Что значит отрезки равны

Отрезок

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.

Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок AB или BA.

Длина отрезка

Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:

Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:

длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Чаще всего используются единичные отрезки равные 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м или 1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:

Свойства длин отрезков:

Равные отрезки

Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.

Пример. Возьмём два отрезка CD и LM:

Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка C была над точкой L, то станет видно, что точка D располагается над точкой М:

Значит длины отрезков равны, следовательно CD = LM.

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.

Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.

Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.

При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.

Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например C, в одну сторону два отрезка CA и CB и точка A окажется между точками C и B, то отрезок CA меньше отрезка CB (или CB больше отрезка CA):

Если точка B окажется между точками C и A, то отрезок CA больше отрезка CB (или CB меньше отрезка CA):

CA > CB или CB Пример. Сравнить длину отрезков AB и AC.

Так как отрезок AB имеет большую длину, чем отрезок AC, то

Так как отрезки AB и AC имеют одинаковую длину, то

Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.

Источник

Сравнение отрезков. Действия над отрезками.

Равные и неравные отрезки

Пусть нам даны два отрезка АВ и СD (рис.). Наложим отрезок АВ на отрезок CD так, чтобы точка А совпала с точкой С, и отрезок АВ направим по отрезку CD. Если точка В совпадаете точкой D, то отрезки АВ и CD равны; АВ = CD.

Сравним два отрезка КО и ЕМ (рис.).

Наложим отрезок КО на отрезок ЕМ так, чтобы точки К и Е совпали. Отрезок КО направим по отрезку ЕМ. Если точка О окажется где-нибудь между точками Е и М, то говорят, что отрезок ЕМ больше отрезка КО; отрезок КО меньше отрезка ЕМ.

Записывается это тaк: ЕМ > КО, КО 1 /₅ часть отрезка МN.

в) Чтобы разделить отрезок на равные части с помощью циркуля, поступают таким образом. Например, если нужно разделить отрезок на две равные части, то циркуль раздвигают на глаз так, чтобы раствор циркуля составлял примерно половину отрезка. Затем на данном отрезке от его конца последовательно один за другим откладывают этим раствором циркуля два отрезка. Если полученная сумма отрезков будет меньше данного отрезка, тo раствор циркуля увеличивают; если сумма окажется больше данного отрезка, то раствор циркуля уменьшают. Так, постепенно исправляя ошибку, можно отыскать довольно точнo половину отрезка (рис.).

Свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла

Пусть на стороне АВ угла АВN отложены равные отрезки ВМ = МК = КС (рис.) и через точки деления М, К и С проведены параллельные прямые, пересекающие сторону ВN того же угла.

На этой стороне образовались три отрезка: ВМ’, М’К’ и К’С’. Требуется доказать, что ВМ’ = М’К’ = К’С’.

Для доказательства через точки М’ и К’ проведём прямые, параллельные АВ. Мы получим треугольники ВММ’, М’ЕК’ и К’РС’. Сравним эти треугольники.

Сначала сравним треугольники МВМ’ и М’ЕК’. В этих треугольниках имеем:

∠1 = ∠2, как соответственные углы при параллельных ВА и М’Е и секущей ВN;

∠3 = ∠4, как острые углы 1 с соответственно параллельными сторонами (АВ || М’Е и ММ’ || КК’).

ВМ = МК по построению;

МК = М’Е, как противоположные стороны параллелограмма.

Углы 1-й и 4-й могут оказаться оба тупыми, но и в этом случае они останутся равными, а потому доказательство теоремы не изменится.

Следовательно, ВМ = М’Е. Таким образом, ΔВММ’ = ΔМ’ЕК’ (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Отсюда следует, что ВМ’ = М’К’.

Так же можно доказать, что ВМ’ = К’С’, т. е. ВМ’ = М’К’ = К’С’. При доказательстве теоремы мы откладывание отрезков начали от вершины угла, но теорема справедлива и для того случая, когда откладывание отрезков будет начато не от вершины угла, а от любой точки его стороны.

В этом случае вершину угла на чертеже можно не отмечать (рис.).

Теорема справедлива и для случая, когда прямые КО и МР параллельны.

Пропорциональные отрезки

Из арифметики известно, что равенство двух отношений называется пропорцией. Например: 16 /₄ = 20 /₅; 2 /₃ = 4 /₆ To же самое имеем и в геометрии: если даны две пары отрезков, отношения которых равны, то можно составить пропорцию.

