числом.
Рассмотрим на примере алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.
Ответ: 17 : ( − 5 ) = − 3 (ост. 2 ).
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры
Формулировка правила деления с остатком выглядит следующим образом.
Исходя из правила можно сделать вывод, что при делении получим целое неотрицательное число. Для точности решения применяют алгоритм деления а на b с остатком:
Рассмотрим на примере решения, где применяется данный алгоритм.
Ответ: ( − 17 ) : 5 = − 4 (ост. 3 ).
Необходимо произвести деление столбиком и по мудулю.
Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры
Необходимо сформулировать правило деления с остатком целых отрицательных чисел.
Отсюда следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел будет число положительное.
Сформулируем данное правило в виде алгоритма:
Данный алгоритм рассмотрим на примере.
Ответ: ( − 17 ) : ( − 5 ) = 4 (ост. 3 ).
Проверка результата деления целых чисел с остатком
Рассмотрим на примерах.
Выполнить проверку деления ( − 17 ) : 5 = − 3 (ост. − 2 ). Верно ли равенство?
Имеем, что второе условие выполненное, но недостаточное для данного случая.
Ответ: нет.
Отсюда следует вывод, что деление произведено с ошибкой.
Деление натуральных чисел
Подобно тому, как вычитание является обратным действием для сложения, так и для умножения существует свое обратное арифметическое действие.
Рассмотрим задачу. В школьной столовой раздали 90 яблок по 3 яблока каждому ученику класса. Сколько учеников учатся в этом классе?
Если бы нам было известно количество учеников в классе и количество яблок, которое получил каждый из них, то общее число яблок мы узнали бы, умножив число учеников на число яблок, доставшееся каждому. То есть, количество учеников – это первый сомножитель, количество яблок – второй сомножитель, а сколько яблок раздали – это произведение.
Деление – это арифметическое действие, которое состоит в нахождении одного из сомножителей при помощи данного произведения и второго сомножителя.
Делимое – это число, которое мы делим на другое. Это то самое произведение, которое нам дано.
Делитель – это число, на которое мы делим делимое. Это данный нам один из множителей.
Частное – это результат действия деление, то есть, искомый нами второй сомножитель.
На записи действие деление обозначается: двоеточием ( \(\textcolor
Так, решение нашей задачи можно записать следующими способами:
При записи от руки действие деление принято записывать в виде двоеточия, обелюс применяется в печатной литературе, косая черта, которая по-другому называется слеш, – при записи на компьютере, а горизонтальная черта используется при записи деления в виде обыкновенной дроби.
Итак, разделить число a на число b – это значит найти такое число c, которое при умножении его на число b дает в результате числа a.
То есть: \(\textcolor
Компоненты действия деление:
Деление с остатком и неполное частное
К примеру, если мы захотим раздать все 37 яблок поровну между пятью детьми, то у нас это сделать не получится. Мы сможем раздать (использовать из всего количества яблок) только по 7 яблок каждому ( \(\textcolor
Итак, деление с остатком – это нахождение такого наибольшего целого числа, умножив которое на делитель, мы получим число, максимально близкое к делимому, но не превосходящее его. Это искомое число называется неполное частное. Разница между делимым и неполным частным называется остаток.
Остаток всегда меньше делителя!
Связь деления с умножением, сложением и вычитанием
Когда мы выполняем находим произведение двух чисел, эти числа нам известны, а от нас требуется найти результат действия умножение. При делении (без остатка) нам известно произведение двух чисел, а найти нужно такое число, которое при умножении на известное данное число дает это самое произведение.
Следовательно, действие деление является обратным действию умножения.
Справедливо также и обратное, что действие умножение обратно действию деления. Таким образом:
Умножение и деление – это взаимно обратные действия.
Связь деления с умножением, а также со сложением и вычитанием прекрасно видна, если рассмотреть, как с помощью этих действий можно выполнить действие деление.
Деление двух чисел при помощи сложения
Деление двух чисел при помощи вычитания
То есть, 69 от 345 можно отнять 5 раз, поэтому \(\textcolor
Деление двух чисел при помощи умножения
При помощи умножения узнать ответ на наш вопрос можно перебирая множитель числа 69 до тех пор, пока не получим заданное нам 345 :
Но эти три способа очень громоздки, особенно если частное представляет собой очень большое число. Их нужно знать только для того, чтобы понимать суть действия деления, суть тех задач, которые решаются посредством него.
