Что значит плоскость проведена через точку

Лекция 3. Плоскость

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ₁, фронтальный – απ₂ и профильный – απ₃, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π₁, фронтальной π₂ и профильной π₃ (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

\left.\begin\alpha=m\parallel n,\\D\in\alpha\\C\in\alpha\\\end\right\> \Longrightarrow CD\in\alpha

Упражнение

Рисунок 3.7 – Решение задачи

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π₁) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π₂) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π₃) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

\alpha=m\cap n\\\left.\begina_2\parallel m_2\\a_1\parallel m_1\\\end\right\> \Rightarrow a\parallel\alpha

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π₁. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π₁ или π₂.
Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
Видимость на π₂ (рис. 3.15)
Выберем точки, конкурирующие на π₂ – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₂ надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π₂.
Направление взгляда на π₂ показано стрелкой.
По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π₂, видно, что точка 4₁ располагается ближе к наблюдателю, чем 3₁.
4₁∈E₁F₁ ⇒ 4∈EF ⇒ на π₂ будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимость на π₁.
Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π₁ – точки 2 и 5.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₁ надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π₁.
Направление взгляда на π₁ показано стрелкой.
По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π₁, видно, что точка 2₂ располагается ближе к наблюдателю, чем 5₂.
2₂∈А₂В₂ ⇒ 2∈АВ ⇒ на π₁ будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K.

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Упражнение

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Упражнение

Алгоритм решения задачи :

\left.\beginAB\cap\sigma=K\\AC\cap\sigma=L\\\end\right\> \left.\begin\Rightarrow A_1B_1\cap\sigma_1=K_1 \rightarrow K_2\\\Rightarrow A_1C_1\cap \sigma_1=L_1 \rightarrow L_2\\\end\right.

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи :

\left.\begin\alpha\cap\sigma=(4-5)\\\beta\cap\sigma=(3-2)\\\end\right\>\\\left.\begin\alpha\cap\tau=(6-7)\\\beta\cap\tau=(1-8)\\\end\right\>\left.\begin(4_1-5_1)\cap(3_1-2_1)=M_1\rightarrow M_2\\(6_1-7_1)\cap(1_1-8_1)=N_1\rightarrow N_2\\\end\right\>\rightarrow\\\left.\beginM_1N_1\\M_2N_2\\\end\right\>\Rightarrow\alpha\cap\beta=MN

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π₂, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π₂ (τ∈b). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π₂ и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C₁D₁ должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Упражнение

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К.

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π₂, если его диагональ MN //π₂ (Рисунок 3.26).

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π₁.

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π₁.

Источник

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

Уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства.

Раскроем чуть шире смысл теорем.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Решение

Подставим координаты точки М 0 в исходной уравнение плоскости:

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной плоскости; точка N 0 – не принадлежит.

Решение

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Возможно получить это уравнение другим способом.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

Неполное общее уравнение плоскости

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

A · 0 + B · 0 + C · 0 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Р​​ешение

Задачу возможно решить еще одним способом.

Решение

Источник

Содержание:

Точка, прямая и плоскость в пространстве

В разделе планиметрии в геометрии изучаются фигуры, все точки которых лежат в одной плоскости. Эти фигуры называются плоскими фигурами. Однако в реальной жизни нас окружают трехмерные объекты. Их измерениями являются длина, ширина и высота(глубина). Эти фигуры называются пространственными фигурами, а раздел геометрии, который занимается изучением этих фигур, называется стереометрией. Принято считать, что точка, прямая и плоскость также являются пространственными фигурами. Плоскость бесконечна, и обычно, её условно изображают в виде параллелограмма и обозначают одной маленькой буквой или тремя буквами( указывающие три точки, не расположенные на одной прямой). Например, плоскость а или плоскость ABC.

Аксиома 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома 2. Если у двух различных плоскостей есть общая точка, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Прямая задаётся двумя точками, то есть через две точки можно провести одну и только одну прямую (а сколько прямых можно провести через одну точку?). Сколькими точками задаётся плоскость? Двумя точками плоскость задать нельзя. Как видно по рисунку, через точки А и В можно провести бесконечно много плоскостей. Однако, среди этих плоскостей есть такая плоскость, что точка С расположена на ней. Значит, плоскость можно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Аксиома 3. Через три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну.