отрезки а, b, c, d называются пропорциональными.

В пропорции можно поменять местами отношения; можно переставить крайние члены, средние члены; можно переставить те и другие одновременно.

Поскольку в пропорции a /_b = c /_d под буквами подразумевают числа, выражающие длины отрезков, то произведение крайних членов её равно произведению средних членов. Отсюда, зная три члена пропорции, можно найти неизвестный четвёртый её член. Так, в пропорции a /_x = c /_d x = a • d /_c

Отметим ещё некоторые свойства пропорций, которыми придётся в дальнейшем пользоваться при доказательстве некоторых теорем и при решении задач.

а) Если три члена одной пропорции соответственно равны трём членам другой пропорции, то равны и четвёртые члены этих пропорций.

Чтобы убедиться в этом, переставим средние члены в этой пропорции.

А это возможно лишь в том случае, когда числитель и знаменатель дроби равны, т. е.

В справедливости этого свойства предлагается вам убедиться самостоятельно. Для этого проведите рассуждение, аналогичное предыдущему.

Построение пропорциональных отрезков

Пусть две прямые ЕF и ОР пересечены тремя параллельными прямыми АВ, СD и МN (рис.).

Требуется доказать, что отрезки АС, СМ, ВD и DN, заключённые между параллельными секущими, пропорциональны, т. е.

Пусть длина отрезка АС равна р, а длина отрезка СМ равна q.

Например, р = 4 см. и q = 5 см.

Разделим АС и СМ на отрезки, равные 1 см, и из точек деления проведём прямые, параллельные прямым АВ, СD и МN, как это показано на рисунке.

Тогда на прямой ОР отложатся равные между собой отрезки, при этом на отрезке BD их будет 4, а на отрезке DN — 5.

Значит, отрезки АС, СМ, ВD и DN пропорциональны. Пропорциональны также и отрезки АС, АМ, ВD и ВN (налегающие друг на друга), т. е. AC /_AM = BD /_BN,

Теорема будет справедлива и при любых других целых значениях р и q.

Если длины отрезков АС и СМ не выразятся в целых числах при данной единице измерения (например, сантиметре), то надо взять такую более мелкую единицу (например, миллиметр или микрон), при которой длины отрезков АС и СМ практически выразятся в целых числах.

Доказанная теорема справедлива и в том случае, когда одна из параллельных секущих проходит через точку пересечения данных прямых. Она справедлива также и в том случае, когда отрезки откладываются не непосредственно один за другим, а через некоторый промежуток.

Источник

Математика. 5 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

— понятие длины отрезка;

— равные отрезки на чертежах;

— определение длины отрезков.

Длина отрезка – число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единичный отрезок.

Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята за единицу измерения.

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. –М.: Просвещение, 2009. – 142с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Каждому человеку неоднократно приходилось что-то измерять: свой рост, длину прыжка, высоту потолка и многое другое. Все эти действия означают вычисление величины какого-нибудь отрезка. Каким же образом можно измерить длину отрезка? На этот вопрос ответим в ходе урока.

За свою историю человечество придумало много разных единиц длины. Позже появились меры, заимствованные из природы:

— пядь – расстояние между растянутыми большим и указательным пальцами;

— вершок – длина основной фаланги указательного пальца;

— локоть – расстояние от локтевого сустава до конца вытянутого среднего пальца руки.

Некоторые названия сохранились до сих пор: ярд, фут, пядь, дюйм.

Ну, а герои одного известного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. В зависимости от того, в ком измеряли удава, он становился то длиннее, то короче.

Два слонёнка, пять мартышек или тридцать восемь попугаев.

«А в попугаях я гораздо длиннее!» – воскликнул удав.

На самом деле мы с вами понимаем, что его размеры не менялись. Тогда возникает вопрос: в чём измерять? Что брать за единицу длины? Слонёнка, попугая или мартышку.

Измерить длину какого-нибудь отрезка в заданных единицах измерения – значит найти число, показывающее, сколько единичных отрезков поместится в данном отрезке.

Длиной отрезка называют число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единица измерения.

Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называется единичным отрезком.

Чем же можно измерить длину отрезка?

Наиболее древними геометрическими инструментами являются линейка и циркуль, последний был изобретён в первом веке в Древней Греции.

Для более точных измерений используют миллиметровую линейку и штангенциркуль.