Общий принцип деления в столбик
Если частное от деления двух чисел является многозначным числом, нахождение его происходит путем деления в столбик. Еще его называют деление уголком.
Прежде всего, нужно узнать количество цифр в частном и первое неполное делимое; как их находить, я подробно расписал в этой статье. В нашем случае первое неполное делимое равно 295 тысяч, а в частном будет 4 цифры.
Далее записываем известные компоненты деления следующим образом:
и начинаем вычисление:
1. Берем первое неполное делимое и пытаемся его разделить на делитель.
Вот тут нам и пригодится способ нахождения однозначного частного. Воспользовавшись им, находим, что в 295 тысячах делитель 34 содержится целиком 8 тысяч раз.
Записываем в частное первую найденную цифру разряда тысяч, а под неполным делимым пишем результат произведения неполного частного и делителя. И сразу же находим остаток от этого действия, т.е. вычитаем из неполного частного результат этого произведения.
В результате умножения первой найденной цифры частного на делитель у нас получилось \(\textcolor
В качестве еще одного действия самопроверки нужно сравнить полученную разницу с делителем. Если она меньше делителя, то мы на правильном пути, если же разница равна или больше делителя, то мы или неправильно нашли цифру частного, или допустили ошибку при умножении на делитель либо при нахождении остатка.
2. Оставшиеся неразделенные 23 тысячи представляют собой 230 сотен. Прибавляем к ним те 3 сотни, которые содержатся в делимом (говорят: сносим пять) и получаем второе неполное делимое 233 сотни.
3. 29 неразделенных сотен – это 290 десятков. Добавляем (сносим) к ним 8 десятков делимого, получаем третье неполное делимое 298 десятков.
4. И наконец, 26 десятков – это 260 простых единиц. Добавляем (сносим) к ним 3 единицы делимого и получаем четвертое неполное делимое 263 единицы.
Рассмотрим еще один пример. \(\textcolor
1 сотня = 10 десятков, добавляем (сносим) 2 десятка из делимого, получаем второе неполное делимое 12 десятков.
Итак, запомните, что каждое неполное делимое образует в частном одну цифру соответствующего разряда и что даже если неполное делимое меньше делителя, то в частном все равно нужно записать нулевой результат этого действия.
Итак, в общем виде алгоритм деления в столбик выглядит так:
1. Находим первое неполное делимое и количество цифр в частном.
2. Делим неполное делимое на делитель. Цифру, полученную в результате деления записываем ниже черты под делителем.
3. Умножаем полученную цифру на делитель, результат записываем под неполным делимым.
4. Ставим между ними знак минус и выполняем действие.
5. К полученной разнице сносим цифру следующего разряда (если она есть) и получаем второе неполное делимое.
6. Выполняем пункты 2-5 до тех пор, пока в делимом не останется ни одной неснесенной цифры.
7. Если неполное делимое невозможно разделить на делитель, то в частном ставится 0 и к этому неполному делимому сносится следующая цифра.
Деление на числа, заканчивающиеся нулями
Как и в случае с умножением, деление чисел облегчается, если делитель заканчивается одним или несколькими нулями. Рассмотрим два возможных случая:
Рассмотрим первый случай.
Деление на единицу с любым количеством нулей
Единица с любым количеством нулей – это не что иное как единица соответствующего разряда. Например, 10 – это 1 единица разряда десятков, 1000 – это одна единица разряда тысяч, 10000000 – 1 единица разряда десятков миллионов и т.д.
Запишите:
Чтобы разделить какое-нибудь число на единицу с любым количеством нулей, нужно отсчитать в делимом справа столько цифр, сколько нулей содержится в делителе; тогда все цифры, находящиеся слева от разделения, составят частное, а те, что справа – будут остатком.
Деление на число, оканчивающееся нулями
Рассмотрим на примере \(\textcolor
Делитель здесь не что иное как 28 сотен. Логично предположить, что эти 28 сотен могут хотя бы один раз содержаться только в сотнях делимого. Значит, нам нужно определить, сколько в делимом всего единиц разряда сотен, и разделить их на 28 единиц разряда сотен делимого. А отброшенные цифры десятков и простых единиц добавятся к остатку.