Точки, расположенные на одной прямой, называются коллинеарными точками. Покажем, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой принадлежат этой плоскости.

Пусть, точки А и В прямой принадлежат плоскости а. Возьмём точку Р, которая не принадлежит прямой и плоскости а. Через точки Р, А и В проведём плоскость . Так как плоскости а и пересекаются по линии, проходящей через точки А и В, то она совпадает с прямой . Все точки линии пересечения принадлежат плоскости а, т.е. все точки прямой также принадлежат плоскости а. Из аксиом стереометрии вытекают следующие следствия.

Таким образом плоскость можно задать:

Пример. Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой и точка Р, не лежащая с ними в одной плоскости. Запишите названия всех плоскостей, проходящих через каждые три из них.

Решение:

Точки, принадлежащие одной плоскости, называются компланарными. Точки А, В, С и Р из примера некомпланарные.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Две прямые в пространстве могут быть параллельными (в частном случае совпадать) или пересекаться.

Известно, что если прямые и пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. В планиметрии эти два случая соответствуют пересечению или параллельности прямых.

Если две пересекающиеся прямые пересекаются с третьей в разных точках, то эти прямые расположены в одной плоскости. Если две пересекающиеся прямые, пересекаются с третьей в одной точке, то они могут быть расположены как в одной плоскости, так и в разных.

Две не параллельные прямые в пространстве не всегда пересекаются. Прямые, которые не параллельны и не пересекаются, называются скрещивающимися прямыми. Скрещивающиеся прямые а и b обозначаются так: . Через скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость. Углу между скрещивающимися прямыми соответствует угол, между параллельными им и пересекающимися прямыми.

Теорема 1. (Признак параллельности прямой и плоскости) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Следствие. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна этой прямой.

Следствие. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна линии их пересечения.

Теорема 2. Если плоскости, проходящие через две параллельные прямые пересекаются, то линия пересечения параллельна этим прямым.

Доказательство: предположим, что а || b. Проведём плоскости соответственно через прямые а и b. Обозначим линию пересечения через с. По признаку параллельности прямой и плоскости . Отсюда а || с. Аналогично, если , то b || с.

Теорема 3. Две прямые параллельные третьей, параллельны между собой.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение. Если прямая (a), пересекающая плоскость , перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения, то прямая (а) перпендикулярна плоскости и это записывается так: .

Теорема 1. (Признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Дано. Пересекающиеся прямые а и b принадлежат плоскости .

, .

Доказать, что. .

В равнобедренном треугольнике , отрезок РQ является и медианой и высотой. Отсюда . По определению имеем . Теорема доказана.

По рисунку видно, что прямая перпендикулярная плоскости в точке пересечения, перпендикулярна любой прямой в данной плоскости.

Теорема 2. Через точку на прямой можно провести перпендикулярную ей плоскость и притом только одну.

Теорема 3. Через точку на плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую и притом только одну.

Докажем теорему 3.

Дано: прямая перпендикулярная плоскости в точке Р.

Доказать, что : через точку Р можно провести единственную прямую

, перпендикулярную плоскости .

Тогда и прямая , и прямая z должны быть перпендикулярны плоскости . Однако, это невозможно, так как . Таким образом, через точку Р в плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную прямую. Если в пространстве, через точку А провести перпендикулярную прямую, которая пересекает плоскость в точке Р, то отрезок АР называется перпендикуляром из точки А к плоскости . Отрезок, соединяющий точку А с любой точкой (отличной от точки Р) в плоскости называется наклонной.

Отрезок ВР называется проекцией наклонной на плоскость. Если из точки к плоскости провести перпендикуляр и наклонную, то:

1)перпендикуляр меньше наклонной;

2)равные наклонные имеют равные проекции;

3)большая наклонная имеет большую проекцию.