Далее построим отрезок ВК заданной длины –например, 8см. Для этого отметим точку В и приложим к ней линейку, совместив точку В с нулём. Затем отмеряем с помощью линейки 8 см, отмечаем точку К и соединяем обе точки линией.

Такой отрезок можно построить и с помощью циркуля. Для этого отметим точку В. Приложим к линейке циркуль, выставив его ножки на восемь сантиметров. Перенесём циркуль к точке В, поместив на неё одну ножку, а другой ножкой поставим точку К. Соединив обе точки линией, получим отрезок с длиной 8 см.

Отрезки можно сравнить с помощью измерителя –например, циркуля. Для этого попеременно подставляем ножки циркуля ко всем предложенным для сравнения отрезкам. При этом они должны быть выставлены по одному из отрезков. Если длины отрезков одинаковы, то отрезки считают равными и пишут CD = КМ.

Если один из отрезков является частью другого, следовательно, он короче. Например, ЕН короче EF, так как отрезок EH является частью EF.

Рассмотрим ещё одно свойство длин.

Если на отрезке АВ отметить точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ. Пишут: АВ = АС + СВ.

Наши органы чувств – это один из способов получения информации об окружающем нас мире, но информация полученная таким образом, бывает искажена.

Посмотрите на рисунки и ответьте на вопрос, равны ли отрезки?

На первый взгляд покажется, что правый отрезок больше, чем левый, но при сравнении с помощью линейки окажется, что отрезки равны.

Такая же ситуация, складывается и со следующей картинкой. Кажется, что нижний отрезок больше, чем верхний, но при наложении линейки окажется, что отрезки равны.

В другом же случае на тот же вопрос о равенстве отрезков ответ очевиден.

Таким образом, можно сделать вывод, что глазомерные оценки геометрических реальных величин неточны.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка.

Сравните длины горизонтального и вертикального отрезков?

Правильный ответ: при выполнении данного задания нужно использовать линейку, нужно измерить длину каждого отрезка и сравнить их. В результате измерений мы увидим, что отрезки равны.

№2. Тип задания: выделение цветом.

Точка К расположена на прямой между точками А и В. Длина отрезка АК = 8 см, длина отрезка КВ на 2 см больше длины отрезка АК. Какова длина отрезка АВ?

Выберите правильный ответ: 6 см; 10 см; 12 см; 18 см.

Решение: изобразим условие задачи на рисунке.

Источник

Сравнение отрезков

Одной из простейших геометрических фигур является отрезок. Для того чтобы сравнивать отрезки, можно использовать два способа:

Метод наложения:

Пусть нам даны два отрезка AB и СD:

Совместим начало отрезка AB и СD (точки A и С).

Затем повернем отрезок СD так, чтобы он совпал с отрезком AB.

Мы видим, что отрезок СD составляет часть отрезка AB, следовательно, мы можем сделать вывод, что отрезок AB больше отрезка СD.

Если точка делит отрезок на равные отрезки, то эту точку называют серединой отрезка.

Рассмотрим еще одну пару отрезков HG и ST.

Совместим начало отрезка HG и ST.

Затем повернем отрезок ST так, чтобы он совпал с отрезком HG.

В данном случае мы видим, что совпали не только точки S и H (начала отрезков HG и ST), но и точки G и T (концы отрезков HG и ST), то есть отрезки совпадают, а нам известно, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Вывод:

Измерение длин:

Для измерения отрезков, необходимо наложить на него единичные отрезки, и длиннее будет считаться тот отрезок, которому соответствует большее число единичных отрезков.

Пример: Пусть у нас есть единичный отрезок. Рассмотрим три отрезка QL, FJ и PO.

Наложим единичный отрезок на данные.

Посчитаем, какое количество единичных отрезков накладывается на каждый из отрезков, получаем: QL = 5 ед.от., FJ = 3 ед.от., PO = 5 ед. от.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Отрезок — что это такое

Что такое отрезок? Ответ на этот вопрос кажется весьма простым, когда вы учитесь в школе. Но с возрастом школьный курс математики постепенно забывается настолько, что такие простые вещи становятся не столь очевидными.

Отрезок — что это за фигура

Не стоит недооценивать значимость геометрических понятий в человеческой жизни, так как иногда эти знания помогают решать вполне реальные задачи, а не только блистать кругозором в кругу друзей.

Отрезок — это составная часть прямой, расположенная между двумя точками.

Вы можете дать определение также исходя из структурного подхода:

Отрезок — это такая математическая фигура, которая состоит из следующих элементов:

С этими составными частями вы можете ознакомиться на слайде:

В связи с тем, что границы отрезка отмечаются точками, которые в рамках математики выделяются латинскими буквами, сама фигура описывается двумя буквами, например, NK.

Пример визуального изображения отрезка вы видите на рисунке: точки N и K являются началом и концом.

Важная характеристика, которая присуща любому отрезку – его длина.

Основные меры измерения длины отрезков– это миллиметр, сантиметр, метр, километр.

Из математической трактовки следует, что отрезок – это такая прямая, которая расположена между двумя точками не выходя за их пределы. При этом одна же точка может быть концом множества отрезков.

Такую ситуацию вы видите на рисунке: точка А является общей для всех отрезков. При этом точки B, C, D — индивидуальны для каждого из отрезков.

Сравнение отрезка с геометрическими фигурами

В математике существуют три очень похожих понятия – это отрезок, луч, прямая. Учащиеся нередко задают такой вопрос «Что такое отрезок, чем он отличается от луча и прямой?». Давайте сразу определимся с понятиями, которые позволят вам понять разницу между фигурами.

Отрезок — это часть линии, которая проходит от точки начала до точки, обозначающей конец.

Луч — составная часть прямой, которая ограничена точкой с одной стороны. С другого конца луч продлевается до бесконечности.

Прямая — это линия, не подверженная искривлениям, у которой к тому же, в отличие от отрезков, отсутствуют начало и конец.

Сравнив 3 понятия, вы можете убедиться, что луч совмещает ограниченность отрезка и бесконечность прямой.

Примечательно, что прямая и луч бесконечны, поэтому вы сможете измерить длину только у отрезков.

У вас может возникнуть вопрос: «Как быстро определить, что именно перед вами — отрезок, луч или прямая?». Визуально идентифицировать геометрические фигуры можно по количеству ограничивающих их длину точек:

Направленный отрезок

В статье вы увидели базовый вид отрезка — ненаправленный. Это отрезок, у которого невозможно определить, что является его началом, а что — концом.

Существует второй вид отрезков – направленные.

Альтернативное название этой математической фигуры — вектор.

Особенностью направленного отрезка является то, что одна из точек, ограничивающих его длину, обозначается стрелкой. Она указывает, что именно там находится конец. Соответственно часть вектора, обозначенная точкой — это его начало.

Характерной чертой вектора является то, что он может быть описан не только двумя латинскими буквами, но и одной маленькой буквой, над которой располагается стрелка.

Направленный отрезок вместо показателя длины имеет характеристику — модуль, которая измеряется величинами, измеряющими расстояние – миллиметр, сантиметр, метр, километр.

В процессе работы с отрезками возникает вопрос: «Как рассчитать модуль вектора с использованием системы координат?».

Вы определите его следующим образом:

Направленные отрезки, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых – это коллинеарные направленные отрезки.

Направленные отрезки, расположенные на параллельных прямых – это коллинеарные направленные отрезки.

Нулевой вектор — это отрезок, у которого одна точка включает начало и его конец.

Отрезки, соединённые в ломаную линию

Ломаная линия — это совокупность соединённых между собой отрезков, в которой окончание одного отрезка совпадает с начальной точкой другого. Каждая из составных частей ломаной линии называется звеном.

Ломаная линия содержит три типа вершин — точек, из которых состоят отрезки:

Первое и последнее звенья фигуры имеют по одной точке, которую они не делят с другими звеньями, а все остальные точки являются одновременно концом одного отрезка и началом другого, поэтому количество точек ломаной линии всегда на одну больше числа составляющих её отрезков.

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка — это значит сделать вывод о том, одинаковы ли они, или один по размеру больше другого.

Если наложить один отрезок на другой и они совпадут — это значит, что фигуры равны.

Наложение не всегда является возможным, поэтому для сравнения размеров отрезков вы можете использовать циркуль или линейку.

Отрезок: разные значения слова

Обратите внимание, что отрезок — это не только математическое понятие, хотя наибольшее распространение получило именно в этой точной науке.

Часто слово употребляется для характеристики временного промежутка — «отрезок времени»

Так же вы можете услышать словосочетание — «отрезок пути». Эта фраза обозначает расстояние — составную часть путешествия. Суть слова «отрезок» — ограничение какого-либо понятия, которое подлежит измерению.

Источник