Запишите:
Чтобы разделить какое-нибудь число на число, заканчивающееся нулями, нужно отбросить мысленно нули в делителе, в делимом тоже отбросить мысленно такое же количество цифр, как и нулей в делителе. Получившееся число в делимом разделить на получившееся число в делителе, а к остатку прибавить (снести) те цифры делимого, которые отбросили ранее.
Проверка деления
Так как делимое – это делитель, умноженный на частное и плюс остаток, что следует из определения деления, то результат выполнения деления можно проверить умножением.
Если в результате действия деления не получилось остатка, то деление можно проверить и делением. Действительно, если делимое – это произведение делителя и частного, то разделив делимое на частное (один из сомножителей), мы должны получить второй сомножитель, то есть, делитель.
Свойства деления
Свойства деления я представлю двумя группами:
Давайте рассмотрим каждую группу подробнее.
Действия деления с единицей и нулем
При делении числа на единицу получается то же самое число.
Действительно, разделить число на единицу означает узнать, сколько единиц содержится в данном числе. А количество единиц в числе – это не что иное, как само это число.
И ли вот, например, если 10 яблок нужно раздать одному человеку ( 10 поделить на 1 ), то ему все эти 10 яблок и достанутся, правда?
При деление одинаковых чисел (числа на равное число) в результате будет 1 (единица).
В самом деле, если все единицы какого-то числа разделить на количество частей, равное количеству единиц этого числа, то в каждая часть получит по 1 единице.
Например, если 20 яблок раздать 20 школьникам, то каждому достанется по 1 яблоку.
При делении нуля на любое число, отличное от нуля, в результате будет нуль.
Разделить нуль на число означает найти такое число, умножив которое на данный делитель, мы получим в результате нуль. А такое число только одно – это нуль.
На нуль делить нельзя, то есть, нуль не может выступать в роли делителя.
При делении каких угодно чисел делителем может быть любое число, кроме нуля.
Рассмотрим два случая: когда нулём является только делитель, и когда делимое и делитель оба нули.
Распределительные свойства деления
Чтобы найти частное от деления суммы на число, нужно поделить каждое слагаемое на это число, и найти сумму полученных частных.
\(\textcolor
При этом подразумевается, что все действия деления получаются без остатка.
Чтобы найти частное от деления разности на число, нужно поделить на это число отдельно сперва уменьшаемое, а потом вычитаемое, после чего найти разность первого частного и второго.
\(\textcolor
При этом также предполагается, что при делениях уменьшаемого и вычитаемого на число не получается остатков.
Например: \[\textcolor
Чтобы найти частное от деления произведения на число, нужно поделить на него только один из сомножителей, а результат умножить на неизмененные остальные.
\(\textcolor
Чтобы найти частное от деления числа на произведение, нужно это число поделить на первый сомножитель, результат деления поделить на второй сомножитель, полученное частное – на третий и так далее.
\(\textcolor
При этом предполагается, что при всех этих делениях не получается остатков.
На рисунке наглядно видно, что в итоге после применения этого правила, число 30 получилось разделенным на 6 равных частей.
Изменение частного при изменении делимого и делителя
При рассмотрении изменений частного в результате изменений делимого и делителя предполагается, что действие деление происходит без остатка. В противном случае изменения могут быть не такими, о которых идет речь ниже.
При увеличении делимого в определенное количество раз, частное увеличится в это же количество раз, а при уменьшении – уменьшится.
Если мы в примере \(\textcolor
Если мы в этом же примере \(\textcolor
При увеличении делителя в определенное количество раз, частное уменьшится в это же количество раз, а при уменьшении – увеличится.
Действительно, изменение делителя означает, что делимое необходимо разделить на большее или меньшее количество равных частей. Соответственно, если нужно разделить на большее число частей, то каждая часть будет меньше, чем изначально, а если делить на меньшее число частей, то каждая часть будет крупнее.
В случае одновременного изменения делимого и делителя, частное может вести себя по-разному, или же вообще оставаться без изменений. Если нужно узнать, станет оно больше или меньше, нужно сперва посмотреть, как частное изменится после изменения делимого, а потом – как изменится после изменения делителя.
При увеличении или уменьшении делимого и делителя в одинаковое количество раз, частное не меняется.
Попробуйте самостоятельно доказать справедливость этого утверждения. Пишите в комментариях, получилось это, или нет.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3.7 / 5. Количество оценок: 3