Пример. Из точки на плоскость проведены две наклонные длиной

20 см и 13 см. Найдите длину меньшей проекции, если длина большей проекции равна 16 см.

Решение: АР перпендикуляр, АВ и АС наклонные. Пусть ВО и СО являются проекциями наклонных. Из по теореме Пифагора:

Из по теореме Пифагора:

Углом между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью не больше углов, образованных этой прямой и любой другой прямой в плоскости.

В случае, если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен

90°.

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. То есть, если прямая а, принадлежащая плоскости перпендикулярна прямой ВС в точке С, то она перпендикулярна и прямой АС.

Краткая запись: если и , то .

Для данной теоремы верна и обратная теорема.

Обратная теорема. Если прямая, лежащая в плоскости перпендикулярна

наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

То есть, если прямая а, лежащая в плоскости, перпендикулярна прямой

Краткая запись: если и , то

Дано:

Доказать: СО АС

Пример 1. Длина перпендикуляра СМ, восстановленного к вершине прямого угла прямоугольного треугольника АВС равна 7,2 единицам, а длина высоты, проведённой к гипотенузе равна 9,6 единицам. Найдите расстояние от точки М до гипотенузы.

Решение: по теореме о трёх перпендикулярах, т.к. , то . Расстояние от точки М до гипотенузы равно длине отрезка МН. Из по теореме Пифагора имеем: . Пример 2. Длина перпендикуляра, восстановленного к плоскости треугольника из вершины большего угла равна 15 ед. Найдите расстояние от вершины перпендикуляра до большей стороны, если стороны треугольника равны 10, 17 и 21 ед.

Решение: если , то . То есть, надо найти длину отрезка КF.

По формуле Герона найдём площадь .

С другой стороны, .

Отсюда

Так как отрезок КВ перпендикулярен ВР, то прямоугольный.

Угол между двумя плоскостями. Двугранный угол

Угол, образованный двумя полуплоскостями и имеющий общую границу называется двугранным углом. Полуплоскости называются гранями, их общая граница называется ребром. При пересечении двух плоскостей образуется 4 двугранных угла. Если, из любой точки на ребре двугранного угла, в каждую полуплоскость провести перпендикулярные лучи, то они образуют угол, который называется линейным углом двугранного угла.

Двугранный угол измеряется его линейным углом. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Все линейные углы двугранного угла при параллельном переносе совпадают, то есть они равны (прямые, перпендикулярные одной и той же прямой параллельны).

Значение линейного угла не зависит от места расположения его вершины.

Градусная мера двугранного угла лежит в пределах от 0° до 180°.

Пример 1. На грани двугранного угла, градусная мера которого равна 30°, взята точка, удалённая от другой грани на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Решение. Пусть дана точка . Проведём . По теореме о трёх перпендикулярах Значит, линейный угол и . В прямоугольном треугольнике ABC катет, лежащий напротив в угла 30° равен половине гипотенузы:

Отсюда: .

Углом между двумя пересекающимися плоскостями принято считать меньший из двух углов, образованных при пересечении плоскостей. На рисунке, говоря об угле между плоскостями имеют ввиду угол , образованный перпендикулярными прямыми, опущенными на линию пересечения плоскостей.

Изобразим треугольник ABC и лучи ТА, ТВ и ТС, из точки Т вне плоскости треугольника. Точка Т является общей вершиной для углов , ATB и BTC, не расположенных в одной плоскости. Полученная фигура называется трёхгранным углом. Плоские углы называются гранями, стороны называются рёбрами, общая вершина называется вершиной трёхгранного угла. Каждое ребро, в свою очередь, также является ребром двугранного угла.

Теорема 1. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360°.

Теорема 2. Плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух други плоских углов.

Пример 2. Существует ли трёхгранный угол с плоскими углами:

а)130°, 100°, 140° ; б) 70°, 80°, 100°?

Решение:

а) нет, так как 130°+ 100°+ 140°= 370° > 360°

б)да, так как 70°+80°+ 100°

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник